专题32 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题32 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型 将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的 思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型 和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长 度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连 线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造 桥）再也不是问题！ .................................................................................................................................................2 模型1 将军遛马模型....................................................................................................................................... 2 模型2 将军造桥（过桥）模型.......................................................................................................................6 ...............................................................................................................................................12 模型1 将军遛马模型 将军遛马模型：已知、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧，且PQ 间长度恒定， 在直线m 上要求P、Q 两点，使得P+PQ+QB 的值最小。 点、B 在直线m 异侧（图1-1）；点、B 在直线m 同侧 （图1-2）； m A B Q P 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过点作∥m,且=PQ，连接B，交直线m 于Q，Q 向左平移PQ 长，即 为P 点，此时P、Q 即为所求的点。 ∵PQ 为定值，∴求P+PQ+QB 的最小值，即求P+QB 的最小值+PQ。 ∥ ∵m，=PQ，得到四边形PQ 为平行四边形，故P=Q。∴P+QB=Q+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得P+QB 的最小值为B，故P+PQ+QB 的最小值=PQ+B m A B C Q P m A B B' E Q P 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过点作E∥m,且E=PQ，作B 关于m 的对称点B’，连接B’E，交直线m 于Q，Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点。 ∵PQ 为定值，∴求P+PQ+QB 的最小值，即求P+QB 的最小值+PQ。 ∵E∥m，E=PQ，得到四边形PQE 为平行四边形，故P=QE。∴P+QB=QE+QB， m A B Q P 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故P+PQ+QB 的最小值=PQ+EB’。 例1．（2023·陕西·模拟预测）如图，菱形BD 的边长为3，∠BD＝60°，点E、F 在对角线上（点E 在点F 的左侧），且EF＝1，则DE+BF 最小值为________ 例2．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2 的正方形 中，点E、F 是对角线 上的两个动点， 且始终保持 ，连接 、 ，则 的最小值为（ ） ． B．3 ． D． 例3．（2024·河北邯郸·三模）如图，在边长为1 的菱形 中， ，将 沿射线 的 方向平移得到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为（ ） ．1 B． ． D．2 例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形 中， ， 是对角线 上两点点 靠近点 ， 且 ，当 的最小值为 时， 的长为 ． 模型2 将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建 造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：M+M+B 的值最小）。 河 B 军营 A 将军 N M A' 河 B 军营 A 将军 N M 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过点作’∥M，且’=M，连接’B， ∵’∥M，且’=M ∴四边形PQ 为平行四边形，故M=’， ∵M 为定值，∴求M+M+B 的最小值，即求M+B 的最小值+M。 再利用“两点之间线段最短”，可得M+B 的最小值为’B，故M+M+B 的最小值=’B+M。 例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 中， ， ， ， ， ；垂足分别为点F 和E．点G 和分别是 和 上的动点， ，那么 的最 小值为______． 例2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在 中， ．如果在三 角形内部有一条动线段 ，且 ，则 的最小值为________． 例3．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形 的边长为4，点 是对角线 上两动点，且 ，将点 沿 的方向平移2 个单位得到点 ，连接 、 ． (1)①四边形 的形状为_____________； ②连接 、 ，当点 ， ， 共线时， 的值为_____________． (2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生 存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“ ”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿 地，在支流1 的左上方有一村庄 ，支流2 的右下方有一开发区 ，为促进当地的经济发展，经政府决定 在支流1 和支流2 上分别修建一座桥梁 、 （支流1 的两岸互相平行，支流2 的两岸也互相平行，桥 梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄 到开发区 理论上的最短路程吗？（即 和的最小值）．经测量， 、 两地的直线距离为2000 米，支流1、支流2 的宽度 分别为 米、250 米，且与线段 所夹的锐角分别为 、 ． 1．（2023 安徽中考学二模）如图，菱形BD 的边长为2 ，∠B＝60°，点E、F 在对角线BD 上运动，且 EF＝2，连接E、F，则△EF 周长的最小值是（ ） ．4 B．4+ ．2+2 D．6 2．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有，B 两个村庄，河宽为4 千米，、B 两村庄的直线距离B＝10 千米，、B 两村庄到河岸的距离分别为1 千米、3 千米，计划在河上修建一座桥M 垂直于两岸，M 点为靠 近村庄的河岸上一点，则M+B 的最小值为( ) ．2 B．1+3 ．3+ D． 3．（2024·四川泸州·一模）如图，在直角坐标系中， ， ，是 的中点，点D 在第二象限， 且四边形 为矩形，P 是 上一个动点，过点P 作 于，Q 是点B 关于点的对称点，则 的最小值为 ． 4．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在边 上左右滑动；若 ，则 的最小值为____________． 5．（2023 上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形 内接于⊙，线段 在对角线 上 运动，若⊙的周长为 ， ，则 周长的最小值是 ． 6．（2023 秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为 的正方形 中将 沿射线 平移， 得到 ，连接 、 ．求 的最小值为______． 7．（2024·江苏扬州·一模）如图，在矩形 中，点E、F 是对角线 上的两点， ， ，点G 是边 的中点．当 取最小值时， 的值为 ． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形 中， ， ， 是 边上一动点，过点 作对角线 的垂线，分别交 于点 、交直线 于点 ，则点 在运动过程中， 的最 小值是 ． 9．（2024·广东广州·三模）如图，正方形 内接于 ，线段 在对角线 上运动，若 的面 积为 ， ，则（1） 的直径长为 ；（2） 周长的最小值是 ． 10．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴 的一个交点为点 ，点 在抛物线对称轴左侧，线段D 在对称轴上， ，则四边形 周长的最小 值为 ． 11．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边 的边长为3，点D 在边 上， ，线段 在边 上运动， ，有下列结论：① 与 可能相等；② 与 可能相似；③四边形 面 积的最大值为 ；④四边形 周长的最小值为 ，其中，正确结论的序号为 12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形 中，对角线 与 交于点 ， ， 是 的中点， 是对角线 上的一条动线段，若 的最大值为 ，则 的长为 ． 13．（2024·江苏连云港·二模）如图，正方形的边 长为4，E 是 的中点，P 是 上的动点，过点 P 作 ，分别交 ， 于点F，G．当 取最小值时，则 的长是 ． 14．（2024·四川广安·二模）如图， 是直线 上长度固定为1 的一条动线段．已知点 ， ，则 的最小值为 ． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形 中， ， 是对角线 上两点点 靠近点 ， 且 ，当 的最小值为 时， 的长为 ． 16．（23-24 九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，平面直角坐标系 中，点是直线 上一动点， 将点向右平移1 个单位得到点B，点 ，则 的最小值为 ，此时点B 坐标为 ． 17．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，将线段 沿x 轴向右平移得到 ，连接 ， ，则 的最小值为 ． 18．（2023 上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在 中， ，点D，E 分别是 的中点．若点M，分别是 和 上的动点，则 的最小值是______． （2）问题探究：如图②，和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处， 才能使从到B 的路径 最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过作河岸的 垂线，使 ， 为河宽，连接 ， 与河的一岸交于点，此时在点处建桥，可使从到B 的路 径 最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩形 中， ．E、F 分别在 上，且满足 ， ．若边长为10 的正方形 在线段 上运动，连接 ，当 取值最小时，求 的长． 19．（2023 山东中考二模）如图，抛物线y=x2+bx+（≠0），经过点（-1，0），B（3，0），（0，3）三点． (1)求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；(2)连接、B，为抛物线上的点且在第四象限，当S△B=S△B时，求点 的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点作直线l∥x 轴，动点P（m，3）在直线l 上，动点Q（m，0）在x 轴 上，连接PM、PQ、Q，当m 为何值时，PM+PQ+Q 最小，并求出PM+PQ+Q 的最小值． 20．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有 ， 两个工厂， ， 到公路的垂直距离分别为 和 ， ， 之间的水平距离为 ．现需把 厂的产品先运送到公路 上然后再转送到 厂，则最短路线的长是_____ ． 问题探究（2）如图（2）， 和 是腰长为2 的两个全等的等腰直角三角形， ，点 ， 重合，点 ， 重合，将 沿直线 平移，得到 ，连接 ， ．试探究在平移过程中， 是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请 说明理由． 问题解决（3）如图（3），，B 分别是河岸m 一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是 和 ， ， 的水平距离是 ．游客在景点 游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮 沿河航行 到达码头乙，再乘坐大巴到达景点 ．请问码头甲，乙建在何处才能使从 到 的旅游路线 最短，并求出最短路线的长．