精品解析：广东省广州市玉岩中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

第1 页/共27 页 （北京）股份有限公司 广州市玉岩中学2022 学年第一学期期中测试 高二数学 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1. 已知直线的倾斜角为 ，则其斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】斜率 故选：D 2. 已知直线过点 ，且其方向向量 ，则直线的 方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和直线的点方向式方程即可得出结果. 【详解】因为直线过点 ，且方向向量为 ， 由直线的点方向式方程，可得直线的方程为： 第2 页/共27 页 （北京）股份有限公司 ， 整理，得 . 故选：D 3. 已知向量 ， ，且 与 互相平行，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量共线的坐标表示求解 【详解】 ， ， 则 ，解得 ， 故选：D 4. 直线mx-2y-m+1=0 与圆x2+y2-4x-2y+1=0 的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据圆的方程求出圆心和半径，然后根据不等式恒成立的法则可知 对任意 恒成立，即可知 恒成立，即直线与圆相交. 【详解】解：由题意得： 已知圆的 方程可化为 ，即圆心的坐标为 ，半径为 圆心 到直线 的距离为 第3 页/共27 页 （北京）股份有限公司 当 时，即 ，则 整理可知： ，根据二次函数的性 质， ，故不等式恒成立，直线与圆相交； 当 时，即 ，不等式无解； 故直线mx-2y-m+1=0 与圆x2+y2-4x-2y+1=0 的位置关系是相交； 故选：A 5. 已知直线过点 ，且方向向量为 ，则点 到的距离为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一个方向向量为 ，取直线的一个单位方向向量为 ，计算 ，代入点到直 线的距离公式 计算即可. 【详解】 直线的一个方向向量为 ，取直线一个单位方向向量为 ， 又 为直线外一点，且直线过点 ， ， ， 点 到直线的距离为 . 故选：B. 6. 正四面体 棱长为， 为 中点，则 （ ） 第4 页/共27 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基底向量表达 ，根据数量积的运算律即可求解. 【详解】以 为基底向量，则 ,且 两两夹角为 ，则 ， ， 故选：B 7. 如图，某圆锥 的轴截面 ，其中 ，点B 是底面圆周上的一点，且 ， 点M 是线段 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥曲线的性质，以点O 为坐标原点，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向 量方法即可求两异面直线的夹角． 【详解】由圆锥的性质可知 平面 ，故可以点O 为坐标原点，平面 内过点O 且垂直于 第5 页/共27 页 （北京）股份有限公司 的直线为x 轴， 分别为y、z 轴建立空间直角坐标系， 设 ，则 ， 易知 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 因此，异面直线 与 所成角的余弦值为 ． 8. 已知 是圆 上一个动点，且直线 与直线 相交于点P，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件确定出点P 的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答. 【详解】依题意，直线 恒过定点 ，直线 恒过定 第6 页/共27 页 （北京）股份有限公司 点 ， 显然直线 ，因此，直线 与 交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆， 其方程为： ，圆心 ，半径 ，而圆C 的圆心 ，半径 ， 如图： ，两圆外离，由圆的几何性质得： ， ， 所以 的取值范围是： . 故选：B 【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一 般不采用代数法. 二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项是 符合题目要求的，错选得0 分，漏选得2 分，全对得5 分） 9. 如图所示，用一个与圆柱底面成 角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径 为2， ，则（ ） 第7 页/共27 页 （北京）股份有限公司 A. 椭圆的长轴长等于4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长 ， ，再逐项计算、判断作答. 【详解】设椭圆的长半轴长为 ，短半轴长为 ，半焦距为 ，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面 圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角 得： ，解得 ，A 不正确； 显然 ，则 ，离心率 ，B 正确； 当以椭圆长轴所在直线为y 轴，短轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程 ， C 正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 ，D 正确. 故选：BCD 10. 已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（ ） 第8 页/共27 页 （北京）股份有限公司 A. 与 是共线向量 B. 平面ABC 的一个法向量是（1，－1，3） C. 与 夹角的余弦值是 D. 与 方向相同的单位向量是（1，1，0） 【答案】BC 【解析】 【分析】A 选项直接写出 与 ，按照共线向量即可判断； B 选项直接计算法向量即可. C 选项通过夹角公式计算即可； D 选项由单位向量的求法进行判断； 【详解】对A， ， ，因为 ，显然 与 不共线，A 错误； 对B，设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，B 正 确. 对C， ， ，C 正确； 对D， 方向相同的单位向量 ，即 ，D 错误； 故选：BC 11. 在棱长为3 的正方体 中，点 在棱 上运动（不与顶点重合），则点 到平面 的距离可以是（ ） 第9 页/共27 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. 2 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用坐标法，设 第10 页/共27 页 （北京）股份有限公司 ，可 第11 页/共27 页 （北京）股份有限公司 得平面 的法向量 ，进而即得. 【详解】以D 为原点， 分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 ，设 第12 页/共27 页 （北京）股份有限公司 ， 第13 页/共27 页 （北京）股份有限公司 所以 ， ， 设 为平面 的法向量， 则有： ，令 ，可得 ， 则点 到平面 的距离为 ， 因为 ，所以距离的范围是 . 故选：CD. 12. 已知圆M： ，点P 是直线l： 上一动点，过点P 作圆M 的切线PA，PB，切 点分别是A，B，下列说法正确的有（ ） A. 圆M 上恰有一个点到直线l 的距离为 B. 切线长PA 的最小值为1 C. 四边形AMBP 面积的最小值为2 D. 直线AB 恒过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长 利用点到直线的距离 可判断B，由题可得四边形AMBP 面积为 ，可判断C，由题可知点A，B，在以 为直 径的圆上，利用两圆方程可得直线AB 的方程，即可判断D. 【详解】由圆M： ，可知圆心 ，半径 ， ∴圆心 到直线l： 的距离为 ，圆M 上恰有一个点到直线l 的距离为 ， 故A 错误； 由圆的性质可得切线长 ， 第14 页/共27 页 （北京）股份有限公司 ∴当 最小时， 有最小值，又 ， ∴ ，故B 正确； ∵四边形AMBP 面积为 ， ∴四边形AMBP 面积的最小值为1，故C 错误； 设 ，由题可知点A，B，在以 为直径的圆上，又 ， 所以 ，即 ， 又圆M： ，即 ， ∴直线AB 的 方程为： ，即 ， 由 ，得 ，即直线AB 恒过定点 ，故D 正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（主观题） 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 已知直线 与直线 平行，则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行，可得 ，即可求解. 【详解】由 得， ，则 ， 故答案为： 14. ， ， ，若 ， ， 三向量共面，则实数 _________. 第15 页/共27 页 （北京）股份有限公司 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共面列出方程组，求出 . 【详解】 ， ， ，若 ， ， 三向量共面， 设 ， 即 ， 所以 ，解得: ，所以 . 故答案为：5 15. 已知 的圆心在 轴上，半径为1，且过点 ， ，则 与 的公共弦长为___________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】待定系数法求出圆 的方程，然后两圆方程相减，消去二次项可得公共弦所在直线方程，利用 可得. 【详解】根据题意设圆 的方程为 ，则有 ，解得 ，所以圆 的方程 为 ，即 ①， 将圆 化为一般方程得： ②， - ①②得公共弦所在直线l 的方程为： ， 第16 页/共27 页 （北京）股份有限公司 则圆心 到直线l 的距离 ，所以公共弦 . 故答案为： 16. 如图， ， 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点， 延长 与椭圆交于点Q，若 ，则直线 的斜率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，设 （ ），则 .利用椭圆的定义表示出 ，由勾 股定理求出 ，即可得到 ，进而求出直线 的斜率. 【详解】如图，连接 . 设 （ ），则 . 因为 ， ，所以 ， . 在 中， ，所以 ，即 ，整 理得 ，所以 ，所以直线 的斜率为 ． 第17 页/共27 页 （北京）股份有限公司 故答案为：-2. 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知空间中三点 、 、 ． （1）若 、 、 三点共线，求 的值； （2）若 且 、 的夹角是钝角，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出向量 、 的坐标，分析可知 ，设 ，根据空间向量的坐标运算 可得出关于 、 、 的方程，即可得解； （2）根据题意可得出 ，即可求得实数 的取值范围. 【小问1 详解】 解：由题意可得 ， ， 因为 、 、 三点共线，则 ， 设 ，所以， ，解得 ，因此， . 第18 页/共27 页 （北京）股份有限公司 【小问2 详解】 解：若 ，则 ， 因为 、 的夹角是钝角，则 ，解得 且 . 因此，实数 的取值范围是 . 18. 已知 的顶点 ，直角顶点为 ，顶点 在 轴上，求： （1）顶点 的坐标； （2） 外接圆的一般方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出 点坐标，由 求解即可； （2）设出外接圆的一般方程，代入 坐标，解方程即可求解. 【小问1 详解】 设顶点 ，显然直线 斜率均存在， 由题意得 ，且 ， 所以 ，解得 ，所以顶点 ； 【小问2 详解】 设 外接圆的方程为 ， 由题意知 ，解得 ， 第19 页/共27 页 （北京）股份有限公司 所以 外接圆的一般方程为 . 19. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D 是线段BC 的 中点． （1）求证：AB⊥A1C； （2）求二面角D﹣CA1﹣A 的余弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由条件先证明 底面 ，从而可证明 . （2）取 的中 ,则可得 面 ，过 作 ,垂足为 ，连结 ,所以 为 D﹣CA1﹣A 的平面角，然后在直角三角形 中求解即可 【小问1 详解】 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， 底面 , 底面 ,则 又AC＝4，AB＝3，BC＝5，则 ,所以 又 ,所以 面 面 ,所以 【小问2 详解】 点D 是线段BC 的中点．取 的中 ，则 ,且 第20 页/共27 页 （北京）股份有限公司 由（1）可知 面 ，则 面 过 作 ,垂足为 ，连结 , 所以 为D﹣CA1﹣A 的平面角 由AA1＝AC＝4，则 ,则 为等腰三角形，且 , 所以 , 直角三角形 中, 在直角三角形 中, 20. 已知直线 与x，y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，O 为坐标原点，且 的面 积为4． （1）求m 的值； （2）若 ，点E，F 分别在线段OA 和OB 上，且 ，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，求解与坐标轴的交点，结合三角形的面积公式，可得答案； （2）由（1）可得点的坐标，根据面积关系，转化边长的关系，设出点的坐标，整理数量积的函数关系， 第21 页/共27 页 （北京）股份有限公司 可得答案. 【小问1 详解】 令 ，得 ；令 ，得 ． 所以 ． ，解得 ． 【小问2 详解】 由（1）可得 ，易得P 为AB 的中点，则 ． ． 因为 ，所以 ，则 ． 设 ，则 ， ． 故 的取值范围为 ． 21. 如图，圆 . （1）若圆 与 轴相切，求圆 的方程； （2）当 时，圆 与 轴相交于两点 （点 在点 的左侧）.问：是否存在圆 ， 第22 页/共27 页 （北京）股份有限公司 使得过点 的任一条直线与该圆的交点 ，都有 ？若存在，求出圆方程，若不存在， 请说明理由. 【答案】（1） 或 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得代入 则关于 的二次方程判别式为0 求解即可； （2）代入 可求解 ， ，再假设存在圆，设直线 的方程为 ，联立圆 的方程，设 ，将题意转化为 ､ 的斜率互为相反数，进而用 的坐标表示并代入韦达定理化简，最后讨论特殊情况当直线 与 轴垂直时判断是否满足即可. 【小问1 详解】 因为由 ，可得 ， 由题意得 ，所以 或 ， 故所求圆 的方程为 或 . 【小问2 详解】 令 ，得 ，即 ，求得 ，或 ， 所以 ， .假设存在圆 ，当直线 与 轴不垂直时， 设直线 的方程为 ，代入 得 ， 设 ，从而 ， .因为 ､ 的斜率之和为 第23 页/共27 页 （北京）股份有限公司 ， 而 因为 ，所以， ､ 的斜率互为相反数，即 ， 所以 ，即 . 当直线 与 轴垂直时，仍然满足 ，即 ､ 的斜率互为相反数. 综上，存在圆 ，使得 . 22. 如图，三棱柱 中， 侧面 ，已知 ， ， ， 点 是棱 的中点. （1）求异面直线 与 所成的角的余弦值； （2）在棱 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出 第24 页/共27 页 （北京）股份有限公司 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 或 【解析】 【分析】（1）以 为原点，分别以 、 、 的方向为 、 、 轴的正方向建立空间直角坐标系， 利用空间向量法可求得异面直线 与 所成的角的余弦值； （2）计算出平面 的一个法向量的坐标，假设存在点 ，设 ， 其中 ，求出 的坐标，利用空间向量法可得出关于 的等式，结合 的取值范围可求得 的 值，即可得解. 【小问1 详解】 解： ， ， ，得 ， 由题意，因为 ，所以， ， 又 侧面 ，以 为原点，分别以 、 、 的方向为 、 、 轴的正方向建立如图所 示的空间直角坐标系， 则有 ， ， ， ， ， ， ， 设异面直线 与 所成的角为 ，则 ， 第25 页/共27 页 （北京）股份有限公司 所以异面直线 与 所成的角的余弦值为 . 【小问2 详解】 解：由（1）得 ， ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 取 ，可得 ， 假设存在点 ，设 ，其中 ， ， 由已知可得 ， 得 ，即 ，解得 或 ， 第26 页/共27 页 （北京）股份有限公司 因此，在棱 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，且 或 . 第27 页/共27 页 （北京）股份有限公司