九下专题06 二次函数中的面积问题（教师版）

专题06 二次函数中的面积问题 类型一、面积最值问题 例1．已知抛物线 与x 轴交于点，B(点在点B 左侧)，顶点为D，且过(－4， m)． (1)求点，B，，D 的坐标； (2)点P 在该抛物线上(与点B，不重合)，设点P 的横坐标为t． ①当点P 在直线B 的下方运动时，求△PB 的面积的最大值， ②连接BD，当∠PB＝∠BD 时，求点P 的坐标． 【答】(1)(-5，0)，B(-1，0)；(-4，-3)；D(-3，-4) (2)① ；②(0，5)或( ， ) 【解析】(1)解：∵抛物线解析式为 ， ∴抛物线顶点D 的坐标为(-3，-4)； 令y=0，则 ，解得 或 ， ∵抛物线 与x 轴交于点，B(点在点B 左侧)， ∴点的坐标为(-5，0)，点B 的坐标为(-1，0)； 令 ，则 ， ∴点的坐标为(-4，-3)； (2)解：①设直线B 的解析式为 ，∴ ，∴ ， ∴直线B 的解析式为 ， 过点P 作PE⊥x 轴于E 交B 于F， ∵点P 的横坐标为t， ∴点P 的坐标为(t， )，点F 的坐标为(t，t+1)， ∴ ， ∴ ， ∴当 时，△PB 的面积最大，最大为 ； ②如图1 所示，当点P 在直线B 上方时，∵∠PB=∠BD，∴ ， 设直线BD 的解析式为 ，∴ ，∴ ，∴直线BD 的解析式为 ， ∴可设直线P 的解析式为 ，∴ ，∴ ，∴直线P 的解析式为 ， 联立 得 ，解得 或 (舍去)，∴ ，∴点P 的坐标为 (0，5)； 例2．如图，直线 与抛物线 相交于点 和点 ，抛物线与 轴的交点分别为 、 (点 在点 的左侧)，点 在线段 上运动 (不与点、 重合)，过点 作直线 轴于点 ，交抛物线于点 ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接 ，是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，请求出点 的坐标； 若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点 作 于点 ，当 的周长最大时，求点 坐标，并求出此时 的面积． 【答】(1) ；(2)存在 或 ；(3) ； 【解析】(1)解：将 代入 中 ∴ 将 、 代入 中 解得： ∴ (2)设 ，则 、 令y=0 代入 中得，x=-2 ∴ 与x 轴的交点坐标为： ∴ ，∴ 如图： 当 时， 则 ，解得： (舍去)，∴ 当 时， ，解得： (舍去)， ，综上， 或 (3)由(2)知 ∴ 的周长 当 时， 最大， ∴ 如图2 所示，当点P 在直线B 下方时，设BD 与P 交于点M， ∵点坐标为(-4，-3)，点B 坐标为(-1，0)，点D 坐标为(-3，-4)， ∴ , ， ， ∴ ，∴∠BD=90°，∴∠BM+∠DM=90°，∠BD+∠DB=90°， ∵∠BD=∠PB， ∴M=MB，∠MD=∠MD，∴M=MD， ∴MD=MB，∴M 为BD 的中点，∴点M 的坐标为(-2，-2)， 设直线P 的解析式为 ， ∴ ，∴ ，∴直线P 的解析式为 ， 联立 得 ， 解得 或 (舍去)，∴ ，∴点P 的坐标为( ， )； 综上所述，当∠PB＝∠BD 时，点P 的坐标为(0，5)或( ， )； 【变式训练1】如图，抛物线与x 轴交于点 、 两点，与y 轴交于点 ； (1)求出此抛物线的解析式； (2)如图1，在直线上方的抛物线上有一点M，求 的最大值； (3)如图2，将线段绕x 轴上的动点 顺时针旋转90°得到线段 ，若线段 与抛物 线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围； 【答】(1) ；(2) ；(3) 或 【解析】(1)由题意，设抛物线的解析式为 ， 把 代入解析式解得： ， 所以 ， 抛物线的解析式为 ； (2)如图1，过点 作 轴，交 于点 ，设直线 的解析式为 ，把 ， 代入可得： ，解得： ， 直线 的解析式为 ， 设 点坐标为 ，则 点坐标为 ， 又 点 在直线 上方， ， ， ， ， 当 时， 有最大值为2； (3)如图2，线段 绕 轴上的动点 顺时针旋转 得到线段 ， 由旋转性质可得： ， ， ， ， 当 在抛物线上时， ，解得： ， 当点 在抛物线上时， ，解得： 或2， 或 时，线段 与抛物线只有一个公共点； 【变式训练2】在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x 轴的交点 为 ， 两点，与y 轴交于点 ，顶点为D，其对称轴与x 轴交于点E． (1)求二次函数的解析式； (2)点P 为第三象限内抛物线上一点， 的面积记为S，求S 的最大值及此时点P 的坐 标． 【答】(1) ；(2)S 的最大值是 ，点P 的坐标是 【解析】(1)解：∵二次函数过 ， 两点，∴设二次函数解析式为 ， ∵二次函数过点 ， ∴ ，解得＝1，∴ 即二次函数解析式为 ； (2)解：设直线 解析式为：y＝kx＋b， ∵ ， ，∴ ，解得 ，∴直线 的解析式为y＝﹣x－3， 过点P 作x 轴的垂线交 于点G，设点P 的坐标为 ，则 ， ∵点P 在第三象限， ∴ ， ∴ ， ∴当 时， ， 此时 ， ∴点 即S 的最大值是 ，此时点P 的坐标是 类型二、面积定值问题 例1 已知抛物线 与x 轴交于点和点 ，与y 轴交于点 ，P 是线段 B 上一点，过点P 作 轴交x 轴于点，交抛物线于点M． (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点P 的横坐标为2，点Q 是第一象限抛物线上的一点，且 和 的面积 相等，求点Q 的坐标． 【答】(1)y=-x2+2x+3；(2)(1+ ，1) 【解析】(1)解：(1)将B(3，0)、(0，3)代入y=-x2+bx+， 得： ，解得： ．∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3． (2)依照题意画出图形，如图所示． 设直线B 的表达式为y=kx+b(k≠0)， 将点(0，3)、B(3，0)代入y=kx+b， 得： ，解得： ， ∴直线B 的表达式为y=-x+3，∴P(2，1)，M(2，3)，∴S△PM= M•PM=2． 设△QM 的边M 上的高为，则S△QM= ×2×=2，∴=2， ∴Q 点的纵坐标为1，∴-x2+2x+3=1，解得：x1=1+ ，x2=1- (舍去)，∴点Q 的坐标为(1+ ，1)． 【变式训练1】如图，等腰直角三角形 的直角顶点 在坐标原点，直角边 ， 分 别在 轴和 轴上，点 的坐标为 ，且 平行于 轴． (1)求直线 的解析式； (2)求过 ， 两点的抛物线 的解析式； (3)抛物线 与 轴的另一个交点为 ，试判定 与 的大小关系； (4)若点 是抛物线上的动点，当 的面积与 的面积相等时，求点 的坐标． 【答】(1) ；(2) ；(3) ；(4)( ， )或( ， )或( ，) 【解析】(1)解：∵点 的坐标为 ，且 平行于 轴，∴点 的坐标为 且 ， ∵ 是等腰直角三角形， ，∴ ， ∴点 的坐标为 ， 设直线 的解析式为 ，由题意得 ，解得 ， ∴直线 的解析式为 ； (2)解：∵抛物线 过 ， 两点， ∴ ，解得 ，∴抛物线的解析式为 ； (3)解：抛物线的解析式为 ，∴抛物线的对称轴直线为 ， ∵点 的坐标为 ，点 与点D 关于对称轴对称，∴点D 的坐标为 ，∴ ， ∵点 的坐标为 ，∴ ，∴ (4)解：∵点 的坐标为 ，且 平行于 轴，∴ ， ∴ ， 当点M 在直线B 的上方时，如图所示， 过点M 作 轴，交直线B 于点，设M 的坐标为( ， )，则的坐标为( ， )， ∴ ， ∴ ， ∵ 的面积与 的面积相等，∴ ，解得 或 (舍，该点为点)， 此时M 的坐标为( ，)或( ， )； 当点M 在直线B 的下方时，如图所示， 过点M 作 轴，交直线B 于点，设M 的坐标为( ， )，则的坐标为( ， )， ∴ ，∴ ， ∵ 的面积与 的面积相等，∴ ，解得 此时M 的坐标为( ， )或( ， )； 综上可得，M 的坐标为( ， )或( ， )或( ，)． 【变式训练2】如图，已知抛物线 经过点 ， ， ． (1)求抛物线和直线 的解析式； (2)点 是直线 上方抛物线上一动点． ①当 的面积最大时，直接写出点 的坐标________； ②过点 作 轴交 于点 ，是否存在一点 ，使 的面积最大？若存在， 求出最大面积及此时点 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在 下方的抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，请直接写出点 的 坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ， ；(2)① ；② ， (3)存在， 或 【解析】(1)解：点 ， 在抛物线上． 解得： 抛物线的解析式为： 设直线B 的解析式为： ， 在直线B 上， ，解得： ， 直线的解析式为： (2)① ， ， 时， 最大为8， ②解：设P 点的横坐标为m， 点P 在抛物线上， ∵ 轴且在直线B 上， ， 时， 取得最大为 (3) 或 满足 点Q 到B 的距离等于点到B 的距离． 过点作 ，交抛物线于点 和 且直线B 的解析式为： ，直线l 经过点 的解析式为： 解得： 或 即 ，