九下专题07 二次函数中的几何存在性问题（教师版）

专题07 二次函数中的几何存在性问题 类型一、特殊三角形问题 例1．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点 是线段 上一动点，过点 的直线 平行于 轴并交抛物线于点 ，当线段 取得最大值时，在 轴上是否存在这样的点 ，使得以点 、 、 为顶点的三角形是 以 为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ；(2) ，或 ，或 【解析】(1)解：∵抛物线 经过点， ， ，∴ ，解 得 ， ∴抛物线的解析式为 ． (2)存在点P，以EB 为腰的等腰三角形△EBP，理由如下： 当 时， ，∴ ， 设直线的解析式为 ，∴ ，解得 ，∴ ； 设 ，则 ， ∴ ， ∴当 时，EF 取得最大值，最大值为： ，此时 ， 又∵ ，∴ ． 当 时，∵ ，点 在 轴上，∴点P 的坐标为 或 ； 当 时， 关于直线 对称，∴点P 的坐标为 ； 综上所述， ，或 ，或 ． 例2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴相交于点、B(点在点B 的左 侧)，与y 轴相交于点，连接 ． (1)求线段的长； (2)若点Р 为该抛物线对称轴上的一个动点，当 时，求点P 的坐标； (3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当 为直角三角形时，求点M 的坐标． 【答】(1) ；(2) (3) 或 或 或 【解析】(1) 与x 轴交点：令y=0，解得 ，即(-1，0)，B(3，0)， 与y 轴交点： 令x=0，解得y=-3，即(0，-3)，∴=1,=3,∴ ; (2)抛物线 的对称轴为：x=1，设P(1，t)， ∴ ， ，∴ ∴t=-1，∴P(1，-1)； (3)设点M(m,m2-2m-3)， ， ， , ①当 时， ， 解得， (舍)， ，∴M(1，-4)； ②当 时， ， 解得， ， (舍)，∴M(-2，5)； ③当 时， ， 解得， ，∴M 或 ； 综上所述：满足条件的M 为 或 或 或 ． 例3 如图，抛物线 交x 轴于 ， 两点，交y 轴于点，点D 是 抛物线上位于直线B 上方的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，BD，若 ，求点D 的坐标； (3)在(2)的条件下，将抛物线沿着射线D 平移m 个单位，平移后、D 的对应点分别为M、， 在x 轴上是否存在点P，使得 是等腰直角三角形？若存在，请求出m 的值：若不存 在，请说明理由． 【答】(1) ；(2) ；(3)存在， 或 或 时， 是等腰直 角三角形 【解析】(1)解：∵抛物线 交x 轴于 ， 两点， ∴抛物线的解析式为： ； (2)解：当x＝0 时，y＝3，∵∠+∠DB=90°，∠+∠B=90°， ∴∠BD＝∠B，∴ ． 设点D 的坐标为 ， 如图，过点D 作DE⊥x 轴于点E，则 ， ， ∴ ，解得x＝3．∴ ． (3)解：设直线D 的解析式为：y＝kx+，把点，D 的坐标代入得， ，解得： ， ∴直线D 的解析式为： ， ∵M＝D＝5，∴ ． ①如图，若M＝MP＝5，则∠PM＝90°， ，∴ ，即 ． ②如图，若M＝P＝5，则∠MP＝90°， ，∴ ，∴ ．即 ． ③如图，若PM＝P，则∠PM＝90°，过点P 作PQ⊥于点Q，则 ， ，∴ ，∴ ．即 ． 综上所述， 或 或 时， 是等腰直角三角形． 【变式训练1】如图，二次函数 的图象经过点( 1，0)，B(3，0)，与y 轴交 于点． (1)求二次函数的解析式； (2)第一象限内的二次函数 图象上有一动点P，x 轴正半轴上有一点D，且 D=2，当S△PD=3 时，求出点P 的坐标； (3)若点M 在第一象限内二次函数图象上，是否存在以D 为直角边的 ，若存在，求 出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答】(1) ；(2)P1( ， )，P2(2，3)； (3)存在点M 其坐标为 或 【解析】(1)解：由题意，将( 1，0)，B(3，0)代入得： ，解得 ， 抛物线表达式为： ； (2)如图1，连接P，设 ，∵在y 轴上，∴ ， ∴ ， ， = = ， ， 当 时，即 ．解得 ， ． ∴当 时， ； 当 时， ，∴P1( ， )，P2(2，3) (3)存在．设 ，如图2，当∠MD=90°时，过点M 做M⊥ 轴于点， 则∠M=∠D=90°， ∵∠M=∠D，∴△M∽△D， ∴ ，即 ，解得 (舍)， ∴ ．如图3，当∠MD=90°时，过点M 做M⊥ 轴于点，则∠MD=∠D=90°， ∵∠MD=∠D，∴△MD∽△D， ∴ ，即 ， 解得 ， ． 综上所述，存在点M 其坐标为：点 或 ． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+4x+与直线B 相交于点(0，1) 和点B(3，4)． (1)求该抛物线的解析式； (2)设为直线B 上方的抛物线上一点，连接，B，以，B 为邻边作平行四边形BP，求四边形 BP 面积的最大值； (3)将该抛物线向左平移2 个单位长度得到抛物线y=1x2+b1x+1(1≠0)，平移后的抛物线与原抛 物线相交于点D，是否存在点E 使得△DE 是以D 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写 出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ；(2) ；(3)存在，E(4，3)或(-2，5)或(-3，2)或(3，0)． 【解析】(1)解：将点、B 的坐标代入抛物线表达式得 ．解得： ． ∴抛物线的表达式为 ； (2)解：设直线B 的表达式为： ，将点、B 的坐标代入得： ． 解得： ． 故直线B 的表达式为： ． 过点作 轴的平行线交B 于点．如图． 设点( ， )，则( ， +1)． ∵四边形BP 是平行四边形， ． ∵-3<0，∴四边形BP 的最大值为 ； (3)解：∵抛物线y=-(x-2)2+5， ∴将抛物线向左平移2 个单位后得到的抛物线为：y=-x2+5，联立 ，解得 ， ∴D(1，4)， ①如图2，当D=DE，∠ED=90°，E 在D 右侧时，过D 作x 轴平行线交y 轴于，过E 作y 轴 平行线，两线交于F 点， ∵∠D+∠D=∠D+∠EDF=90°，∴∠D=∠EDF， 又∠D=∠EFD=90°，D=DE，∴△D≌△EFD(S)， ∴D=EF=1，=DF=3， ∴E(4，3)， ②当D=DE，∠ED=90°，E 在D 左侧， 同理可得，E(-2，5)， ③当D=E，∠DE=90°，E 在D 左侧时， 同理可得，E(-3，2)， ④当D=E，∠DE=90°，E 在D 右侧时， 同理可得，E(3，0)， 综上所述，E(4，3)或(-2，5)或(-3，2)或(3，0)． 类型二、特殊四边形问题 例1．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， (点 在点 的左 侧)，与 轴交于点 ，且点 的坐标为 ． (1)求点 的坐标； (2)如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距离的最大值； (3)如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【答】(1) ；(2) 最大为 ；(3)存在， 的坐标为 或(3，-16)或 【解析】(1)(1)∵点 在抛物线 的图象上，∴ ∴ ，∴点 的坐标为 ； (2)过 作 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，如图： ∵ ， ∴ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ∵ 轴，∴ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ∴当 最大时， 最大，设直线 解析式为 ， 将 代入得 ，∴ ，∴直线 解析式为 ， 设 ， ，则 ， ∴ ， ∵ ，∴当 时， 最大为 ， ∴此时 最大为 ，即点 到直线 的距离值最大； (3)存在．∵ ，∴抛物线的对称轴为直线 ， 设点的坐标为(-2，m)，点M 的坐标为(x， ) 分三种情况：①当为平行四边形M 的边时，如图， (-5 ∵ ，0)，(0，5)，∴ ，即 ，解得，x=3 ∴ ∴点M 的坐标为(3，-16) ②当为平行四边形M 的边长时，如图， 方法同①可得， ，∴ ∴点M 的坐标为(-7，- 16)； ③当为对角线时，如图， (-5 ∵ ，0)，(0，5)， ∴线段的中点的坐标为 ，即( ) ∴ ，解得， 。∴ ∴点M 的坐标为(-3，8) 综上，点 的坐标为： 或(3，-16)或 ． 例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴分别交于点 和点 B，与y 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式及对称轴； (2)如图，点D 与点关于对称轴对称，点P 在对称轴上，若 ，求点P 的坐标； (3)点M 是抛物线上一动点，点在抛物线的对称轴上，是否存在以、B、M、为顶点的四边 形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，对称轴为直线： ；(2)P(1，1)或(1，2) (3)存在，(1，-4) 【解析】(1)解：把( 1 ﹣，0)，点(0，3)的坐标代入y＝﹣x2+bx+，得， ，解得 ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，对称轴为直线x 1． (2)解：如图1 中，连接BD，设BD 的中点T，连接PT，设P(1，m)． ∵点D 与点关于对称轴对称，(0，3)，∴D(2，3)， ∵B(3，0)，∴T( ， )，BD ， ∵∠BPD＝90°，DT＝TB，∴PT BD ，∴(1 )2+(m )2＝( )2， 解得m＝1 或2，∴P(1，1)或(1，2)． (3)解：存在，理由如下， 抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ①当 为对角线时， ，设 交 于点 ，如图， 则 ， 四边形 是菱形， ， ②当 为边时，如图， 四边形 是菱形， ， 设 ， ， ， 在抛物线 上，则 ，解得 ， ， 或 ， ，解得 ， 是菱形， ， ，即 ，解得 与 矛盾，故不存在此情形，综上所述，当、B、M、为顶点的四边形为菱形， ． 例3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴交于 ，与y 轴交 于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在直线B 上方的抛物线上有动点P，过点P 作 轴，交B 于点Q，当 时，求点P 的坐标； (3)如图2，若点D 坐标为 ， 轴交直线B 于点E，将 沿直线B 平移得到 ，移动过程中，在坐标平面内是否存在点P，使以点，， ，P 为顶点的四边形 为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ；(2) ；(3)存在， 【解析】(1)将 代入 ， ， ， ； (2)设直线B 的解析式为 ，将 代入得 ，解得 ， ， 设 ，则 ， ， 过点Q 作 轴交于点E，如图： ， ， ， ， (舍)， ； (3)存在， ； 理由分析: ∵点D 坐标为 ，B(3,0) ，∴DB=1, 将直线B 向左平移1 个单位即可得到D 点运动轨迹所在的直线， 由平移得D 点在平移过程中所在直线的解析式为 ； ∵当 时， ，∴ ， ∵ ，∴ ，的中点坐标为M ， 当为对角线时，如图1 和图2，设D'(，-+2)， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴D'(1，1)或D'(-1，3)， 由矩形的性质可知，PD'经过点M 且被M 点平分，∴ ， ∴当D'(1，1)时， ，即 ， 当D'(-1，3)时， ，即 ；当为边时，有如下两种情况，如图3 和图4， 设D'(，-+2)，∵ (图3)， (图4)， ∴ (图3)， (图4)， ∴ (图3)， (图4)，∴图3 中， ，图4 中， ∴图3 中，D'的中点 ，图4 中，D'的中点 ； 所以图3 中， ，图4 中， ， ∴图3 中， ，即 ，图4 中， ，即 ； 综上可得：存在， ． 【变式训练1】如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝x2+2x+经过点( 1 ﹣，0)、B(3， 0)，与y 轴交于点，顶点为点D．在线段B 上方的抛物线上有一动点P，过点P 作PE⊥B 于点E，作PF B 交B 于点F． (1)求抛物线和直线B 的函数表达式， (2)当△PEF 的周长为最大值时，求点P 的坐标和△PEF 的周长． (3)若点G 是抛物线上的一个动点，点M 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以、B、 G、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答】(1)抛物线函数表达式为 ，直线B 的函数表达式为 (2)点P 的坐标为 ( , )，△PEF 的周长为 (3)存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5) 【解析】(1)解：将点(-1,0)，B(3,0)代入 ，得： ，解得 ， 所以抛物线解析式为 ，(0，3) 设直线B 的函数表达式 ，将B(3，0)，(0，3)代入得： ，解得 ， 所以直线B 的函数表达式为 (2) 解：如图，设将直线B 平移到与抛物线相切时的解析式为 ，与抛物线联立得： 整理得 ，解得 ， 将 代入 ，解得 ， 将 代入 得 ， 即△PEF 的周长为最大值时，点P 的坐标为 ( , ) 将 代入 得 ， 则此时 ， 因为△PEF 为等腰直角三角形， 则△PEF 的周长最大为 (3)答：存在． 已知B(3，0)，(0，3)，设点Ｇ( ， )，(1，)， 当B 为平行四边形对角线时，根据中点公式得： ， ，则G 点坐标为(2，3)； 当B 为平行四边形对角线时，同样利用中点坐标公式得： 或 ，解得 或 则G 点坐标为(-2，-5)或(4，-5) 故点G 坐标为(2，3)或(-2，-5)或(4，-5) 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，连接B， ，对称轴为直线 ，点D 为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及D 点坐标； (2)点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和E，求 面积的最大值； (3)点P 在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、、P、Q 为顶点的四边形为矩形， 请直接写出点Q 的坐标． 【答】(1)解析式为 ；D(2， )；(2)S△BE 有最大值为 (3)( )或(3，4)或(7，4)或 ( ) 【解析】(1)解：∵ ，∴ 又∵对称轴为 ，∴ ，将，B 代入解析式得： ，解得 ∴ ；把x=2 代入二次函数解析式，得 ，∴ (2)解：∵ ， ，∴直线B 的解析式为： 设 ，则0<x<5，作 轴交B 于点F，则 ∴ ∴当 时， 有最大值，为 ； (3)解：设 ， ，由(1)知 ， ①若B 为矩形的对角线，由中点坐标公式得： ，解得： 又∵ ，∴ ，即： 解得 或 ，∴ 或 ，∴ 或 ②若BP 为矩形得对角线，由中点坐标公式得 ，解得 又∵ ， ，即： ，解得 ， ∴ ③若BQ 为矩形的对角线，由中点坐标公式得 ，解得： 又∵ ，∴ ，即： ，解得 ∴ 综上，点Q 的坐标为 或 或 或 ． 【变式训练3】如图，已知抛物线与 轴交于 两点，与 轴交于点 ， 点 是抛物线上位于直线 下方的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接 ，过点 作 交 于点 ，求 长度的最大值及此时点 的 坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线 的方向平移，使得新抛物线 经过点 ，并记新抛物 的顶点为 ，若点 为新抛物线 对称轴上的一动点，点 为坐标平面内的任意一点， 直接写出所有使得以、D、M、为顶点的四边形是菱形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的过程写出来． 【答】(1) (2)PG 的最大长度为 ，此时点P 的坐标为(3， ) (3)当点的坐标为(10，0)或(-2，-10)或(-2， )或(-2， )时，以、D、M、为顶点 的四边形是菱形． 【解析】(1)解：由抛物线与 轴交于 两点， 设抛物线的解析式为 ，把点的坐标代入得，-12=-2，解得 ， 故抛物线的解析式为 ． (2)解：设直线B 的解析式为 ，把点B(6，0)，点(0，-2)代入可得 ， 解得 ，即直线B 的解析式为 ， 过点P 作直线l∥B，只有当直线l 与抛物线相切(只有一个交点的时候)PG 有最大值， 如图所示，此时P、G 的位置分别为P1、G1， 设此时直线l 的解析式为 ， 联立 得， ，△= ， ∴ ， 由 ，即 ，解得x=3， 故P1点的横坐标为3，代入直线l 解析式得，其纵坐标为 ， 故P1的坐标为(3， )，即PG 长度最大时点P 的坐标为(3， )， 设直线的解析式为 ，把点(-2，0)，点(0，-2)代入可得 ，解得 ，即直线的解析式为 ， ∵PG∥，∴设直线PG 的解析式为 ，把点P 代入得， ， ∴此时直线PG 的解析式为 ， 联立直线PG 和直线B 得 ，解得 ， ∴点G1的坐标为 ， ∴此时P1G1的长度为 ∴PG 的最大长度为 ，此时点P 的坐标为(3， ) (3)解：如图3-1 所示，过点作直线E∥x 轴，过点B 作E 的垂线，垂足为E， 由点 ，点 ，可得E=B=6，BE==2，∴ ， 设抛物线沿射线B 方向平移，使点平移到点G，过点G 作G⊥E， ∵G⊥E，BE⊥E， ∴G∥BE，∴△G∽△EB，∴ ， ∵抛物线沿射线 的方向平移，可以看作先向右平移，再向上平移， ∴可以设抛物线 沿着射线B 的方向向右平移t 个单位长度， 向上平移 个单位长度得到抛物线 ，其中t>0， 由抛物线 经过点 ， ∴ ，即 ，解得t=2，∴ ， ∴点D 的坐标为(4，-2)， 如图3-2，当DM，为以、D、M、为顶点的菱形的对角线时，设与DM 交于点Q， 则点Q 的坐标为(4，0)，∴⊥MD，且Q=Q=6，∴此时点的坐标为(10，0)； 如图3-3，设点M 的坐标为(4，m)， 当DM 和M 为以、D、M、为顶点的菱形的邻边时， 则有∥MD，M=MD，∴点在直线x=-2 上， 由题可得，MD=m-(-2)=m+2，M= ， ∴ ，解得m=8，∴MD=10，∴=MD=10，∴点的坐标为(-2，-10)； 如图3-4，当D 和MD 为以、D、M、为顶点的菱形的邻边时， 同理可得点在直线x=-2 上，∴=D= ， ∴点的坐标为(-2， )或(-2，- ) 综上所述，当点的坐标为(10，0)或(-2，-10)或(-2， )或(-2，- )时，以、D、M、 为顶点的四边形是菱形．