精品解析：广东省广州市八十九中2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

第1 页/共26 页 （北京）股份有限公司 高二上学期期中考试数学试题 一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．） 1. 直线 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系，直接得到答案. 【详解】因为直线 ，则其斜率 即 ，且 所以 故选:A. 2. 若直线的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（ ） A. B. C. D. 与 斜交 【答案】B 【解析】 【分析】判断 与 的位置关系，进而可得出结论. 【详解】由已知可得 ，则 ，因此， . 故选：B. 第2 页/共26 页 （北京）股份有限公司 3. 如图所示，在三棱柱 中， 底面 ， ， ，点 ， 分别是棱 ， 的中点，则直线 与 所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出 和 的坐标，进而由夹角公式可求得结果. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系 ．由于 ，不妨取 ，则 ， ， ， ，∴ ， ，∴ ，又 ，∴ ，即直线 与 所成的角为 . 故选：C． 第3 页/共26 页 （北京）股份有限公司 4. 圆 与直线 相交所得弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用垂径定理可求弦长. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ， 圆心到直线 的距离为 ， 故弦长为： ， 故选：D. 5. 在空间四边形ABCD 中， ＝（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】 令 ，利用空间向量的数量积运算律求解. 【详解】如图， 第4 页/共26 页 （北京）股份有限公司 令 ， 则 ， ， . 故选：B 6. 过定点A 的直线 与过定点 的直线 交于点 与 不重 合），则 面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线 化为 ，可知定点 ， 动直线 化为 ，可知定点 ， 又 所以直线 与直线 垂直， 为交点， . 则 ，当且仅当 时，等号成立. 即 面积的最大值为2. 第5 页/共26 页 （北京）股份有限公司 故选：C. 7. 在三棱锥 中，点E，F 分别是 的中点，点G 在棱 上，且满足 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解. 【详解】 由题意可得 故选：B. 8. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果 之一，指的是：已知动点M 与两定点Q，P 的距离之比 ，那么点 的轨迹就是阿 第6 页/共26 页 （北京）股份有限公司 波罗尼斯圆．已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点 为 轴上一点， 且 ，若点 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点 的轨迹方程可得 ，结合条件可得 ，即得. 【详解】设 ， ，所以 ， 又 ，所以 ． 因为 且 ，所以 ， 整理可得 ， 又动点M 的轨迹是 ， 所以 ，解得 ， 所以 ，又 ， 所以 ，因为 ， 所以 的最小值为 ． 故选：C． 第7 页/共26 页 （北京）股份有限公司 二．多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．） 9. 已知向量 ，则下列结论中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 不存在实数 ，使得 D. 若 ，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的模的计算公式，可判定A 选项正确；根据向量垂直的条件，列出方程，可判定B 选项 错误；根据共线向量的条件，列出方程组，可判定C 选项正确；根据向量的数量积的运算公式，列出方程， 可判定D 选项错误. 【详解】对于A 中，由 ，可得 ，解得 ，故A 选项正确； 对于B 中，由 ，可得 ，解得 ，故B 选项错误； 对于C 中，若存在实数 ，使得 ，则 ，显然 无解，即不存在实数 ，使得 ，故C 选项正确； 对于D 中，若 ，则 ，解得 ，于是 ，故D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了空间向量的垂直与共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算，其中解答 中熟记空间向量的垂直与共线的条件，以及数量积的运算公式，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与 运算能力. 第8 页/共26 页 （北京）股份有限公司 10. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B. 点 关于直线 的对称点为 C. 经过点 且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为 D. 直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是2 【答案】ABD 【解析】 【分析】A 选项，利用斜率定义可知，当倾斜角为90°时，斜率不存在；B 选项求解点关于直线的对称点， 满足两点的斜率与 乘积为-1，中点在已知直线 上，进而求出对称点；C 选项要考虑截距均 为0 的情况，D 选项求出与坐标轴的交点坐标，进而求出围成的三角形的面积. 【详解】当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A 选项正确；设 关于直线 的对称点为 ， 则满足 ，解得： ，故点 关于直线 的对称点为 ，B 正确；当在x 轴 和y 轴上截距都等于0 时，此时直线为 ，故C 错误；直线 与两坐标轴的交点坐标为 与 ，故与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，D 正确 故选：ABD 11. 在棱长为2 的正方体 中，E、F、G 分别为BC、 、 的中点，则下列选项正确 的是（ ） 第9 页/共26 页 （北京）股份有限公司 A. B. 直线 与EF 所成角的余弦值为 C. 三棱锥 的体积为 D. 存在实数 、 使得 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据平行线的与已知直线的垂直关系，可得答案； 对于B，根据线线夹角的定义，作平行，根据三角形的余弦定理，可得答案； 对于C，根据体积的组合关系，找到三棱锥所在的三棱柱，减去其余部分，可得答案； 对于D，根据平行关系，进行平面延拓，由线面平行，可得三个向量共面，可得答案. 【详解】对于A，在正方体 中， ，易知 与 不垂直，故错误； 对于B，在正方体 中，取 的中点 ，连接 ，如下图， 易知 ，则 为直线 与 夹角或其补角， ， ， ， 在 中， ， 第10 页/共26 页 （北京）股份有限公司 因此，直线 与EF 所成角的余弦值为 ，故正确； 对于C，根据题意作图如下： 易知三棱柱 的体积 ， 三棱锥 的体积 ， 四棱锥 的体积 ， 三棱锥 的体积 ，故错误； 对于D，连接 ，作图如下： 第11 页/共26 页 （北京）股份有限公司 易知 ，则 共面， ，则 共面， 即存在实数 、 使得 ，故正确； 故选：BD. 12. 已知圆 和圆 的交点为 、 ，则（ ） A. 两圆的圆心距 B. 圆 上存点 ，圆 上存在点 ，使得 C. 圆 上存在两点 和 使得 D. 圆 上的点到直线 的最大距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出两圆圆心距，可判断A 选项；计算出 的取值范围，可判断B 选项；求出 ，可判断 C 选项；求出圆 上的点到直线 的最大距离，可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ， 圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ， 所以， ，A 对； 第12 页/共26 页 （北京）股份有限公司 对于B 选项，因为 ，则两圆相交， 所以， ， ， 因为 ，所以，圆 上存点 ，圆 上存在点 ，使得 ，B 对； 对于C 选项，将两圆方程作差可得 ，即直线 的方程为 ， 圆心 到直线 的距离为 ，所以， ， 对于圆 上的任意两点 、 ， ，C 错； 对于D 选项，圆心 到直线 的距离的最大值为 ，D 对. 故选：ABD. 三、填空题：（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．） 13. 若直线 与 平行，则 _____________， 与 间的距离为________ _____． 【答案】 ①. . ② 【解析】 【分析】直接根据两直线平行，列出方程即可求得 ，然后用两平行直线间的距离公式即可得到结果. 【详解】因为直线 与 平行， 则 ，即 , 两平行直线间的距离 , 故答案为: ； . 第13 页/共26 页 （北京）股份有限公司 14. 在棱长为 的正方体 中，直线 到平面 的距离为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】以 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据 平面 可知所求距离即为点 到平面 的距离，利用点到面的距离的向量求法可求得结果. 【详解】以 为坐标原点， 为 轴建立如图所示空间直角坐标系， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离； ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，令 ，解得： ， ， ， 点 到平面 的距离 ， 第14 页/共26 页 （北京）股份有限公司 即直线 到平面 的距离 . 故答案为： . 15. 如图，已知一个 的二面角的棱上有两点 和 ，且 和 分别是在这两个面内且垂直于 的 线段．又知 ， ， ，则求CD 的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】由向量的线性运算法则得到 ，根据题设条件和向量的数量积、向量模的计 算公式，即可求解. 【详解】由向量的线性运算法则，可得 ， 因为 ， ， 且二面角的平面角为 ， 可得 ， ， 且 ， 又因为 和 分别是在这两个面内且垂直于 的线段，所以 ， 所以 . 故答案为： . 16. 若直线 与曲线 有两个交点，则实数 的取值范围是______. 第15 页/共26 页 （北京）股份有限公司 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线所过定点 ，再将曲线 转化为 ，可知其为半 圆，结合图像，即可求出 的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为 ，所以直线恒过定点 ， 又曲线 可化为 ，其表示以 为圆心，半径为2 的圆的上半部分，如图. 当与该曲线相切时，点 到直线的距离 ，解得 ， 设 ，则 ， 由图可得，若要使直线与曲线 有两个交点，须得 ，即 . 故答案为： . 三、解答题：（本题共6 小题，共70 分） 17. 已知△ABC 的顶点坐标为A（﹣3，9）、B（2，2）、C（5，3）． （1）求AC 边中线所在直线的方程； （2）求△ABC 的面积． 第16 页/共26 页 （北京）股份有限公司 【答案】（1）4x+y-10=0 （2） 【解析】 【分析】（1）先求解AC 的中点M 的坐标，利用直线方程的点斜式，即得解； （2）先求解直线AC 的方程，点B 到直线AC 的距离即为△ABC 的AC 边的高，利用面积公式求解即可. 【小问1 详解】 △ABC 的顶点坐标为A（-3，9）、B（2，2）、C（5，3）， 所以AC 的中点M 的坐标为（ ， ）=（1，6）， 所以AC 边中线所在直线BM 的 方程为 ， 即AC 边中线所在直线的方程为4x+y-10=0； 【小问2 详解】 由题意可得，直线AC 的方程为 ，即3x+4y-27=0， 所以点B 到直线AC 的距离为h= ， , 则△ABC 的面积为 ． 18. 已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， 底面 ，且 ， 是 的中点. 第17 页/共26 页 （北京）股份有限公司 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取 的中点为 ，连接 、 ，即可证明四边形 是平行四边形，从而得到 ，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1 详解】 证明：取 的中点为 ，连接 、 ， 因为 、 分别是 、 的中点，所以 且 ， 又 且 ，所以 且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 第18 页/共26 页 （北京）股份有限公司 【小问2 详解】 解：因为 ， 底面 ，所以 两两互相垂直，以 为坐标原点， 以 分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 则 ， 则 ， 设平面 的 一个法向量为 ，所以 ， 即 ，令 ，则 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， 即直线 与平面 所成角的正弦值为 . 19. 如图，某海面上有O，A，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛 千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20 千米处．以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向， 第19 页/共26 页 （北京）股份有限公司 1 千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O，A，B 三点． （1）求圆C 的方程； （2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40 千米处，正沿着北偏东 45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险? 【答案】（1） ； （2）该船有触礁的危险． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出点A，B 的坐标，设出圆C 的一般方程，利用待定系数法求解作答. （2）求出船D 的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答. 【小问1 详解】 依题意，因A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛 千米处，则点 ， 又B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20 千米处，则 ， 设过O，A，B 三点的圆C 的方程为 ， 则 ，解得 ， 所以圆C 的方程为 ． 【小问2 详解】 因船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40 千米处，则 ， 而船D 沿着北偏东45°方向行驶，则船D 的航线所在直线l 的斜率为1，直线l 的方程为 ， 第20 页/共26 页 （北京）股份有限公司 由（1）知，圆C 的圆心为 ，半径 ， 则圆心C 到直线l 的距离 ，则 ， 所以该船有触礁的危险. 20. 已知斜三棱柱 ， ， ， 在底面 上的射影恰为 的中 点 ，又知 . （1）线段 的长 （2）求 到平面 的距离； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】建立空间直角做标系，用空间向量的方法解题即可. 【小问1 详解】 第21 页/共26 页 （北京）股份有限公司 如右图，取 的中点 ，则 ，因为 ， 所以 ，因为 在底面的射影为 ，所以 平面 ， 以 为 轴建立空间坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 由 ，得 ， . 【小问2 详解】 设平面 的法向量为 ， ， ，所以 ， 设 ，则 ， 所以点 到平面 的距离 . 第22 页/共26 页 （北京）股份有限公司 21. 如图，已知梯形 ， // ， ，四边形 为正方形，且 平面 平面 ． （1）求证： 平面 ； （2）点M 在线段 上运动，求平面 与平面 夹角余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2） . 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明 ，再由面面垂直即可证明线面垂直； （2）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，利用法向量夹角与二面角夹角之 间的关系，即可求得结果. 【小问1 详解】 证明：在梯形 中，由 ，得 ， ∵ // ，设 ， ∴ ，则 ， ∴ ，得 ． ∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 第23 页/共26 页 （北京）股份有限公司 ∴ 平面 . 【小问2 详解】 根据（1）中所证可得： 两两垂直， 故以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系： 令 ， 则 ． ， ， ， ． 设 为平面 的一个法向量， 由 ，取 ，得 ， 设平面 的一个法向量为 ， 由 ，取 ，得 ， 设平面 与平面 所成二面角为 ， 第24 页/共26 页 （北京）股份有限公司 则 ． ∵ ，∴ ，故 . 即平面 与平面 所成二面角余弦值的取值范围为 ． 22. 已知 的方程是 ，直线l 经过点 . （1）若直线l 与 相切，求直线l 的方程； （2）若直线l 与 相交于A，B 两点，与直线 交于点M，求证： 为定值. 【答案】（1） 或 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据直线斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径列式求解即可； （2）设直线l 的方程为 ，设线段 的中点为N，则 ，再根据 ，联立直线与圆的方程，再结合韦达定理化简求解即 可. 【小问1 详解】 的方程化为标准形式是 ，圆心 ，半径 ， 当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为 ， 圆心C 到直线l 的距离为2，所以直线l 与 相切，符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是 ，即 ， 第25 页/共26 页 （北京）股份有限公司 由直线l 与 相切，得 ，解得 ， 所以直线l 的方程是 ，即 . 综上所述，直线l 的方程是 或 . 【小问2 详解】 证明：因为直线l 与 相交于A，B 两点，所以直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为 ， 联立 得 即点 . 设线段 的中点为N，则 ，设直线 的方程是 ， 联立 得 即点 ， 所以 ， 所以 为定值-12. 第26 页/共26 页 （北京）股份有限公司