专题31 最值模型之将军饮马模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题31 最值模型之将军饮马模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出 一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥 或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四 边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 将军饮马模型（双线段和的最小值）...............................................................................................1 模型2 将军饮马模型（双线段差的最大值）...............................................................................................6 模型3 将军饮马模型（多线段和的最值）...................................................................................................9 ...............................................................................................................................................15 模型1 将军饮马模型（双线段和的最小值） 条件：，B 为定点，m 为定直线，P 为直线m 上的一个动点，求P+BP 的最小值。 模型（1）点、B 在直线m 两侧： 模型（2）点、B 在直线同侧： m A B m A B 模型（1）点、B 在直线m 两侧： 模型（2）点、B 在直线同侧： P m A B P m A B A' 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结B,根据两点之间线段最短，P+BP 的最小值即为：线段B 的长度。 模型（2）：如图（2），作点关于定直线m 的对称点’,连结’B,根据两点之间线段最短，P+BP 的最小值 即为：线段’B 的长度。 例1．（2024·陕西西安·一模）如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，E 是边 上的一动点，F 为 的中点，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】本题考查轴对称中最短路线问题，正方形的判定，勾股定理，灵活运用将军饮马模型是解题的关 键．取 的中点连接 ， ， ， ，证明出F 点就是 与 的交点，四边形 是平行 四边形，四边形 是正方形，利用将军饮马模型得到 是 的最小值，再在 中，利 用勾股定理求出 即可． 【详解】取 的中点连接 ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ，且点 为 的中点， ∴ ， 与 的交点就是 的中点F，连接 ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是正方形， ，关于B 对称， 连接 ， ，则 ， ，即 的最小值为 的长， 在 中， ， ， 由勾股定理，得 ， 故答为： ． 例2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 为直线 上一动点，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】如图，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，则 ， ， ，当 重合时， 最小，最小值为 ，再进一步结合勾股定理求解即可 【详解】解：如图，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，则 ， ， ，∴当 重合时， 最小，最小值为 ， ∵ ， ，在 中，∴ ， ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，故答为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌 握各知识点是解题的关键． 例3．（2024·广东·二模）如图，菱形 的一条对角线 ， ，P 是对角线 上的 一个动点，E，F 分别为边 ， 的中点，则 的最小值是（ ） ．2 B． ．4 D． 【答】 【分析】作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，根据轴对称的性质可知 ，证明四 边形 为平行四边形， 为最小值，再求出菱形 的边 ，即为 的 最小值． 【详解】解：如图，连接 ，交 于 ， ∵菱形 ，∴ ， ， ， ， ∵ ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ， 作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ∴ ， ∵点 为边 上的中点，则点 也为边 的中点， ∴当点 、 、 在一条直线上时， 有最小值， 连接 交 于 ，∴当 重合时， 为最小值， ∵ 为 的中点，∴ ，∴四边形 为平行四边形， ∴ ，∴ 的最小值是 ，故选：． 【点睛】本题考查了轴对称中的最短距离问题、菱形的性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用， 学会利用轴对称的性质解决最短距离问题是解答本题的关键． 例4．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形 中， ， 平分 交 于点 ， 点 为半径 上一动点．若阴影部分周长的最小值为 ，则扇形的半径 的长为 ． 【答】2 【分析】本题主要考查扇形周长的计算，轴对称最短路径的计算方法，掌握扇形弧长的计算方法，轴对称 求最短路径的方法是解题的关键．根据题意可求出 ，作点 关于 的对称点 ， 可得 最小，则扇形周长最小，由此即可求解． 【详解】解：∵ 平分 ， ，∴ ， 设扇形的半径 ，∴ 的长为： ，阴影部分的周长最小为 ， 如图所示，作点 关于 的对称点 ，连接 与 交于点 ，此时， 的值 最小，即阴影部分的周长最小， ∴ ，∴ ， 即 ，解得， ，故答为： ． 模型2 将军饮马模型（双线段差的最大值） 条件：，B 为定点，m 为定直线，P 为直线l 上的一个动点，求|P-BP|的最大值。 模型（1）：点、B 在直线m 同侧： 模型（2）：点、B 在直线m 异侧： m B A m A B m B A P' P m A B B' P P' 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长B 交直线m 于点P，当、B、P 不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’- P’B|＜B，当、B、P 共线时，有|P-PB|=B，故|P-PB|≤B，即|P-BP|的最大值即为：线段B 的长度。 模型（2）：如图（2），作点B 作关于直线m 的对称点B’，连接B’交直线m 于点P，此时PB=PB’。 当、B、P 不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’-P’B|=|P’-P’B’|＜B’， 当、B、P 共线时，有|P-PB|=|P-PB’|=B’，故|P-PB|≤B’，即|P-BP|的最大值即为：线段B’的长度。 例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△B 为等腰直角三角形，＝B＝6，∠BD＝15°，P 为直线D 上的动 点，则|P－PB|的最大值为____． 【答】6 【分析】作关于D 的对称点′，连接′B 交D 于P，则点P 就是使|P-PB|的值最大的点，|P-PB|=′B，连接′，根 据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠B=45°，∠B=90°，根据角的和差关系得到∠D=75°，根据轴对称的性质 得到′==B，∠′=∠′=15°，推出△′B 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】如图，作关于 的对称点 ，连接 并延长交 延长线于点P，则点P 就是使 的值 最大的点， ，连接 ， ∵ 为等腰直角三角形， ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∵点与′关于D 对称， ∴D⊥′， ， ，∴ ， ∵=B，∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ．故答为：6 【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确 的作出图形是解题的关键． 例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形 中， 为 边中点，而点 在 边上， 为对角线 所在直线上一动点，已知 ， ，且 ，则 的最大值为 ． 【答】 【分析】本题考查菱形的性质，轴对称中最值问题，勾股定理．取 的中点 ，连接 ，易得 ，故 ，即当 共线时， 最大，作 于 ， 先后求出 ，最后用勾股定理求 即可． 【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， 四边形 是菱形 在 和 中 连接 当 共线时， 最大，图中 处 作 于 ．即 的最大值为 ． 例3．（23-24 八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形 中， ， 与 交于点 ， 是 的中点，点 在 边上，且 为对角线 上一点，则 的最大值为 ． 【答】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题 等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．以 为对称轴作的对称点 ，连接 ，根据对称性 质可知， ，由此可得 ，当 三点共线时，取“ ”，此时即 的 值最大，由正方形的性质求出 的长，继而可得 ， ，再证明 ， 可得 ， ，判断出 为等腰直角三角形，求得 长即可得答． 【详解】解：如图，以 为对称轴作的对称点 ，连接 ， 根据轴对称性质可知， ，∴ ，当 三点共线时，取“ ”， ∵在正方形 中， ， ，∴ ，∵为 中点，∴ ， ∵为 中点，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∵ ， ∴ 为等腰直角三角形，∴ ，故答为：2． 模型3 将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：，B 为定点，在直线m、上分别找两点P、Q，使P+PQ+QB 最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） n m A B n m A B n m A B m n A 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，为定点，在直线m、上分别找两点P、Q，使三角形PQ 的周长（P+PQ+Q）最小。 Q P n m A B P' Q' Q P n m A B B' Q P n m A B B' A' P Q m n A A" A' 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结B,根据两点之间线段最短，P+PQ+QB 的最小值即为：线段B 的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2 ），作点B 关于定直线的对称点B’, 连结B’, 根据对称得到：QB=QB’ ，故 P+PQ+QB=P+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，P+PQ+QB 的最小值即为：线段B’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B 关于定直线的对称点B’,作点关于定直线m 的对称点’,连结’B’, 根据对称得到：QB=QB’，P=P’，故P+PQ+QB=P’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，P+PQ+QB 的最小值即为：线段’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点分别关于定直线m、的对称点’、’’,连结’B, 根据对称得到：Q=Q’，P=P’’，故故P+PQ+Q=P’’+PQ+Q’， 再利用“两点之间线段最短”，得到P+PQ+Q 的最小值即为：线段’’’的长度。 例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形 边长为3，点E 在 边上且 ，点P，Q 分别 是边 ， 的动点（均不与顶点重合），当四边形 的周长取最小值时，四边形 的面积是 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】作E 关于B 的对称点 ，点关于 的对称点 ，连接 ，四边形 的周长最小，根据 ，即可解． 【详解】解：如图1 所示，作E 关于B 的对称点 ，点关于 的对称点 ，连接 ，四边形 的 周长最小， ∵ ， ，∴ ， ． ∵ ，D 是 的中点，∴ 是 的中位线， ∴ ， ，∵ ，∴ ， ∴ ，即 ， ， ， ，故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角 形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形 的周长最小时，P、Q 的位置． 例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图， ，点M、分别在边 上，且 ， 点P、Q 分别在边 上，则 的最小值是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】作M 关于B 的对称点M′，作关于的对称点′，连接M′′，即为MP+PQ+Q 的最小值；证出△′为等边 三角形，△MM′为等边三角形，得出∠′M′=90°，由勾股定理求出M′′即可． 【详解】解：作M 关于B 的对称点M′，作关于的对称点′，如图所示： 连接M′′，即为MP+PQ+Q 的最小值． 根据轴对称的定义可知： ， ，∠′Q=∠M′B=30°， ∠ ∴ ′=60°， ，∴△′为等边三角形，△MM′为等边三角形， ∠ ∴ ′M′=90°，∴在Rt△M′′中，M′′= ．故选：． 【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解 题的关键． 例3．（23-24 九年级上·陕西汉中·期中）（1）如图①，在 中， ．若点 P 是边 上一点．则 的最小值为 ．（2）如图②，在 中， ， ，点 E 是 的中点．若点P 是边 上一点，求 的最小值．（3）公内有一条四边形 型环湖路， 如图③．若 米， 米， ．为满足市民健身需求，现要修 一条由 ， 连接而成的步行景观道，其中点E，F 分别在边 ， 上．为了节省成本，要使 所修的这条步行景观道最短，即 的值最小，求此时 的长．（路面宽度忽略不计） 【答】（1） ；（2） 的最小值为 ；（3） 的长为500 米， 的长为1000 米 【分析】（1）过B 作 于P，由垂线段最短可知， 时， 的值最小，由面积法即可求解； （2）作E 关于直线 的对称点 ，连接 交 于P，由E， 关于直线 对称， 可知 ，当B，P， 共线时，此时 最小，最小值为 的长度，根据 ，点E 是 的中点，可得 ，再用勾股定理可得答； （3）作关于 的对称点M，连接 交 于，作关于 的对称点，连接 ，延长 ， 交于G，连接 ，连接 交 于E，交 于F，由，关于 对称，，M 关于 对称， ，当，E，F，M 共线， 最小，根据 ， ，可得 ，即得 米， 米， 米，由 ，知 是等边三角形，从而 米，同 理可得 米， ，即得 米， 米， 故 米 ，知 ，在 中， 米，在 中， 米，即得 米． 【详解】解：（1）过B 作 于P，如图： 由垂线段最短可知， 时，∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ；故答为： ； （2）作E 关于直线 的对称点 ，连接 交 于P，如图： ∵E， 关于直线 对称，∴ ，∴ ， 当B，P， 共线时， 最小，最小值为 的长度， ∵ ，∴ ，∵点E 是 的中点，∴ ， ∵E， 关于直线 对称，∴ ，∴ ， 在 中， ，∴ 的最小值为 ； （3）作关于 的对称点M，连接 交 于，作关于 的对称点，连接 ，延长 ， 交于G，连接 ，连接 交 于E，交 于F，如图： ∵由，关于 对称，，M 关于 对称， ∴ ，∴ ， 当，E，F，M 共线时，此时 最小； ∵ ，∴ ， ∵，M 关于 对称，∴ ， ∴ ，∴ 米，由勾股定理得 米，∴ 米， ∵ ，∴ 是等边三角形，∴ 米，∴ 米， ∵ ，∴ ，∵，关于 对称，∴，B，共线， ， ∴ 米，由勾股定理得 米，∴ 米 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， 在 中， （米），在 中， （米）， ∴ （米），答： 的长为500 米， 的长为1000 米． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和 性质，轴对称的性质等，解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题． 1．（2024·河南周口·一模）如图，正方形 中，点M，分别为 ， 上的动点，且 ， ， 交于点 E，点 F 为 的中点，点P 为 上一个动点，连接 ， ．若 ，则 的最小值为（ ） ． B． ．5 D． 【答】B 【分析】先根据 得 ，进而可得 ，由此可得E 点的运动轨迹在是以 为直 径的圆上．延长 至 使 ，得 与F 关于直线 对称．连接 交 于P 点，交圆于E 点， 则 ，此时 的值最小，根据勾股定理求出 的长，即可得 的最小值． 【详解】∵ 是正方形， ， ， 又 ， ， ， 又 ， ， ， ∴E 点在以 为直径的圆上运动．设 的中点为，则 ， 延长 至 使 ，则 与F 关于直线 对称， 连接 交 于P 点，交圆于E 点，则 ， ， 此时P、E、F 三点共线，因此 的值最小．在 中， ， ， ， ，∴ 的最小值为 ，故选：B． 【点睛】本题是一道动点问题和最值问题的综合性题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、 直径所对圆周角等于90 度、轴对称的性质．找出E 点的运动轨迹是解题的关键． 2．（2024·山东泰安·二模）如图，在矩形 中， ， ，点E 是 边的点， ，点F 是线段 上一点，连接 ，以 为直角边作等腰直角 ， 为斜边，连接 ，则 的最 小值为（ ） ．6 B． ． D． 【答】B 【分析】过点G 作 于，则可证明 ，得 ；取 中点，则 ，则点G 在直线 上运动，连接 ，则 ， ，当 三 点共线时 最小，从而 最小，由勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：如图，过点G 作 于，则 ， ； 四边形 是矩形， ， ， ，