专题58 二次函数中的面积问题（解析版）(1)

求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割 补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种 求面积的方法——铅垂法． 【问题描述】在平面直角坐标系中，已知 、 、 ，求△B 的面积． A B C x y O 【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比 如这样： D E F O y x C B A 构造矩形DEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△B 面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”： D E F O y x C B A 此处E+F 即为、B 两点之间的水平距离． 由题意得：E+BF=6． 例题精讲 下面求D： 根据、B 两点坐标求得直线B 解析式为： 由点坐标（4,7）可得D 点横坐标为4， 将4 代入直线B 解析式得D 点纵坐标为2， 故D 点坐标为（4,2），D=5, ． 【方法总结】 作以下定义： 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”； 过点作x 轴的垂线与B 交点为D，线段D 即为B 边的“铅垂高”． 如图可得： 铅 垂 高 水平宽 D A B C x y O E 【解题步骤】 （1）求、B 两点水平距离，即水平宽； （2）过点作x 轴垂线与B 交于点D，可得点D 横坐标同点； （3）求直线B 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据、D 坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积． 【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2 2 ﹣x+3 与x 轴交于（1，0），B（﹣3，0）两点，与y 轴 交于点．点P 为抛物线第二象限上一动点，连接PB、P、B，求△PB 面积的最大值，并 求出此时点P 的坐标． 解：令x＝0，则y＝3， ∴（0，3）， 设直线B 的解析式为y＝kx+3（k≠0）， 把点B 坐标代入y＝kx+3 得﹣3k+3＝0， 解得k＝1， ∴直线B 的解析式为y＝x+3， 设P 的横坐标是x（﹣3＜x＜0），则P 的坐标是（x，﹣x2 2 ﹣x+3）， 过点P 作y 轴的平行线交B 于M，则M（x，x+3）， ∴PM＝﹣x2 2 ﹣x+3﹣（x+3）＝﹣x2 3 ﹣x， ∴S△PB＝ PM•|xB﹣x|＝ （﹣x2 3 ﹣x）×3＝﹣ （x2+3x）＝﹣ （x+ ）2+ ， ∵﹣ ＜0， ∴当x＝﹣ 时，S△PB有最大值，最大值是 ， ∴△PB 面积的最大值为 ； 当x＝﹣ 时，﹣x2 2 ﹣x+3＝ ， ∴点P 坐标为（﹣ ， ）． 例题精讲 变式训练 【变1-1】．如图，已知抛物线y＝x2+bx+3 与x 轴交于、B 两点，过点的直线l 与抛物线交 于点，其中点的坐标是（1，0），点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）若点E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求△E 的最大面积 及E 点的坐标． 解：（1）∵y＝x2+bx+3 经过（1，0），（4，3）， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：y＝x2 4 ﹣x+3； 设直线的解析式为y＝kx+， 将、两点坐标代入y＝kx+得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为y＝x 1 ﹣； （2）如图，设过点E 与直线平行线的直线为y＝x+m， 联立 ， 消掉y 得，x2 5 ﹣x+3﹣m＝0， △＝（﹣5）2 4×1× ﹣ （3﹣m）＝0， 解得：m＝﹣ ， 即m＝﹣ 时，点E 到的距离最大，△E 的面积最大， 此时x＝ ，y＝ ﹣ ＝﹣ ， ∴点E 的坐标为（ ，﹣ ）， 设过点E 的直线与x 轴交点为F，则F（ ，0）， ∴F＝ ﹣1＝ ， ∵直线的解析式为y＝x 1 ﹣， ∴∠B＝45°， ∴点F 到的距离为F•s45°＝ × ＝ ， 又∵＝ ＝3 ， ∴△E 的最大面积＝ ×3 × ＝ ，此时E 点坐标为（ ， ）． 【变1-2】．如图，直线y＝﹣ x+2 交y 轴于点，交x 轴于点，抛物线y＝﹣ +bx+经 过点，点，且交x 轴于另一点B． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形BM 面积的最大值及此时点M 的坐标． 解：（1）令x＝0，得y＝﹣ x+2＝2， ∴（0，2）， 令y＝0，得y＝﹣ x+2＝0，解得x＝4， ∴（4，0）． 把、两点代入y＝﹣ x2+bx+得， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2； （2）过M 点作M⊥x 轴，与交于点，如图， 设M（，﹣ 2+ +2），则（，﹣ +2）， ∴S△M＝ •M•＝ （﹣ +2﹣ 2﹣ 2 ﹣）×4＝﹣ 2+2， S△B＝ •B•＝ ×（4+2）×2＝6， ∴S 四边形BM＝S△M+S△B＝﹣ 2+2+6＝＝﹣ （﹣2）2+8， ∴当＝2 时，四边形BM 面积最大，其最大值为8，此时M 的坐标为（2，2）． 【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于（﹣1，0），B（3，0）两点，过点的直线l 交抛物线于点（2，m），点P 是线段上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）当P 在何处时，△E 面积最大． 解：（1）抛物线解析式为y＝（x+1）（x 3 ﹣）， 即y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣； （2）把（2，m）代入y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣得m＝4 4 3 ﹣﹣＝﹣3，则（2，﹣3）， 设直线的解析式为y＝mx+， 把（﹣1，0），（2，﹣3）代入得 ，解得 ， ∴直线的解析式为y＝﹣x 1 ﹣； 设E（t，t2 2 ﹣t 3 ﹣）（﹣1≤t≤2），则P（t，﹣t 1 ﹣）， ∴PE＝﹣t 1 ﹣﹣（t2 2 ﹣t 3 ﹣）＝﹣t2+t+2， ∴△E 的面积＝ ×（2+1）×PE ＝ （﹣t2+t+2） ＝﹣ （t﹣ ）2+ ， 当t＝ 时，△E 的面积有最大值，最大值为 ，此时P 点坐标为（ ，﹣ ）． 变式训练 【变2-1】．如图，抛物线y＝x2+bx+2 交x 轴于点（﹣3，0）和点B（1，0），交y 轴于点． （1）求这个抛物线的函数表达式； （2）若点D 的坐标为（﹣1，0），点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 DP 面积的最大值． 解：（1）抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x 1 ﹣）＝（x2+2x 3 ﹣）＝x2+2x 3 ﹣， 即﹣3＝2，解得： ， 故抛物线的表达式为： ， 则点（0，2），函数的对称轴为：x＝﹣1； （2）连接P，设点 ， 则S ＝S 四边形DP ＝S△P+S△P﹣S△D ＝ ＝ ， 1 ∵﹣＜0，故S 有最大值，当 时，S 的最大值为 ． 【变2-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x 2 ﹣与x 轴交于点B，与y 轴交于点， 二次函数y＝ +bx+的图象经过B，两点，且与x 轴的负半轴交于点，动点D 在直线 B 下方的二次函数图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）连接D，DB，设△BD 的面积为S，求S 的最大值． 解：（1）把x＝0 代y＝ x 2 ﹣得y＝﹣2， ∴（0，﹣2）． 把y＝0 代y＝ x 2 ﹣得x＝4， ∴B（4，0）， 设抛物线的解析式为y＝ （x 4 ﹣）（x﹣m），将（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得： m＝﹣1， ∴（﹣1，0）． ∴抛物线的解析式y＝ （x 4 ﹣）（x+1）＝ x2﹣ x 2 ﹣； （2）如图所示：过点D 作DF⊥x 轴，交B 与点F． 设D（x， x2﹣ x 2 ﹣），则F（x， x 2 ﹣），DF＝（ x 2 ﹣）﹣（ x2﹣ x 2 ﹣）＝ ﹣ x2+2x． ∴S△BD＝ B•DF＝ ×4×（﹣ x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x2 4 ﹣x+4 4 ﹣）＝﹣（x 2 ﹣） 2+4． ∴当x＝2 时，S 有最大值，最大值为4． 1．如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+2 与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，若点P 是线段B 上方的抛物线上一动点，当△BP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是（ ） ．（2，3） B．（ ， ） ．（1，3） D．（3，2） 解：对于y＝﹣ x2+ x+2，令y＝﹣ x2+ x+2＝0，解得x＝﹣1 或4，令x＝0，则y＝ 2， 故点、B、的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，2）， 过点P 作y 轴的平行线交B 于点， 由点B、的坐标得，直线B 的表达式为y＝﹣ x+2， 设点P 的坐标为（x，﹣ x2+ x+2），则点的坐标为（x，﹣ x+2）， 则△BP 的面积＝S△PB+S△P＝ P×B＝ ×4×（﹣ x2+ x+2+ x 2 ﹣）＝﹣x2+4x， 1 ∵﹣＜0，故△BP 的面积有最大值， 当x＝2 时，△BP 的面积有最大值， 此时，点P 的坐标为（2，3）， 故选：． 2．如图1，抛物线 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，直线 过 B、两点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 为抛物线上直线B 上方的一动点，求△PB 面积的最大值，并求出点P 坐标； （3）若点Q 为抛物线对称轴上一动点，求△Q 周长的最小值． 解：（1）令x＝0，则y＝2， ∴（0，2）， 令y＝0，则x＝4， ∴B（4，0）， 将点B（4，0）和点（0，2）代入 ， 得 ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2； （2）作PD∥y 轴交直线B 于点D， 设P（m，﹣ m2+ m+2），则D（m，﹣ m+2）， ∴PD＝﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）＝﹣ m2+2m， ∴S△PB＝ ×4×（﹣ m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m 2 ﹣）2+4， ∴当m＝2 时，△PB 的面积有最大值4， 此时P（2，3）； （3）令y＝0，则 ， 解得x＝﹣1 或x＝4， ∴（﹣1，0）， ∵y＝﹣ x2+ x+2＝﹣ （x﹣ ）2+ ， ∴抛物线的对称轴为直线x＝ ， ∵点与B 点关于对称轴对称， ∴Q＝BQ， ∴Q+Q+＝BQ+Q+≥B+， ∴当B、、Q 三点共线时，，△Q 周长最小， ∵（0，2），B（4，0），（﹣1，0）， ∴B＝2 ，＝ ， + ∴B＝3 ， ∴△Q 周长最小值为3 ． 3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴交于（1，0），B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y 轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△Q 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PB 的面积最大？若存在， 求出△PB 面积的最大值．若没有，请说明理由． 解：（1）根据题意得： ， 解得 ， 则抛物线的解析式是y＝﹣x2 2 ﹣x+3； （2）理由如下：由题知、B 两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1 对称， ∴直线B 与x＝﹣1 的交点即为Q 点，此时△Q 周长最小， 对于y＝﹣x2 2 ﹣x+3，令x＝0，则y＝3，故点（0，3）， 设B 的解析式是y＝mx+， 则 ，解得 ， 则B 的解析式是y＝x+3． x＝﹣1 时，y＝﹣1+3＝2， ∴点Q 的坐标是Q（﹣1，2）； （3）过点P 作y 轴的平行线交B 于点D， 设P 的横坐标是x，则P 的坐标是（x，﹣x2 2 ﹣x+3），对称轴与B 的交点D 是（x， x+3）． 则PD＝（﹣x2 2 ﹣x+3）﹣（x+3）＝﹣x2 3 ﹣x． 则S△PB＝ （﹣x2 3 ﹣x）×3＝﹣ x2﹣ x＝＝﹣ （x+ ）2+ ， ∵﹣ ＜0，故△PB 的面积有最大值是 ． 4．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx 5 ﹣与x 轴交于（﹣1，0），B （5，0）两点，与y 轴交于点． （1）求抛物线的二次函数解析式： （2）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点B、、P、Q 为顶点的四边形是平行四 边形时，求点P 的坐标； （3）如图2，点是直线B 下方抛物线上的动点，连接B，．当△B 的面积最大时，求点 的坐标． 解：（1）∵y 过（﹣1，0），B（5，0） 把（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y＝x2+bx 5 ﹣ 得 ， 解得 y＝x2 4 ﹣x 5 ﹣； （2）当x＝0 时，y＝﹣5， ∴（0，﹣5）， 设P（m，m2 4 ﹣m 5 ﹣），Q（，0）， ①B 为对角线， 则xQ﹣x＝xB﹣xP，yQ﹣y＝yB﹣yP， 解得 ，（ 舍去）， ∴P（4，﹣5）， ②P 为对角线， 则xQ﹣x＝xP﹣xB，yQ﹣y＝yP﹣yB， 解得 或 ， ∴P（2+ ，5）或（2﹣ ，5）， ③Q 为对角线时，P∥BQ， 则点P（4，﹣5）； 综上P（4，﹣5）或（2﹣ ，5）或（2+ ，5）； 第三种，Q 为对角线不合要求，舍去； （3）过作D∥y 轴交B 于D， ∴S△B＝S△D+S△BD＝ D（x﹣x）+ D（xB﹣x）＝ D（xB﹣x）＝ D， 设B：y＝kx+b1， ∵B 过B、点， 代入得， ， ， ∴y＝x 5 ﹣， 设（，2 4 5 ﹣﹣），D（，﹣5）， S△B＝ D＝ ×[ 5 ﹣﹣（2 4 5 ﹣﹣）]＝﹣ （﹣ ）2+ ， ∴当＝ 时，（ ，﹣ ）时，S△Bmx＝ ． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴交于、B 两点，B 点的坐 标为（3，0），与y 轴交于点（0，﹣3），点P 是直线B 下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接P，P，并将△P 沿y 轴对折，得到四边形PP'．是否存在点P，使四边形PP'为 菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P 运动到什么位置时，四边形BP 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形 BP 的最大面积． 解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+与y 轴的交点（0，﹣3）， ∴＝﹣3， ∴二次函数的解析式为y＝x2+bx 3 ﹣， ∵点B（3，0）在二次函数图象上， 9+3 ∴ b 3 ﹣＝0， ∴b＝﹣2， ∴二次函数的解析式为y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣； （2）存在，理由：如图1， 连接PP'交y 轴于E， ∵四边形PP'为菱形， ∴PP'⊥，E＝E＝ ， ∵点（0，﹣3）， ∴＝3， ∴E＝ ， ∴E（0，﹣ ）， ∴点P 的纵坐标为﹣ ， 由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣， ∴x2 2 ﹣x 3 ﹣＝﹣ ， ∴x＝ 或x＝ ， ∵点P 在直线B 下方的抛物线上， 0 ∴＜x＜3， ∴点P（ ，﹣ ）； （3）如图2，过点P 作PF⊥x 轴于F，则PF∥， 由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣， 令y＝0，则x2 2 ﹣x 3 ﹣＝0， ∴x＝﹣1 或x＝3， ∴（﹣1，0）， ∴设P（m，m2 2 ﹣m 3 ﹣）（0＜m＜3）， ∴F（m，0）， ∴S 四边形BP＝S△+S 梯形PF+S△PFB＝ •+ （+PF）•F+ PF•BF ＝ ×1×3+ （3﹣m2+2m+3）•m+ （﹣m2+2m+3）•（3﹣m） ＝﹣ （m﹣ ）2+ ， ∴当m＝ 时，四边形BP 的面积最大，最大值为 ，此时，P（ ，﹣ ）， 即点P 运动到点（ ，﹣ ）时，四边形BP 的面积最大，其最大值为 ． 6．如图，抛物线y＝x2+bx+与坐标轴交点分别为（﹣1，0），B（3，0），（0，2），作 直线B． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作PD⊥x 轴于点D，设点P 的横坐标 为t（0＜t＜3），求△BP 的面积S 与t 的函数关系式； （3）条件同（2），若△DP 与△B 相似，求点P 的坐标． 解：（1）把（﹣1，0），B（3，0），（0，2）代入y＝x2+bx+得： ， 解得：＝﹣ ，b＝ ，＝2， ∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2． （2）设点P 的坐标为（t，﹣ t2+ t+2）． ∵（﹣1，0），B（3，0）， ∴B＝4． ∴S＝ B•PD＝ ×4×（﹣ t2+ t+2）＝﹣ t2+ t+4（0＜t＜3）； （3）当△DP∽△B 时， ＝ 即 ＝ ， 整理得：4t2+t 12 ﹣ ＝0， 解得：t＝ 或t＝ （舍去）． ∴D＝t＝ ，DP＝ D＝ ， ∴点P 的坐标为（ ， ）． 当△DP∽△B，则 ＝ ，即 ＝ ， 整理得t2﹣t 3 ﹣＝0， 解得：t＝ 或t＝ （舍去）． ∴D＝t＝ ，DP＝ D＝ ， ∴点P 的坐标为（ ， ）． 综上所述点P 的坐标为（ ， ）或（ ， ）． 7．如图，抛物线y＝x2 3 ﹣x 4 ﹣（＜0）与x 轴交于，B 两点，直线y＝ x+ 经过点，与抛 物线的另一个交点为点，点的横坐标为3，线段PQ 在线段B 上移动，PQ＝1，分别过 点P、Q 作x 轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形DEFG 为平行四边形时，求出此时点P、Q 的坐标； （3）在线段PQ 的移动过程中，以D、E、F、G 为顶点的四边形面积是否有最大值， 若有求出最大值，若没有请说明理由． 解：（1）∵点的横坐标为3， ∴y＝ ×3+ ＝2， ∴点的坐标为（3，2）， 把点（3，2）代入抛物线，可得2＝9 9 4 ﹣﹣， 解得：＝ ， ∴抛物线的解析式为y＝ ； （2）设点P（m，0），Q（m+1，0）， 由题意，点D（m， m+ ）m，E（m， ），G（m+1， m+1），F （m+1， ）， ∵四边形DEFG 为平行四边形， ∴ED＝FG， ∴（ ）﹣（ m+ ）＝（ ）﹣（ m+1 ），即 ＝ ， ∴m＝05， ∴P（05，0）、Q（15，0）； （3）设以D、E、F、G 为顶点的四边形面积为S， 由（2 ）可得，S ＝（ ）×1÷2 ＝ （﹣m2+m+ ）＝ ， ∴当m＝ 时，S 最大值为 ， ∴以D、E、F、G 为顶点的四边形面积有最大值，最大值为 ． 8．如图，已知二次函数y＝x2+bx+3 的图象交x 轴于点（1，0），B（3，0），交y 轴于点． E 是B 上一点，PE∥y 轴． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点P 是直线B 下方抛物线上的一动点，求BP 面积的最大值； （3）直线x＝m 分别交直线B 和抛物线于点M，，当m 为何值时M＝BM， 解：（1）将（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得 ， 解得 ， 这个二次函数的表达式是y＝x2 4 ﹣x+3； （2）当x＝0 时，y＝3，即点（0，3）， 设B 的表达式为y＝kx+b，将点B（3，0）点（0，3）代入函数解析式，得 ， 解这个方程组，得 ． 故直线B 的解析是为y＝﹣x+3， 过点P 作PE∥y 轴， 交直线B 于点E（t，﹣t+3）， PE＝﹣t+3﹣（t2