精品解析：广东省广州市天河外国语学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

第1 页/共28 页 （北京）股份有限公司 广州市天河外国语学校2022 学年第一学期期中考试 高二年级试卷 数学 学科 命题人：高二年级组 审核人：高二年级组 注意事项： 1. 本试卷分全卷满分150 分，120 分钟内完成，闭卷. 2. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 3. 答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡相应的位置. 4. 全部答案应在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 5. 考试结束后，将答题卡交回. 第I 卷 一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求.） 1. 直线 的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化成斜截式即可得直线的 斜率. 【详解】解：因为直线方程为 ，化为斜截式为： ， 第2 页/共28 页 （北京）股份有限公司 所以直线的斜率为： . 故选：D. 2. 若 ， ，则 等于（ ） A. 5 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的四则运算与数量积的坐标表示即可求解. 【详解】∵ ， ，∴两式相加得 ， ∴ ，∴ ， ∴ ， 故选：B． 3. 若直线 是圆 的一条对称轴，则m 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心坐标代入直线方程可求得参数值． 【详解】由已知圆的标准方程是 ，圆心坐标为 ， 所以 ， ． 故选：B． 4. 两圆 与 的公切线有（ ） A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 【答案】D 【解析】 第3 页/共28 页 （北京）股份有限公司 【分析】求得圆心坐标分别为 ，半径分别为 ，根据圆圆的位置关系的判定 方法，得出两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由题意，圆 与圆 ， 可得圆心坐标分别为 ，半径分别为 ， 则 ， 所以 ，可得圆 外离， 所以两圆共有4 条切线. 故选：D. 5. 在空间直角坐标系中，已知 ， ，则点 到直线 的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可求 在 方向上的投影数量 ，进而点 到直线 的距离为 ，即求. 【详解】∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 在 方向上的投影数量为 ， 第4 页/共28 页 （北京）股份有限公司 ∴点 到直线 的距离为 . 故选：C. 6. 已知点 与点 关于直线 对称，则点 的坐标为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据对称列式求解. 【详解】设 ,则 ，选D. 【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题. 7. 如图，正方体 的棱长为6，点 为 的中点，点 为底面 上的动点，满 足 的点 的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图所示的 空间直角坐标系，利用坐标法可得动点 的轨迹为线段即可得结果. 第5 页/共28 页 （北京）股份有限公司 【详解】分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ，设 ， ， 则 ， ， 由 得 ，即 ， 由于 ，所以 ， ， 所以点 的轨迹为面 上的直线： ， ，即图中的线段 ， 由图知： ， 故选：B. 8. 已知 ，直线 上存在点 ，满足 ，则的倾斜 角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据 上，得到点p 在线段AB 上，其方程为 上， 又点在直线l 上，联立其方程，求得 ，然后由 求解. 【详解】将 代入 得 ， 第6 页/共28 页 （北京）股份有限公司 将 代入 得 ， 所以A，B 不在直线l 上， 又 上， 所以点p 在线段AB 上， 直线AB 的方程为： ， 由 ，解得 ， 直线方程 ，即为 ， 设直线的倾斜角为 ， 则 ， 因为 ， 所以 ， 则 ， 所以 ， 即 ， 因为 ， 所以 ， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到点P 在线段AB 上，再根据点P 的直线l 上，联立求得 ，再利用斜率与倾斜角的关系而得解. 第7 页/共28 页 （北京）股份有限公司 二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9. 直线 不过第二象限，则a 的可取值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】CD 【解析】 【分析】分 ， 时讨论，可得 ，即得. 【详解】当 时， ，适合题意， 当 时，则 ，由直线 不过第二象限， 所以 ，解得 ， 综上， . 故选：CD. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量 ， ，若 ，则 B. 若对空间中任意一点 ，有 ，则 ， ， ， 四点共面 C. 设 是空间中的一组基底，则 也是空间的一组基底 第8 页/共28 页 （北京）股份有限公司 D. 若空间四个点 ， ， ， ， ，则 ， ， 三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量垂直的性质判断 ；由共面向量定理判断 ；由向量加法法则判断 ；由共线向量定理 判断 ． 【详解】对于 ，非零向量 ， ，若 ，则 ，正确； 对于 ，若对空间中任意一点 ，有 ， ， ， ， ， 四点共面，故正确； 对于 ， ∵ ∴ 共面，不可以构成空间的一组基底，故错误； 对于 ，若空间四个点 ， ， ， ， ，∵ ，则 ， ， 三点共线， 故正确． 故选： ． 11. 已知直线 与圆 ，则（ ） A. 直线与圆C 相离 B. 直线与圆C 相交 C. 圆C 上到直线的距离为1 的点共有2 个 D. 圆C 上到直线的距离为1 的点共有3 个 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系可判断. 第9 页/共28 页 （北京）股份有限公司 【详解】由圆 ，可知其圆心坐标为 ，半径为 ， 圆心 到直线 的距离 ，所以可知选项B，D 正确，选项A，C 错误. 故选：BD 12. 在棱长为1 的正方体 中，已知 为线段 的中点，点 和点 分别满足 ， ，其中 ， ， ，则（ ） A. 当 时，三棱锥 的体积为定值 B. 当 时，四棱锥 的外接球的表面积是 C. 若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则 D. 存在唯一的实数对 ，使得 平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据锥体体积的求法、几何体外接球表面积的求法、线面角、线面垂直等知识对选项进行分析， 由此确定正确选项. 【详解】对于A，当 时， 是 的中点，连接 与交 于点 ，则 为 的中点， ∴ ， 面 ，又点 在 上，∴点 到面 的距离为定值， ∴三棱锥 的体积为定值，故A 正确； 对于B，当 时，点 为 的中点，设四棱锥 的外接球的半径为 ， 则球心O 在PM 延长线上，由OP=R 得OM= ， 第10 页/共28 页 （北京）股份有限公司 由 得 ，解得 ， ∴外接球的表面积为 ，故B 正确； 对于C，连接 ，过点 作 于 ，连接 ， ∵ 平面 ，∴平面 平面 ， 平面 平面 ，∴ 平面 ， ∴ 为 与平面 所成角， ∵ ，∴ ， ， 在 由余弦定理有 ， 在 中由勾股定理有 ， ∴ ，解得 ，故C 正确． 对于D，∵点 在 上，又 在 上， 在 上，∴平面 即为平面 ， 又易证 平面 ，∴ 是平面 的法向量， ∴要使 平面 ，须 与 共线，即须 与 共线，显然不可能， ∴不存在实数对 使得 平面 ，故D 错误. 故选：ABC 第11 页/共28 页 （北京）股份有限公司 第II 卷 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.） 13. 过 作圆 的切线，则其切线方程为____________. 【答案】 或 【解析】 【分析】 当过点 的直线斜率不存在时，方程是 ，通过验证圆心到直线的距离，得到 符合题意；当过 点 的直线斜率存在时，设直线方程为 ，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关 于 的方程，解之得 ，进而得到直线的方程，最后综合可得答案． 【详解】圆 的圆心为 ，半径为1， （1）当过点 的直线垂直于 轴时， 此时直线斜率不存在，方程是 ， 圆心 到直线的距离为 ， 直线 符合题意； 第12 页/共28 页 （北京）股份有限公司 （2）当过点 的直线不垂直于 轴时， 设直线方程为 ，即 ． 直线是 的切线， 点 到直线的距离为 ，解之得 ， 此时直线方程为 ． 切线方程为 或 ． 故答案为： 或 ． 【点睛】借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离 公式等知识点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 14. 若直线 ， 平行，则 与 间的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行得出实数 满足的等式与不等式，再利用平行线间距离公式即求. 【详解】由于直线 与 平行， 则 ， 解得 ， 所以 ， ∴ 与 间的距离为 . 第13 页/共28 页 （北京）股份有限公司 故答案为： 15. 若圆 ： 与圆 ： 相交于 ， 两点，且两圆在点 处的切线互相垂 直，则线段 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由切线互相垂直可知 ，进而可得 ，再结合三角形面积可得解. 【详解】根据题意，圆 ： 的圆心为 ，半径 ； 圆 ： 的圆心为 ： ，半径 ． 由圆 ： 与圆 ： 相交于 ， 两点，且两圆在点 处的切线互相垂直， 则有 ，可得 ． 由 ， 得 故答案为： ． 16. 三棱锥P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直， ，点Q 为平面ABC 内的动点，且满 足 ，记直线PQ 与直线AB 的所成角为 ，则 的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件先确定出 在平面 内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方 向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的正弦值的取值范围. 第14 页/共28 页 （北京）股份有限公司 【详解】因为 两两垂直，且 ，所以由全等三角形可知 ， 所以三棱锥为正三棱锥，记 在底面 内的投影为 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 的轨迹是以 为圆心半径为的圆， 取 中点 ，连接 ，可知 经过点 ，建立如下图所示的空间直角坐标系： 设 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，且 ， 所以 ，所以 ， 第15 页/共28 页 （北京）股份有限公司 故答案为： . 【点睛】思路点睛：异面直线所成角的余弦值的向量求法： （1）先分别求解出两条异面直线的一个方向向量； （2）计算出两个方向向量夹角的余弦值； （3）根据方向向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成角的余弦值求解出结果. 四、解答题（本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. 求符合下列条件的直线的方程： （1）过点 ，且斜率为 ； （2）过点 ， ； （3）过点 且在两坐标轴上的截距相等． 【答案】（1） ； （2） ； （3） 或 . 【解析】 【分析】（1）利用点斜式写直线方程即可； （2）利用斜率公式求出斜率，再用点斜式写直线方程； （3）利用斜截式和截距式待定系数求直线方程. 【小问1 详解】 ∵所求直线过点 ，且斜率为 ，∴ ，即 ； 【小问2 详解】 ∵所求直线过 ， ，∴ ， 第16 页/共28 页 （北京）股份有限公司 ∴ ，即 ； 【小问3 详解】 当直线过原点时，设直线方程为 ， ∵直线过 点 ，∴ ，直线方程为 ，即 ； 当直线不过原点时，设直线方程为 ， 将点 代入上式，得 ，解得 ， 故直线的方程为 ，综上，直线方程为 或 ． 18. 如图，在四棱锥 中，底面 正方形，平面 底面 ，平面 底面 ， ， 分别是 的中点， 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； 第17 页/共28 页 （北京）股份有限公司 （2） . 【解析】 【分析】（1）取 中点 ，连接 由中位线性质、线面平行的判定可得 面 、 面 ，根据面面垂直的判定和性质即可证结论； （2）构建空间直角坐标系，求直线的方向向量、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求线面角的 正弦值. 【小问1 详解】 如图，取 中点 ，连接 分别是 的中点， ，又 分别是 的中点， ， 面 面 ， 面 ， 同理， 分别是 的中点， ∴ ， 面 ， 面 ∴ 面 ，又 ， 面 面 面 面 面 ， 平面 ， 【小问2 详解】 面 面 ，面 面 ，面 内存在过 直线 ， 所以 面 ； 第18 页/共28 页 （北京）股份有限公司 面 面 ，面 面 ，面 内存在过 直线 ； 所以 面 ； 又 都过 面 ，由过一点有且仅有一条直线与平面垂直，故 为同一条直线， 面 面 ，即 为直线 ，故 面 ， 如图，以 为原点， 分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ， 设 ，则 ，得 ， ， ， 设面 的法向量为 ，可得 ，令 ，得 ， 故 ，故 与面 所成角的正弦值为 ． 19. 已知圆 过点 ， ，且圆心 在直线： 上. 第19 页/共28 页 （北京）股份有限公司 （1）求圆 的方程； （2）若从点 发出的光线经过直线 反射，反射光线 恰好平分圆 的圆周，求反射光线 的一般方程. （3）若点 在直线上运动，求 的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可求线段 的中垂线方程，联立直线方程可得圆心，进而可得半径与圆的方程； （2）由 恰好平分圆 的圆周，得 经过圆心 ，求点 关于直线 的对称点 ，求出直线 即为 ； （3）由题意设点 的坐标为 ，根据两点间距离公式可得 ，进而 可得最小值. 【小问1 详解】 由 ， ，得直线 的斜率为 ，线段中点 ， 所以 ，直线 的方程为 ，即 ， 联立 ，解得 ，即 ， 所以半径 ， 所以圆 的方程为 ； 【小问2 详解】 第20 页/共28 页 （北京）股份有限公司 由 恰好平分圆 的圆周，得 经过圆心 ， 设点 关于直线 的对称点 ， 则直线 与直线 垂直，且线段 的中点 在 上， 即 ，解得 ， 所以 ， 所以直线 即为直线 ，且 ， 直线 方程为 ，即 ； 【小问3 详解】 由已知点 在直线 上， 设 ， 则 ， 所以当 时， 取最小值为 . 20. 如图所示，三棱柱 中， ， ， ， ， ， ， 是 中点． 第21 页/共28 页 （北京）股份有限公司 （1）用 ， ， 表示向量 ； （2）在线段 上是否存在点 ，使 ？若存在，求出 的位置，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）当 时， 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可； （2）设 ， ，用 ， ， 表示向量 ，依题意可得 ，根据空间 向量数量积的 运算律求出 ，即可得解． 【小问1 详解】 解：因为 是 中点，所以 ， 所以 ； 【小问2 详解】 解：假设存在点 ，使 ，设 ， ， 显然 ， ， 第22 页/共28 页 （北京）股份有限公司 因为 ，所以 ， 即 ， ， ， ， 即 ， 解得 ，所以当 时， . 21. 在直角坐标系 中，直线 交x 轴于M，以O 为圆心的圆与直线l 相切. （1）求圆O 的方程； （2）设点 为直线 上一动点，若在圆O 上存在点P，使得 ，求 的取值 范围； （3）是否存在定点S，对于经过点S 的直线L，当L 与圆O 交于A，B 时，恒有 ？若存 在，求点S 的坐标：若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，点S 的坐标为 【解析】 【分析】(1)求出点O 到直线l 的距离即可求得圆O 的方程. (2)对于直线 上的每一点N，当NP 与圆O 相切时， 最大，由 即可计算得 第23 页/共28 页 （北京）股份有限公司 解. (3)当直线L 斜率存在时，设其方程为 ，与圆O 的方程联立，利用给定条件并 借助韦达定理探求k，m 的关系即得，再讨论直线L 斜率不存在的情况即可判断作答. 【小问1 详解】 原点O 到直线 的距离为 ，因圆O 与直线l 相切， 所以圆O 的方程为： . 【小问2 详解】 点O 到直线 的 距离为 ，即直线 与圆O： 相离，对于此直线 上的每一点N， 点P 在圆O 上，当NP 与圆O 相切时，点O 到直线NP 距离为圆O 半径2，是点O 到由点N 与圆O 上任意 点 确定的直线距离最大的，如图， ，要圆O 上存在点P，使得 ，当且仅当NP 与圆O 相切且 ， 即 ，则有 ，因此， ， 而 ，即 ，解得 ， 所以 的取值范围是 . 【小问3 详解】 第24 页/共28 页 （北京）股份有限公司 直线L 斜率存在时，设其方程为 ，由 消去y 并整理得： ， 设 ，则 ，而点 ，要 成立， 当且仅当直线AM，BM 斜率互为相反数，即 ，则 ， 整理得 ，即 ，化简得 ， 直线L： 恒过定点 ，显然点 在圆O 内，方程 有两个 不等实根， 当直线L 斜率不存在时，点A，B 关于x 轴对称，恒有 成立， 此时，直线L 可为和圆O： 相交且与x 轴垂直的每一条直线，直线 为其中之一， 综上得，无论直线L 斜率存在与不存在，只要L 过点 就恒有 成立， 所以存在定点S ，对于经过点S 的直线L，当L 与圆O 交于A，B 时，恒有 . 22. 如图1，四边形 为直角梯形， ， ， ， . 为线段 上的点，且 .将 沿 折起，得到四棱锥 (如图2)，使得 . 第25 页/共28 页 （北京）股份有限公司 （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） ； 【解析】 【分析】（1）在图1 中过点 作 交 于点 ，在图2 中取 为 的中点，连接 和 ， 可得 ， ，即可得到 平面 ，即可得到 ，再由 ， 则 平面 ，从而得证； （2）连接 交 于 ，过点 作 交 于点 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求 出二面角的余弦值； 【详解】解：（1）在图1 中过点 作 交 于点 ，在图2 中取 为 的中点，连接 和 ，则 ，因为 且 ，所以 为等边三角形，所以 ，在 中， ， 因为 ，所以 ， ，在图2 中 ，所以 为等腰三角形，所 以 ，在