精品解析：广东省广州市第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

第1 页/共29 页 （北京）股份有限公司 高二级期中考《数学》试题 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 直线方程 的一个方向向量 可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量. 【详解】解：依题意， 为直线的一个法向量，∴方向向量为 ， 故选：D. 2. 已知 ， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出 ，再由诱导公式计算可得； 【详解】解：因为 ， ，所以 ， 所以 ； 故选：A 3. 若直线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围是（ ） 第2 页/共29 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得圆心为 ，半径为 ． 圆心到直线的距离为 ， 由直线与圆有公共点可得 ，即 ，解得 ． ∴实数a 取值范围是 ． 选C． 4. 如图， 中， 为 边上的中线， 为 的中点，若 ，则实数对 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可 第3 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【详解】因为 为 的中点，且 为 边上的中线，故 ，故 故选：A 5. 设直线 ， 的斜率和倾斜角分别为 ， 和 ， ，则“ 是“ ”的（ ） A . 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 对直线的倾斜角分锐角和钝角进行讨论，再结合正切函数的性质，即可得答案； 【详解】解：∵直线 ， 的斜率和倾斜角分别为 ， 和 ， ， 当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“ ”，则“ ”， 若“ ”，则“ ”， 当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“ ”，则“ 与 ”的大小不能确定， 若“ ”，则“ 与 ”的大小也不能确定， 故则“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 【点睛】直线的 斜率 ，将斜率视为倾斜角的函数，再利用正切函数的性质进行求解. 6. 在 中， ， ，现以 为旋转轴旋转360°得到一个旋转体，则该旋转 体的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 第4 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【答案】A 【解析】 【分析】作出旋转体的轴截面，利用几何关系求出内切球的半径 ，即可求出内切球的体积. 【详解】如图所示，旋转体的轴截面是边长为3 的菱形，设 为内切球的球心， 因为 ，所以 ， 所以 ， ， 设内切球的半径为，所以 ， 所以 ， 故内切球的体积 ， 故选：A 7. 已知函数 在 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的区间单调性，结合对数函数、二次函数的性质确定单调区间，进而求a 的 第5 页/共29 页 （北京）股份有限公司 取值范围. 【详解】令 ，开口向上且对称轴为 ， 当 ，即 时，在 上递减， 上递增(注意 时单调区间 处可取闭)； 当 ，即 或 时，若 有 ， ∴在 上递减， 上递增； 又 在定义域上递减，要使 在 上单调递增， ∴ 时，可得 ； 或 时，有 ，可得 . 综上， . 故选：B 8. 如图是一个近似扇形的湖面，其中 ，弧 的长为 .为了方便观光，欲在 两点 之间修建一条笔直的走廊 .若当 时， ，扇形 的面积记为 ，则 的值约 为（ ） A. B. C. D. 第6 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得 ，再根据扇形面积公式可得 ，结合条件即得. 【详解】设扇形 的圆心角为 ，则 ， 在 中， ， 又 ， ∴ ，又 ， ∴ . 故选：B. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 已知实数 、 ，若 ，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】取 可判断A 选项；利用特殊值法可判断B 选项；利用指数函数的单调性可判断C 选项； 第7 页/共29 页 （北京）股份有限公司 取 ，利用对数函数的单调性可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，当 时， ，A 错； 对于B 选项，取 ， ，满足 ，但 ，B 错； 对于C 选项，因为指数函数 为 上的减函数，且 ，则 ，C 对； 对于D 选项，当 时， ，D 错. 故选：ABD. 10. 设向量 ， ，其中 ，则下列判断正确的是（ ） A. 向量与 轴正方向的夹角为定值（与 、 之值无关） B. 的最大值为 C. 与夹角的最大值为 D. 的最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积运算，结合不等式的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：不妨取 ，设向量与 轴正方向的夹角为 ， 则 ，又 ，故 ，A 正确； 对B： ，又因为 ， 则 ，即 ， 当且仅当 时取得等号，故 的最大值为，故B 错误； 第8 页/共29 页 （北京）股份有限公司 对C：设 与夹角的为 ，则 ， 由 可知， ，故 ，又 ，则 ， 故 的最大值为 ，即 与夹角的最大值为 ， 正确； 对 ： ，即 ， 当且仅当 时取得等号，故 正确； 故选： . 11. 已知圆 ： ，一条光线从点 射出经 轴反射，则下列结论正确的是（ ） A. 圆 关于 轴的对称圆的方程为 B. 若反射光线平分圆 的周长，则入射光线所在直线方程为 C. 若反射光线与圆 相切于 ，与 轴相交于点 ，则 D. 若反射光线与圆 交于 ， 两点，则 面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由对称的性质直接求解即可，对于B，由题意可知入射光线所在的直线过点 和 ，从而可求出直线方程，对于C ，由题意可知反射光线所在的直线过点 ，则 ，然后由圆的性质可求出 ，进而可求得 的值，对于D，设 ， ，表示弦长和弦心距，可表示出 面积，从而可求出其最大值 第9 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【详解】对于A，由圆 方程可得 ，故圆心 ，半径 ， 圆 关于 轴对称的圆的圆心为 ，半径为， 所求圆的方程为： ，即 ，A 正确； 对于B， 反射光线平分圆 的周长， 反射光线经过圆心 ， 入射光线所在直线经过点 ， ， 入射光线所在直线方程为： ，即 ，B 正确； 对于C， 反射光线经过点 关于 轴的对称点 ， ， ，则 ，C 错误； 对于D，设 ， 则圆心 到直线 的距离 ， 第10 页/共29 页 （北京）股份有限公司 ， ， 则当 时， ，D 正确. 故选：ABD. 12. 在平面直角坐标系 中，圆 ： ，曲线 上存在四个点 （ ，2，3， 4），过点 作圆的 两条切线， ， 为切点，满足 ，则 的值可能为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先设出 ，利用 求出 在以原点为圆心，半径为2 的圆上，数形结合 转化为 且只需原点到直线 的距离小于半径2 即可，用点到距离公式列出不等式，求 出k 的取值范围 【详解】设 ，连接 ，设 ， 第11 页/共29 页 （北京）股份有限公司 则 ， ， 所以 ， 又 ， 所以 令 ，则有 ，解得： 或 ， 因为 在单位圆外，所以 舍去， 即 在以原点为圆心，半径为2 的圆上， 因为曲线 上存在四个点 （i＝1，2，3，4）， 即 与圆 有4 个交点， 结合图象可知， 且只需原点到直线 即 的距离小于半径2 即可， 所以 ，解得： 或 （舍去）， 故选：CD 【点睛】关键点点睛：数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量， 第12 页/共29 页 （北京）股份有限公司 比如本题中的直线方程过定点 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 直线 与圆 相交所得的弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程写出韦达定理，代入弦长公式即可求出弦长. 【详解】联立方程 得 故 ， ，根据弦长公式可得 故答案为: 14. 已知 ， 为单位向量．若 ，则 在 上的投影向量的模为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据模与向量的关系求出 的值，再根据 在 上的投影向量的模的公式 求出答案即可. 【详解】由题可知： 即 ，则 在 上的投影向量的模为 第13 页/共29 页 （北京）股份有限公司 故答案为: 15. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 ，将一个球放在容器口，再向容器内注 水，当球面恰好接触水面时测得水深为 ，如果不计容器的厚度，则球的半径为______ ． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，再根据截面圆半径，球的半 径以及球心距的关系，即可求出球的半径 【详解】设球的半径为 ， 则正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为 cm，所以 ，解得 ， 第14 页/共29 页 （北京）股份有限公司 故答案为：5 16. 在矩形 中， 是 的中点， ，将 沿 折起得到 ，设 的中点为 ，若将 绕 旋转 ，则在此过程中动点 形成的轨迹长度为___________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】先通过 始终是等腰直角三角形确定动点 的轨迹是一段圆弧，再结合垂直关系证明圆弧 对应的圆心角为 ，即可求出动点 的轨迹长度. 【详解】 如图，设 的中点为 ， 绕 旋转 ，此时平面 平面 ，取 中点 ， 中点 ， 中点 ， 连接 . ， ， 和 是等腰直角 三角形， 且在旋转过程中保持形状大小不变，故动点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的一段圆弧，又 面 ， 面 ， 面 ，同理 面 ，又 ， 面 面 第15 页/共29 页 （北京）股份有限公司 ，又平面 平面 ， 故面 面 ，又面 面 ， ，故 面 ，又 面 ， ， 故动点 形成的轨迹长度为 . 故答案为： . 【点睛】本题关键点在于发现 在旋转过程中始终是等腰直角三角形，进而确定动点 的轨迹是一 段圆弧，再结合题目中的线面关系证明 圆弧对应的圆心角为 ，即可求出动点 的轨迹长度. 三、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由 于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城 市共享单车加强监管，随机选取了50 人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50 人根据其满意度评分值（百分制）按照 ， ，…， 分成5 组，请根据下面尚未完 成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示） 第16 页/共29 页 （北京）股份有限公司 组别 分组 频数 频率 第1 组 8 0.16 第2 组 ■ 第3 组 20 0.40 第4 组 ■ 0.08 第5 组 2 合计 ■ ■ 解决下列问题： （1）求 ， ， ， 的值； （2）试估计受调查者满意度评分值的80%分位数； （3）若在满意度评分值为 的人中随机抽取2 人进行座谈，求所抽取的2 人中至少一人来自第5 组的概率． 【答案】（1）16，0.04，0.032，0.004； （2）78； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，可求出 的频率 ，由所有组频率之和为1 得出 的频率，从而算出 ，最后根据频率和组距的关系，求出 和 ； （2）利用百分位数的运算方法，求出满意度评分值的80%分位数； （3）先求出满意度评分值在 ， 内的 人数，然后分别求出在满意度评分值为 的人中随机抽取 人与所抽取的 人中至少一人来自第5 组的不同抽取数，从而得出概率. 【小问1 详解】 由频率分布直方图和频数分布表得： 第17 页/共29 页 （北京）股份有限公司 的频率为： ， 的频率为： ， ∴ ， ∴ , ， 即 的值分别为16，0.04，0.032，0.004； 【小问2 详解】 由题可知知样本数据中满意度评分值在 分以下所占比例为 ， 在 分以下所占比例为 ， 因此，第 百分位数一定位于 内，由 ， 可以估计受调查者满意度评分值的80%分位数为 分； 【小问3 详解】 由题意满意度评分值在 有 人， 满意度评分值在 有2 人， 在满意度评分值为 的人中随机抽取 人有 种不同的抽法， 所抽取的 人中至少一人来自第 组有： 种， 所以所抽取的 人中至少一人来自第 组的概率为： 18. 在如图所示的六面体中，四边形 是边长为2 的正方形，四边形 是梯形， ，平面 第18 页/共29 页 （北京）股份有限公司 平面 ， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC，BD 相交于点O，取DE 的中点为 ，连接 ，只证 即可； （2）过点 作 的平行线交 于点 ,利用几何关系可得到 在平面 内，过点 作 的垂线交 于点 ，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可 【小问1 详解】 连接 交于点 ，取 的中点为 ，连接 ， 因为四边形 是正方形，所以 是 的中点，则 ， ， 又因为 ， ， 故 ， ，所以四边形 是平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ， 平面 ； 第19 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【小问2 详解】 在平面 内，过点 作 的平行线交 于点 , 又 ，所以四边形 为平行四边形， 所以 ， 又因为 ,所以 所以 是直角三角形， 在平面 内，过点 作 的垂线交 于点 ， 又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 面 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向，建立 如图所示的空间直角坐标系 ， 则 所以 设 是面 的法向量， 第20 页/共29 页 （北京）股份有限公司 则 即 ，当 时， ， 所以 ， 设直线 与平面 所成角为 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 19. 已知 中,角 的对边分别为 , ,向量 , ,且 . ( ) Ⅰ求 的大小； ( ) Ⅱ当 取得最大值时,求角 的大小和 的面积. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）通过向量的垂直，两角和与差的三角函数化简表达之，利用三角形的内角和， 转化为 的三角函数值，然后求 的大小；（Ⅱ）通过 的大小，推出 的关系，化简 为 的三角函数的形式，通过 的范围求出不等式取得最大值时，求角 的大小，利 用正弦定理求出 的值，即可利用三角形的面积公式求解三角形的面积. 试题解析：（Ⅰ）因为 ,所以 第21 页/共29 页 （北京）股份有限公司 即 ,因为 ,所以 所以 （Ⅱ）由 , 故 由 ,故 最大值时, 由正弦定理, ,得 故 考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用. 20. 如图，已知五面体 ，其中 内接于圆 ， 是圆 的直径，四边形 为平行四 边形，且 平面 ． （1）证明： ； （2）若 ， ，且二面角 所成角 的正切值是 ，试求该几何体 的体 第22 页/共29 页 （北京）股份有限公司 积． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 【详解】试题分析： （1）将问题转化为证明 平面 ，再转化为证明 （由 直径可证）与 （由 平面 可证）；（2）考虑建立空间直角坐标系，通过 求两个法向量的夹角来确定二面角 所成角 的正切值，并确定 的长，进而可求得几何体 的体积． 试题解析：（1）证明： 是圆 的直径， ， 又 平面 ， 平面ABC 又 平面 ，且 ， 平面 又 平面 ， （2）设 ，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，如图所示 则 ， ， ， 由（Ⅰ）可得， 平面 ， 平面 的一个法向量是 设 为平面 的一个法向量 由条件得， ， 即 不妨令 ，则 ， ， ． 第23 页/共29 页 （北京）股份有限公司 又二面角 所成角 的正切值是 ， ， 得 该几何体 的体积是 考点：1、空间直线与直线、直线与平面的垂直的判定与性质；2、二面角；3、空间几何体的体积． 【方法点睛】用空间向量处理某些立体几何问题时，除要有应用空间向量的意识外，关键是根据空间图形 的特点建立恰当的空间直角坐标系．若坐标系选取不当，计算量就会增大．总之树立用数解形的观念，即 用数形结合的思想解决问题，而建立空间直角坐标系通常考虑以特殊点为坐标原点（如中点、正方体的顶 点），特殊直线（如有两两垂直的直线）为坐标轴来建立． 21. 圆 ： ． 第24 页/共29 页 （北京）股份有限公司 （1）若圆 与 轴相切，求圆 的方程； （2）已知 ，圆 与 轴相交于两点 、 （点 在点 的左侧）．过点 任作一条直线与圆 ： 相交于两点 ， ．问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出实数 的值， 若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）圆 与 轴相切即是方程 的 根只有一个，因此 即 可求出 ，得出方程. （2）若存在实数 ，使得 ，则 .由此条件先求出 、 的坐标，假设出 交点 ， 的坐标，表示出 ，最后利用韦达定理解出 . 【小问1 详解】 联立方程 ，得 由题意得 ，所以 ， 故所求圆C 的方程为： 第25 页/共29 页 （北京）股份有限公司 【小问2 详解】 令 ，得 ，即 所以 ， ， 若存在实数 ，使得 ，则 当直线 存在斜率k，设直线 的方程为 ，代入 ， 得 ， 设 ，则 ， 而 ， 因为 ，所以 ，即 当直线 不存在斜率，即与x 轴垂直时，也成立. 故存在 ，使得 【点睛】思路点睛： 解析几何中，若出现关于角度问题，可优先考虑两个思路 ①若存在直角，则可考虑三角函数正弦值或余弦值； ②若存在三边皆可表示的三角形，可考虑正弦或者余弦定理； ③若存在的角度互补，可考虑直线斜率相加为0 的等式关系. 22. 已知函数 （ 且 ， ）是偶函数． （1）求 的值； 第26 页/共29 页 （北京）股份有限公司 （2）对任意 且 ，函数 的图象与函数 的图象都没有交点，求 的值； （3）设函数 ，若函数 与