专题25 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型（原卷版）

专题25 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型 将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的 思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型 和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长 度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连 线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造 桥）再也不是问题！ 模型1 将军遛马模型 【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。 【模型解读】已知、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直 线m 上要求P、Q 两点，使得P+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点、B 在直线m 两侧： （2）点、B 在直线m 同侧： m A B C Q P m A B Q P m A B B' E Q P 图1 图2 （1）如图1，过点作∥m,且长等于PQ 长，连接B,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点。（2）如图2，过点作E∥m,且E 长等于PQ 长，作B 关于m 的对称点B’,连接B’E,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点。 【最值原理】两点之间线段最短。 例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有 ， 两个工厂， ， 到公路的垂直距离分别为 和 ， ， 之间的水平距离为 ．现需把 厂的产品先运送到公路 上然后再转送到 厂，则最短路线的长是_____ ． 问题探究（2）如图（2）， 和 是腰长为2 的两个全等的等腰直角三角形， ，点 ， 重合，点 ， 重合，将 沿直线 平移，得到 ，连接 ， ．试探究在平移过程中， 是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请 m A B Q P 说明理由． 问题解决（3）如图（3），，B 分别是河岸m 一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是 和 ， ， 的水平距离是 ．游客在景点 游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮 沿河航行 到达码头乙，再乘坐大巴到达景点 ．请问码头甲，乙建在何处才能使从 到 的旅游路线 最短，并求出最短路线的长． 例2．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形BD 中，B＝6，D＝4，点E、F 分别是B、D 上的动点， EF B ∥，则F+E 的最小值是 _____． 例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在 边 上左右滑动；若 ，则 的最小值为____________． 例4．（2023 上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形 内接于⊙，线段 在对角线 上运动，若⊙的周长为 ， ，则 周长的最小值是 ． 例5．（2023 秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为 的正方形 中将 沿射线 平 移，得到 ，连接 、 ．求 的最小值为______． 例6．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形 中，对角线 ， 的长分别为， ，将 沿射线 的方向平移得到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为______． 模型2 将军过桥（造桥）模型 【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。 【模型解读】 【单桥模型】已知，如图1 将军在图中点处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥 建在何处能使路程最短？ 考虑M 长度恒定，只要求M+B 最小值即可．问题在于M、B 彼此分离，所以首先通过平移，使M 与B 连 在一起，将M 向下平移使得M、重合，此时点落在’位置（图2 ）． 问题化为求’+B 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）． 河 B 军营 A 将军 N M A' 河 B 军营 A 将军 N M A' 河 B 军营 A 将军 N M 图1 图2 图3 【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点处，现要过两条河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建 造，问：桥建在何处能使路程最短？ 图4 图5 图6 考虑PQ、M 均为定值，所以路程最短等价于P+QM+B 最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其 连接到一起．P 平移至'Q，B 平移至MB'，化P+QM+B 为'Q+QM+MB'．（如图5） 当'、Q、M、B'共线时，'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、位置．（如图6） 【最值原理】两点之间线段最短。 例1．（2023 浙江八年级期中）同学们已经学过一些平行线的性质，其实平行线的性质还有一些： （1）如图1，如果 ，在上任取一点P，作PQ b ⊥于点Q，则线段PQ 的长度叫，b 之间的距离 如果在上再取一点M，作M b ⊥于点，则线段M 可以看成由线段PQ 平移得到，即M=PQ，这就得到平行线 的又一条性质：平行线间的距离处处相等．根据平移还有哪些线段相等 （2）刚在（1）中提到的平行线性质在河上建桥也有广泛的应用：如图2，直线，b 表示一条河的两岸，且 现在要在这条河上建一座桥．使村庄经桥过河到村庄B．现在由小明、小红两位同学设计： 小明：作D⊥，交于点D，交b 于点． 在D 处建桥 路径是--D-B． 小红：作D⊥，交，b 于点D，点；把D 平移至BE，连E，交b 于G，作GF⊥于F 在FG 处建桥．路径是-G- F-B． 问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由 （3）假设新桥就按小红的设计在FG 处实施建造了，上游还有一座旧桥，凌晨3 点某船从旧桥下到新桥下， 到达后立即返回，来回穿梭于两桥之间，船在静水每小时16 千米，水流每小时4 千米，在当晚23 点时有 人看见船在离旧桥80 千米处行驶求这两桥之间的距离 例2．（2023 广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在 处角转弯，河宽相同，从 处到达 处， 须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使 到 的路程最短，请确定两座桥的位置． 例3．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有，B 两个村庄，河宽为4 千米，、B 两村庄的直线距离B＝10 千米，、B 两村庄到河岸的距离分别为1 千米、3 千米，计划在河上修建一座桥M 垂直于两岸，M 点为靠 近村庄的河岸上一点，则M+B 的最小值为( ) ．2 B．1+3 ．3+ D． 例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 中， ， ， ， ， ；垂足分别为点F 和E．点G 和分别是 和 上的动点， ，那么 的最 小值为______． 例5．（2023 山东中考二模）如图，抛物线y=x2+bx+（≠0），经过点（-1，0），B（3，0），（0，3）三 点．(1)求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；(2)连接、B，为抛物线上的点且在第四象限，当S△B=S△B时， 求点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点作直线l∥x 轴，动点P（m，3）在直线l 上，动点Q（m，0）在 x 轴上，连接PM、PQ、Q，当m 为何值时，PM+PQ+Q 最小，并求出PM+PQ+Q 的最小值． 例6．（2023 春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在 中， ， ，M、分别是 、 边上的动点，且 ，则 的最小值是________． 课后专项训练 1．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形BD 中， ， ，把边B 沿对角线BD 平移， 点 ， 分别对应点，B．给出下列结论：①顺次连接点 ， ，，D 的图形是平行四边形；②点到它 关于直线 的对称点的距离为48；③ 的最大值为15；④ 的最小值为 ．其 中正确结论的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 2．（2023 安徽中考学二模）如图，菱形BD 的边长为2 ，∠B＝60°，点E、F 在对角线BD 上运动，且EF ＝2，连接E、F，则△EF 周长的最小值是（ ） ．4 B．4+ ．2+2 D．6 3．（2022·重庆九龙坡·统考一模）如图，在边长为4 的菱形BD 中，∠B＝60°，将△BD 沿射线BD 方向平 移，得到△EFG，连接E、G．则E+G 的最小值为（ ） ．2 B．4 ．2 D．4 4．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）在边长为2 的正方形 中，点E、F 是对角线 上的两 个动点，且始终保持 ，连接 、 ，则 的最小值为（ ） ． B．3 ． D． 5．（2023·广东·九年级期中）如图，D 是直线x＝1 上长度固定为1 的一条动线段．已知（﹣1，0），B （0，4），则四边形BD 周长的最小值为 _________________． 6．（2022·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2m 的正方形纸片沿着对角线剪开，如 图l 所示．然后固定纸片△B，把纸片△D 沿的方向平移得到△′D′′，连′B，D′B，D′，在平移过程中：（1） 四边形′BD′的形状始终是 __；（2）′B+D′B 的最小值为 __． 7．（2022 下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在矩形 BD 中，D=B=3， ∠DB=60°，将△DB 沿射线 DB 方向平移得到△D’’B’，连接 D’和 B’， 则 D’+B’的最小值为 ． 8．（2023·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， 是 轴上的一条 动线段，且 ，当 取最小值时，点 坐标为______ 9．（2023·四川成都·模拟预测）如图，菱形 的 边在 轴上，顶点 坐标为 ，顶点 坐标 为 ，点 在 轴上，线段 轴，且点 坐标为 ，若菱形 沿 轴左右运动，连接 、 ，则运动过程中，四边形 周长的最小值是________． 10．（2023·重庆·校考三模）如图，在边长为1 的菱形BD 中， ，将 沿射线BD 的方向 平移得到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为 ． 11．（2023 广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形B，以点为原点，所在的直线为x 轴，建 立直角坐标系，B 交y 轴于点D，D=2，=6，∠=60°，线段EF 所在的直线为D 的垂直平分线，点P 为线段EF 上的动点，PM⊥x 轴于点M 点，点E 与E′关于x 轴对称，连接BP、E M ′ ． （1）请直接写出点的坐标为_____，点B 的坐标为_____； （2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P 的坐标为_____； 12．（成都市2022-2023 学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有 ， 两点．将直线： 向上平移 个单位长度得到直线 ，点 在直线 上，过点 作直线的垂线，垂足为点 ，连接 ， ， ，则折线 的长 的最小值为 ． 13．（广西2021 年中考数学真题）如图，已知点 ， ，两点 ， 在抛物线 上， 向左或向右平移抛物线后， ， 的对应点分别为 ， ，当四边形 的周长最小时，抛物线的解 析式为 ． 14．（2023 上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在 中， ，点D，E 分别是 的中点．若点M，分别是 和 上的动点，则 的最小值是______． （2）问题探究：如图②，和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何 处，才能使从到B 的路径 最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过作河 岸的垂线，使 ， 为河宽，连接 ， 与河的一岸交于点，此时在点处建桥，可使从到B 的路径 最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩形 中， ．E、F 分别在 上，且满足 ， ．若边长为10 的正方形 在线段 上运动，连接 ，当 取值最小时，求 的长． 15．（2023 广安九年级月考）如图，抛物线 ，经过点 ， ， 三点． 求抛物线的解析式及顶点M 的坐标； 连接、MB，P 为线段MB 上的一个动点（不与点M、B 重合）， 过点P 作x 轴的垂线PQ，若Q=，四边形PQ 的面积为s，求为何值时，面积s 最大； 点是抛物线上第四象限的一个定点，坐标为 ，过点作直线 轴，动点 在直线l 上， 动点 在x 轴上，连接PM、PQ、Q，当m 为何值时， 的和最小，并求出 和的最小值． 16．（2023·陕西咸阳·校考一模）【问题提出】（1）如图1，点、B 在直线l 的同侧，点到直线l 的距离 ，点B 到直线l 的距离 ，、B 两点的水平距离 ，点P 是直线l 上的一个动点，则 的最小值是________； 【问题探究】（2）如图2，在矩形 中， ， ，G 是 的中点，线段 在边 上左 右滑动，若 ，求 的最小值； 【问题解决】（3）如图3，某公有一块形状为四边形 的空地，管理人员规划修两条小路 和 （小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在 和 上分别选取点M、，沿 、 和 修 建地下水管，为了节约成本，要使得线段 、 与 之和最小． 已测出 ， ， ， ， ，管理人员的想法能否实现， 若能，请求出 的最小值，若不能，请说明理由． 17．（2023 上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线 的图象与 轴和 轴分别交于点 和点 ， 的垂直平分线与 轴交于点 ，与 交于点 ，连接 ．(1)如图1，求 的长；(2)如图2， 若点 是射线 上的动点，点 和点 是 轴上的两个动点，且 ，当 的面积为 时，求 的最小值。 18．（2023·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】 古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个 军营 ．他总是先去 营，再到河边饮马，之后，再巡查 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天 走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点 关于直线 的对称点 ，连结 与直线交于点 ，连接 ，则 的和最小．请你在下列的阅读、理解、应 用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线上另取任一点 ，连结 ， ， ，∵直线是点 ， 的对称轴，点 ， 在上， （1）∴ __________， _________，∴ ____________．在 中，∵ ，∴ ，即 最小． 【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点 在直线同侧的问题转化为在直线 的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决 （其中点 为 与的交点，即 ， ， 三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧 两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】（2）如图④，正方形 的边长为4， 为 的中点， 是 上一动点．求 的最小值． 解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点 与 关于直线 对称，连结 交 于点 ，则 的最小值就是线段 的长度，则 的最小值是__________． （3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为 ，在杯内离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____ ． （4）如图⑥，在边长为2 的菱形 中， ，将 沿射线 的方向平移，得到 ， 分别连接 ， ， ，则 的最小值为____________．