专题31 最值模型之将军饮马模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题31 最值模型之将军饮马模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出 一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥 或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四 边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 将军饮马模型（双线段和的最小值）...............................................................................................1 模型2 将军饮马模型（双线段差的最大值）...............................................................................................6 模型3 将军饮马模型（多线段和的最值）...................................................................................................9 ...............................................................................................................................................15 模型1 将军饮马模型（双线段和的最小值） 条件：，B 为定点，m 为定直线，P 为直线m 上的一个动点，求P+BP 的最小值。 模型（1）点、B 在直线m 两侧： 模型（2）点、B 在直线同侧： m A B m A B 模型（1）点、B 在直线m 两侧： 模型（2）点、B 在直线同侧： P m A B P m A B A' 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结B,根据两点之间线段最短，P+BP 的最小值即为：线段B 的长度。 模型（2）：如图（2），作点关于定直线m 的对称点’,连结’B,根据两点之间线段最短，P+BP 的最小值 即为：线段’B 的长度。 例1．（2024·陕西西安·一模）如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，E 是边 上的一动点，F 为 的中点，则 的最小值为 ． 例2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 为直线 上一动点，则 的最小值为 ． 例3．（2024·广东·二模）如图，菱形 的一条对角线 ， ，P 是对角线 上的 一个动点，E，F 分别为边 ， 的中点，则 的最小值是（ ） ．2 B． ．4 D． 例4．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形 中， ， 平分 交 于点 ， 点 为半径 上一动点．若阴影部分周长的最小值为 ，则扇形的半径 的长为 ． 模型2 将军饮马模型（双线段差的最大值） 条件：，B 为定点，m 为定直线，P 为直线l 上的一个动点，求|P-BP|的最大值。 模型（1）：点、B 在直线m 同侧： 模型（2）：点、B 在直线m 异侧： m B A m A B m B A P' P m A B B' P P' 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长B 交直线m 于点P，当、B、P 不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’- P’B|＜B，当、B、P 共线时，有|P-PB|=B，故|P-PB|≤B，即|P-BP|的最大值即为：线段B 的长度。 模型（2）：如图（2），作点B 作关于直线m 的对称点B’，连接B’交直线m 于点P，此时PB=PB’。 当、B、P 不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’-P’B|=|P’-P’B’|＜B’， 当、B、P 共线时，有|P-PB|=|P-PB’|=B’，故|P-PB|≤B’，即|P-BP|的最大值即为：线段B’的长度。 例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△B 为等腰直角三角形，＝B＝6，∠BD＝15°，P 为直线D 上的动 点，则|P－PB|的最大值为____． 例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形 中， 为 边中点，而点 在 边上， 为对角线 所在直线上一动点，已知 ， ，且 ，则 的最大值为 ． 例3．（23-24 八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形 中， ， 与 交于点 ， 是 的中点，点 在 边上，且 为对角线 上一点，则 的最大值为 ． 模型3 将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：，B 为定点，在直线m、上分别找两点P、Q，使P+PQ+QB 最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） n m A B n m A B n m A B m n A 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，为定点，在直线m、上分别找两点P、Q，使三角形PQ 的周长（P+PQ+Q）最小。 Q P n m A B P' Q' Q P n m A B B' Q P n m A B B' A' P Q m n A A" A' 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结B,根据两点之间线段最短，P+PQ+QB 的最小值即为：线段B 的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2 ），作点B 关于定直线的对称点B’, 连结B’, 根据对称得到：QB=QB’ ，故 P+PQ+QB=P+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，P+PQ+QB 的最小值即为：线段B’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B 关于定直线的对称点B’,作点关于定直线m 的对称点’,连结’B’, 根据对称得到：QB=QB’，P=P’，故P+PQ+QB=P’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，P+PQ+QB 的最小值即为：线段’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点分别关于定直线m、的对称点’、’’,连结’B, 根据对称得到：Q=Q’，P=P’’，故故P+PQ+Q=P’’+PQ+Q’， 再利用“两点之间线段最短”，得到P+PQ+Q 的最小值即为：线段’’’的长度。 例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形 边长为3，点E 在 边上且 ，点P，Q 分别 是边 ， 的动点（均不与顶点重合），当四边形 的周长取最小值时，四边形 的面积是 （ ） ． B． ． D． 例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图， ，点M、分别在边 上，且 ， 点P、Q 分别在边 上，则 的最小值是（ ） ． B． ． D． 例3．（23-24 九年级上·陕西汉中·期中）（1）如图①，在 中， ．若点 P 是边 上一点．则 的最小值为 ．（2）如图②，在 中， ， ，点 E 是 的中点．若点P 是边 上一点，求 的最小值．（3）公内有一条四边形 型环湖路， 如图③．若 米， 米， ．为满足市民健身需求，现要修 一条由 ， 连接而成的步行景观道，其中点E，F 分别在边 ， 上．为了节省成本，要使 所修的这条步行景观道最短，即 的值最小，求此时 的长．（路面宽度忽略不计） 1．（2024·河南周口·一模）如图，正方形 中，点M，分别为 ， 上的动点，且 ， ， 交于点 E，点 F 为 的中点，点P 为 上一个动点，连接 ， ．若 ，则 的最小值为（ ） ． B． ．5 D． 2．（2024·山东泰安·二模）如图，在矩形 中， ， ，点E 是 边的点， ，点F 是线段 上一点，连接 ，以 为直角边作等腰直角 ， 为斜边，连接 ，则 的最 小值为（ ） ．6 B． ． D． 3．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形 ，点 、 、 、 均在坐标轴上， ，点 ，点 是 的中点，点 是 上的一动点，则 的最小值是（ ） ．3 B．5 ． D． 4．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形 是矩形， ， ，点P 是边 上一点（不与点，D 重合），连接 ．点M，分别是 的中点，连接 ， ， ，点E 在边 上， ，则 的最小值是（ ） ． B．3 ． D． 5．（2023·安徽·统考中考真题）如图， 是线段 上一点， 和 是位于直线 同侧的两个等 边三角形，点 分别是 的中点．若 ，则下列结论错误的是（ ） ． 的最小值为 B． 的最小值为 ． 周长的最小值为6 D．四边形 面积的最小值为 6．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形 的边长为4，点E 在边 上，且 ，F 为对 角线 上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ． 7．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点 是矩形 的对称中心，点 ， 分别在边 ， 上，且 经过点 ， ， ， ，点 是边 上一动点．则 周长的最小值为 ． 8．（2024·陕西渭南·二模）如图，在四边形 中， ， ， ，连接 、 交于点 ，点 为 上一动点，连接 ，点 为 的中点，连接 、 ， 则 的最小值为 ． 9．（2024·陕西商洛·三模）如图，点 为正方形 的对称中心，点 为 边上的动点，连接 ， 作 交 于点 ，连接 ， 为 的中点， 为边 上一点，且 ，连接 ， ，则 的最小值为 ． 10．（2023·江苏南通·模拟预测）如图， 中， ， ， ，为 的内心， 若M、分别是斜边 和直角边 上的动点，连接 ，则 的最小值为 ． 11．（2024·海南·三模）如图，矩形 中， ， ， 、 分别是直线 、 上的两个动 点， ， 沿 翻折形成 ，连接 、 ，则 ， 的最小值是 12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在 中，连接 ， ， 的垂直平分线交 于E，交 于F，P 是线段 上一动点，点Q 为 的中点．若 ， 的面积是24，则 的最小值为 ． 13．（2024·山东淄博·一模）如图，线段 与 相交于点E，保持 ，已知 ， ， 则 的最小值是 ． 14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为的等边三角形，点 为高 上的动点． 连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ． 15．（2023 上·江苏常州·九年级校考阶段练习）如图， 是 的直径，点是半圆上的三等分点，B 是弧 的中点，P 点为直线 上的一个动点，当 时， 的最小值为 16．（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点E 为 的中点， 点F 在 上，且 ，点G 为直线 上一动点， 的最大值是 ___________． 17．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形 中， ， ， ， ， ，点 为直线 左侧平面上一点， 的面积为 ，则 的最大值为______ ． 18．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形 中， ， ， ，点E 为 的中点，点F 为B 上一点，连接EF， ，则 的长为________； 【问题探究】（2）如图2，菱形 的边长为8，且 ，E 是 的中点，F 为对角线 上一 动点，连接 ，求 周长的最小值； 【问题解决】（3）某校为了开展劳动育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3 中四边形 所 示，经测量， 米， 米， ，并沿着对角线 修建一条隔墙（厚度不计）将该空 地分成 和 两个区域，其中 区域为苗培育区， 区域为作物观察区， 的中点 P 处有一扇门，现计划在 上取点E、F（点E 在点F 左侧），并沿 修建一面结果记录墙（厚度不 计），根据规划要求， 米，且 与 的长度之和最小，请问 的值是否存在最小值？若 存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由． 19．（23-24 九年级上·河南周口·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题： 如图1 所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的P 点饮马后再到B 点宿营．请问 怎样走才能使总的路程最短？ 作法如下：如图1，从 出发向河岸引垂线，垂足为 ，在 的延长线上，取 关于河岸的对称点 ， 连接 ，与河岸线相交于 ，则 点就是饮马的地方，将军只要从出发，沿直线走到 ，饮马之后，再 由 沿直线走到 ，所走的路程就是最短的． (1)观察发现如图2，在等腰梯形 中， ，点 、 是底边 与 的中 点，连接 ，在线段 上找一点 ，使 最短． 作点 关于 的对称点，恰好与点 重合，连接 交 于一点，则这点就是所求的点 ，故 的最小值为_______． (2)实践运用如图3，已知 的直径 ，点在圆上，且 的度数为 ，点 是弧 的中点， 点 在直径 上运动，求 的最小值． (3)拓展迁移如图，已知抛物线 的对称轴为 ，且抛物线经过 两 点，与 轴交于另一点 ．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线 上找到一 点 ，使 周长最小，请求出此时点 的坐标与 周长最小值． 20．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点 的坐标； (2)在y 轴上存在点 ，使得 的值最小，求 的最小值． 21．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线 经过 两点，并交x 轴于 另一点B，点M 是抛物线的顶点，直线M 与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式；(2)若点是x 轴上一动点，分别连接M，D，求 的最小值； 22．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】 (1)如图1， ，在 内部有一点P，M、分别是 、 上的动点，分别作点P 关于边 、 的对称点 ， ，连接 ， 与 、 相交于M、，则此时 的周长最小，且顺次连接， ， 后 的形状是等腰直角三角形．理由如下： ∵点P 关于边 、 的对称点分别为 ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ 即 周长的的最小值为 ∵ ，∴ ∴ 是等腰直角三角形． 学以致用：若 ，在 内部有一点P，分别作点P 关于边 、 的对称点 ， ，顺次连 接， ， ，则 的形状是__________三角形． (2)【问题探究】如图2，在 中， ， ，点D 是 的中点，若 ，请用含 有的代数式表示 的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形 内有一点P，点P 到顶点B 的距 离为10， ，点M、分别是 、 边上的动点，顺次连接P、M、，使 在周长最小的 情况下，面积最大，问：是否存在使 在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出 的面积的最大值；若不存在，请说明理由．