九上专题06 三角函数中的网格问题（教师版）

专题06 三角函数中的格问题 类型一、作垂线构造直角三角形求解 例．如图，点、B、均在4x4 的正方形格的格点上，则t∠B＝( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：如图，取格点D，连接BD， 由格点图可以得出，BD⊥， 由格点三角形可得： ， ， ∴ ， 故选： 【变式训练1】如图， 的顶点都是正方形格中的格点，则 的值为( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：过作D⊥B 于D， ∴D=2，BD=4， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 【变式训练2】如图，在9×5 的格中，每个小正方形的边长均为1，点，B，都在格点上， 若BD 是∠B 的平分线，则BD 的长为( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：由题可知， ， ， ， ， 又 平分 ， ，且 ,即三角形BD 是直角三角形， ． 故选：． 【变式训练3】如图所示的格是正方形格，点，B，P 是格线的交点，则∠PB+∠PB=( ) ．30° B．45° ．60° D．75° 【答】B 【详解】解：如图，延长P 交格点于D，连接BD， 则 ， ， ∴ ， ∴∠PDB=90°，则△DPB 为等腰直角三角形， ∴∠DPB=45°， ∴∠PB+∠PB=∠DPB=45°， 故选：B． 【变式训练4】如图在 的格中，每个小正方形的边长均为1，则 到直线 的距离为 ( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：如图， 为 边上的高， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 解得 ． 故选：B． 类型二、平移+作垂线构造直角三角形 例1．如图，在边长1 正格中，、B、都在格线上，B 与D 相交于点D，则 是( ) ． B． ． D． 【答】D 【详解】延长D 交正方形的另一个顶点为E，连接BE，如下图所示： 由题意可知：∠BED=90°，∠D=∠BDE， 根据正方形小格的边长及勾股定理可得：BE= ，BD= ， ∴在Rt△BDE 中， ， ∴ ， 故选D． 例2．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点，B，，D 都在格 点处，B 与D 相交于点，则t∠BD 的值为( ) ．3 B． ．2 D． 【答】 【详解】解：如图，连接格点EF、FG， EF= ，FG= ，EG= ， ∵ ， ∴ ， 则△EFG 是直角三角形． ∵B∥EF， ∴∠FEG=∠DB． 在Rt△EFG 中，∵EG= ，FG = ， t ∴∠DB=t∠FEG= 3． 故选：． 【变式训练1】如图，在由边长为1 的小正方形组成的格中，点，B，，D 都在这些小正方 形的格点上，B，D 相交于点E，则 ( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：如图，过点作F⊥D 于F， 在Rt△DB 中，BD＝3，D＝3， 由勾股定理得：B＝ 在Rt△D 中，＝1，D＝3， 由勾股定理得：D＝ ， ∵ ， ∴ ，解得：F＝ ∵ BD，∴∠E＝∠BDE，∠E＝∠DBE ∴△E∽△DEB， ∴ ∴ ∴E＝ s ∴∠E＝ 故选：． 【变式训练2】如图，在格中，小正方形的边长为1，点 都在格点上，则 的值 为( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：过点B 作 于点D，连接B，如下图， ∵小正方形的边长为1， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 【变式训练3】如图中的每个小正方形的边长均相等，则 的值为( ) ．1 B． ． D． 【答】D 【详解】解：如图， ， ， 是等腰三角形 过点 作 在 中， 故选D 【变式训练4】如图，点、B、均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则 的值为( ) ． B． ．1 D． 【答】B 【详解】如图，连接 ， ∵每个小正方形的边长均为1， ∴由勾股定理得， ， ， ∵ ，∴△B 是直角三角形，∴ ． 故选：B．