精品解析：广东省广州市六中2022-2023学年高二上学期期中（线上）数学试题（解析版）

第1 页/共27 页 （北京）股份有限公司 2021 级高二上学期数学期中考试 命题人：张年 审题人：刘旭升 本试卷共4 页、22 小题． 满分150 分．考试用时120 分钟． 一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分） 1. 已知集合 ， ，则 的真子集的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】进行交集的运算求出 ，然后即可得出 的真子集的个数． 【详解】∵集合 ， ， ∴ , 的真子集的个数为： 个． 故选：A 2. 若复数 满足 ，其中为虚数单位，则复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法的运算法则求出复数 ，然后根据共轭复数的定义即可求解. 【详解】解：由题意， ，所以 . 故选：B. 第2 页/共27 页 （北京）股份有限公司 3. “ ”是“直线 与直线 平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由 可得直线 与直线 平行，即充分条件成立；由直线 与直线 平行，求得 的值为 ，即必要条件成立； 【详解】因为 ，所以直线 ，直线 ，则 与 平行，故充分条件 成立； 当直线 与直线 平行时， ，解得 或 ，当 时， 直线 与直线 重合，当 时，直线 ，直线 平行，故必要条件成立. 综上知，“ ”是“直线 与直线 平行”的充要条件. 故选：A. 4. 中， ， ， 为线段 上任一点，则 （ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由 ， 为线段 上任一点，可知 ，则可由向量的数量积公式 第3 页/共27 页 （北京）股份有限公司 直接计算出结果. 【详解】因为 ， ， 所以 ， 故选：B. 5. 若将函数 的图象 向左平移 个单位后得到函数 的图像 ，再将 上所有点的横坐 标伸长到原来的2 倍得到函数 的图像 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的图象的伸缩变换和平移变换即可求解. 【详解】由题意可知，把 的图象 上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，得到 的图象 ，将函数 的图象向右平移 个单位得 的图象 ， 所以函数 的解析式为 . 故选：B. 6. 已知A（3，﹣1），B（5，﹣2），点P 在直线x+y＝0 上，则|PA|+|PB|取最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】找点A 关于x+y＝0 对称点 的坐标，将|PA|+|PB|转化为 ，即可求得答案. 【详解】已知A（3,﹣1），B（5,﹣2），点P 在直线x+y＝0 上 则A（3,﹣1）关于x+y＝0 对称点 的坐标为 第4 页/共27 页 （北京）股份有限公司 |PA|+|PB|取最小值时，即为 故选：C 【点睛】本题考查直线上的点到直线同侧两相异点的距离和最小值问题，应找其中一点关于直线的对称点 坐标，其最小值就是对称点与另一点间的距离，属于中档题. 7. 过点 作圆 的最短弦，延长该弦与x 轴、y 轴分别交于 ， 两点，则 的面积为（ ） A . 3 B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得 的直线方程，再求出 的坐标，即可求得三角形面积. 【详解】因为直线 的斜率 与直线 的斜率 满足 ， 即 ，故 ，则直线 方程为： ，即 ， 令 ，则 ；令 ，则 ， 即点 坐标分别为 ，又 坐标为 ， 故 的面积 . 故选：A. 8. 设直线系 ， ，对于下列四个命题： （1） 中所有直线均经过一个定点； （2）存在定点 不在 中的任意一条直线上； （3）对于任意整数 ， ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上； （4） 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ） A. （2）（3） B. （1）（4） C. （2）（3） （4） D. （1）（2） 第5 页/共27 页 （北京）股份有限公司 【答案】A 【解析】 【分析】 首先发现直线系 表示圆 的切线集合，再根据 切线的性质判断（1）（3）（4），以及观察得到点 不在任何一条直线上，判断选项. 【详解】因为点 到直线系 中每条直线的距离 ，直线系 表示圆 的 切线集合. （1）由于直线系表示圆 的所有切线，其中存在两条切线平行，所有 中所有直线均经 过一个定点不可能，故（1）不正确； （2）存在定点 不在 中的任意一条直线上，观察知点 符合条件，故（2）正确； （3）由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数 ，存在正 变形，其所 有边均在 的直线上，故（3）正确； （4）如下图， 中的直线所能围成的正三角形有两类，一类如 ，一类是 ,显然这两类三角 形的面积不相等，故（4）不正确. 故选：A 第6 页/共27 页 （北京）股份有限公司 【点睛】本题考查含参直线方程，距离公式，轨迹问题的综合应用，重点考查转化与变形，分析问题的能 力，属于偏难习题，本题的关键是观察点 到直线系 中每 条直线的距离 ，直线系 表示圆 的切线集合，再判断选项就比较容易. 二、多项选择题（本题共4 小题、每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9. 如图是某市5 月1 日至10 日PM2.5的日均值（单位：μg/m3）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法错误 的是（ ） A. 这10 天日均值的83%分位数为78； B. 这10 天的日均值的中位数为41； C. 前5 天的日均值的方差大于后5 天的日均值的方差； D. 前5 天的日均值的极差小于后5 天的日均值的极差． 【答案】BC 【解析】 【分析】根据折线图可得10 天中的PM2.5 日均值按从小到大排列为30，32，34，40，41，45，48，60， 78，80，根据统计相关概念运算辨析． 【详解】对于选项A：将10 天中的PM2.5 日均值按从小到大排列为30，32，34，40，41，45，48，60， 78，80， 第7 页/共27 页 （北京）股份有限公司 根据第80 百分位数的定义可得，这10 天中PM2.5 日均值的第80 百分位数是 ， 由于这10 天日均值的83%分位数估计值大于这10 天日均值的80%分位数估计值下一个 所以这10 天日均值的83%分位数估计值为78，故选项A 正确； 对于选项B：这10 天中PM2.5 日均值的中位数为 ，故选项B 错误； 对于选项C：由折线图和方差的定义可知，前5 天的日均值的方差小于后5 天日均值的差，故选项C 错误； 对于选项D：前5 天的日均值的极差为41﹣30＝11，后5 天的日均值的极差为80﹣45＝35，故选项D 正确． 故选：BC． 10. 已知圆 和圆 相交于 两点，下列说法正确的是（ ） A. 圆 的圆心为 ，半径为1 B. 直线 的方程为 C. 线段 的长为 D. 圆 上点 到直线 的最大距离为 【答案】AB 【解析】 【分析】化圆 的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得 的方程判 断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得 的长判断C；根据圆心 到直线 的距离 与 的和 为所求最大值判断D． 【详解】解：由圆 ，得 ， A：则圆 的圆心为 ，半径为 ，故A 正确； B：联立圆 和圆 ，消去二次项，可得直线 的方程为 ，故B 正确； C：圆心 到直线 的距离 ，圆 的半径为2，则线段 的长为 第8 页/共27 页 （北京）股份有限公司 ，故C 错误； D：圆心 到直线 的距离为 ，所以圆 上点 到直线 的最大距离为 ，故错误. 故选：AB 11. 设定义在R 上的连续函数 满足 ， ， ，下列命题正 确的有（ ）（注：函数 在区间D 上连续指的是在区间D 上函数 的图象连续不断） A. 10 为 的一个周期 B. 是 的一条对称轴 C. 函数 有无数个对称中心 D. 方程 在区间 上至少有405 个解 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，分析函数 的性质，再逐项判断即可作答. 【详解】定义在R 上的连续函数 满足 ，则 ， 是 的一条对称轴，又 ， 于是得 ，即 ，则有10 为 的一个周期，A 正确； 由 知， 是 的一条对称轴，由A 知， 是 的一条对称轴，B 正 确； 对于C，函数 ，其周期为10，直线 都是 图象的对 称轴，如图， 第9 页/共27 页 （北京）股份有限公司 且 ，显然函数 没有对称中心，即满足给定条件的函数 不一定有对称中心，C 不正 确； 对于D，因 ，由选项B 知， ，则方程 在 上至少有2 个解， 而 ，于是得方程 在 上至少有 个解， 又 ，即2021 是方程 在 上的一个解， 所以方程 在区间 上至少有405 个解，D 正确. 故选：ABD 12. 如下图，正方体 中，M 为 上的动点， 平面 ，则下面说法正确的是（ ） A. 直线AB 与平面 所成角的正弦值范围为 B. 点M 与点 重合时，平面 截正方体所得的 截面，其面积越大，周长就越大 C. 点M 为 的中点时，平面 经过点B，则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形 D. 已知N 为 中点，当 的和最小时，M 为 的三等分点 第10 页/共27 页 （北京）股份有限公司 【答案】AC 【解析】 【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，利用空间向量法可判断A 选项的正误；证明出 平面 ，分别取棱 、 、 、 、 、 的中点 、 、 、 、 、 ，比较 和六边形 的周长和 面积的大小，可判断B 选项的正误；利用空间向量法找出平面 与棱 、 的交点 、 ，判断四 边形 的形状可判断C 选项的正误；将矩形 与矩形 延展为一个平面，利用 、 、 三点共线得知 最短，利用平行线分线段成比例定理求得 ，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角 坐标系 ，则点 、 、设点 ， 平面 ，则 为平面 的一个法向量，且 ， ， ， 第11 页/共27 页 （北京）股份有限公司 所以，直线 与平面 所成角的正弦值范围为 ，A 选项正确； 对于B 选项，当 与 重合时，连接 、 、 、 ， 在正方体 中， 平面 ， 平面 ， ， 四边形 是正方形，则 ， ， 平面 ， 平面 ， ，同理可证 ， ， 平面 ， 易知 是边长为 的等边三角形，其面积为 ，周长为 . 设 、 、 、 、 、 分别为棱 、 、 、 、 、 的中点， 易知六边形 是边长为 的正六边形，且平面 平面 ， 正六边形 的周长为 ，面积为 ， 则 的面积小于正六边形 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于C 选项，设平面 交棱 于点 ，点 ， ， 第12 页/共27 页 （北京）股份有限公司 平面 ， 平面 ， ，即 ，得 ， ， 所以，点 为棱 的中点，同理可知，点 为棱 的中点，则 ， ， 而 ， ， 且 ， 由空间中两点间的距离公式可得 ， ， ， 所以，四边形 为等腰梯形，C 选项正确； 对于D 选项，将矩形 与矩形 延展为一个平面，如下图所示： 若 最短，则 、 、 三点共线， ， ， ，所以，点 不是棱 的中点，D 选项错误. 第13 页/共27 页 （北京）股份有限公司 故选：AC. 【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小 值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题. 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 的值为_____ _________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示以及空间向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 ，向量 ， ， ， ，解得 ，又 ， ，解得 ， 则 . 故答案为： . 14. 已知圆 上存在两点关于直线 对称，则 的最小 值是_______________． 【答案】16 【解析】 【分析】由题意可得说明直线经过圆心，推出 ，代入 ，利用基本不等式，确定最小值 【详解】由圆的对称性可得，直线 必过圆心 ，所以 ， 所以 ， 第14 页/共27 页 （北京）股份有限公司 当且仅当 ，即 时取等号， 则 的最小值是16 故答案为：16 15. 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 底面 ， ，若 ， ，则三棱锥 的外接球表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形 均为直角三角形，且 面 ，可判断球心的位置为 中点， 进而根据几何关系可求半径. 【详解】∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，又 ， ∴ 取 中点分别为 ,连接 , 由于 , 平面 ,所以 平面 , 因为底面 为菱形，所以 ， ，且 ，所以 ,即 是三角 第15 页/共27 页 （北京）股份有限公司 形 外接圆的圆心，因此球心在直线 上， 又 ,所以 ,因此可得 为球心， 又 ， ∴ . 故答案为： 【点睛】 16. 已知函数 ，对于任意的 ，都存在 ，使得 成立，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解 【详解】 ， ， 由题意得 第16 页/共27 页 （北京）股份有限公司 故答案为： 四、解答题（本题共6 小题，共70 分） 17. 已知 ，且 的最小正周期为 ． （1）化简函数 并求 的值； （2）求函数 在 上的单调递减区间． 【答案】（1） ， ； （2） . 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简 为标准型，结合其最小正周期，即可求得 ； （2）根据（1）中所求函数解析式，用整体法求得其单调减区间，再与 取交集即可. 【小问1 详解】 ； 即 ，又其最小正周期为 ，即 ， ，解得 . 【小问2 详解】 根据（1）中所求， ， 令 ，解得 ， ； 第17 页/共27 页 （北京）股份有限公司 又 ， 故函数 在 上的单调递减区间为： . 18. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为 ，由于心态不稳， 若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为 ，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为 ．已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢． （1）求第四盘棋甲赢的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率． 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】（1）第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件的和，再利用独立事件、 互斥事件的概率公式计算作答. （2）甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是甲在第三盘赢、第四盘赢、第五盘赢的互斥事件的和，再利用独立 事件、互斥事件的概率公式计算作答. 【小问1 详解】 记第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件 的和， ， ，则 ， 所以第四盘棋甲赢的 概率是 . 第18 页/共27 页 （北京）股份有限公司 【小问2 详解】 记甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和， 甲只在第三盘赢的事件为 、只在第四盘赢的事件为 、只在第五盘赢的事件为 ， 则 ， ， ， 则有 ， 所以比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为 . 19. 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 ． （1）求角A 的大小； （2）若 ，求 边上的中线 长度的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）边化角即可；（2）利用余弦定理和基本不等式解决. 【小问1 详解】 由 得, , 即 . 【小问2 详解】 第19 页/共27 页 （北京）股份有限公司 , 即 ，当且仅当 取等号． 20. 如图，在直三棱柱 中，点E 为 的中点，点 在 上，且 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若 ， ，且三棱锥 的体积为 ，求 与平面 所成角的 正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再证明面面垂直即可； （2）根据三棱锥 的体积为 求出直三棱柱侧面棱长和底面边长，再建立空间直角坐标系求 解即可. 第20 页/共27 页 （北京）股份有限公司 【 小问1 详解】 在直三棱柱 中， 平面 ， ∴ ， ∵点E 为 的中点，且 ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴平面 平面 ； 【小问2 详解】 ∵ ， ，∴ 为正三角形． 设 ，则 ， 由（1）可得， 平面 ， 依题意得 ，故点F 到平面 的距离为 ， ∴ ， ∴ ， ∵三棱锥 的体积为 ， 第21 页/共27 页 （北京）股份有限公司 ∴ ，解得 ． 以E 为原点，分别以 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，得 ， ∴ ， ∴ 与平面 所成角的正弦值为 ． 第22 页/共27 页 （北京）股份有限公司 21. 在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ，圆 ． （1）过点 作圆 的切线 ，求 的方程； （2）有一动圆 的半径为 ，圆心在上，若动圆 上存在点 ，使 ，其中，点 为过 点 作圆 的切线所得的切点，求圆心 的横坐标 的取值范围． 【答案】（1） 或 ； （2） . 【解析】 【分析】（1）讨论切线 的斜率是否存在，当斜率存在时，设出直线方程，利用点 到直线的距离等于 半径，即可求得直线斜率以及方程； （2）根据 求得点 的轨迹方程，结合直线与圆的位置关系，即可求得结果. 【小问1 详解】 对圆 ，其圆心 坐标为 ，半径 ， 当切线 的斜率不存在时，即切线方程为： 时，满足题意； 当切线 的斜率存在时，设切线方程为： ， 则圆心 到切线的距离 ，解得 ， 故此时切线 的方程为： ，即： ； 综上所述：切线 的方程为： 或 . 【小问2 详解】 因为点 为过点 作圆 的切线所得的切点，且 ， 第23 页/共27 页 （北京）股份有限公司 设点 的坐标为 ，则： ， 即 ， ， 整理可得： ，即点 在直线 上； 动圆 上存在点 满足题意，则直线 要与圆 有交点， 则圆心 到直线 的距离 ， 即 ，解得 . 故圆心 的横坐标 的取值范围 . 22. 已知函数 . （1）若函数 在 上有两个不同的零点，求实数 的取值范围