60 平行模型解决二次函数中的面积问题

平行模型解决二次函数中的面积问题 【模型展示】 初中数学中考压轴题有一种常考的类型，二次函数最大面积问题。常用的方法有平行法、铅垂高法、 矩形覆盖法等。本文主要说明一下平行法，一般都是平移定底找最大高，形成与二次函数图像只有一个交 点。然后利用一次函数与二次函数图像只有一个交点，联立出一元二次方程解根的判别式等于零，进而求 出一次函数解析式，交点坐标可求。最大高一般都是空中有高平移至与坐标轴交点处，构成直角三角形， 与已知一次函数与坐标轴所夹直角三角形相似。 1、如图1，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左侧），与y 轴交于点． （1）求点、B 的坐标； （2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△D 的面积等于△B 的面积时，求点D 的坐标； （3）若直线l 过点E(4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时， 求直线l 的解析式． 图1 满分解答 （1）由 ， 得抛物线与x 轴的交点坐标为(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1． （2）△D 与△B 有公共的底边，当△D 的面积等于△B 的面积时，点B、D 到直线的距离相等． 过点B 作的平行线交抛物线的对称轴于点D，在的另一侧有对应的点D′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G，与交于点． 由BD//，得∠DBG＝∠．所以 ． 所以 ，点D 的坐标为 ． 因为//BD，G＝BG，所以G＝DG． 而D′＝D，所以D′G＝3DG ．所以D′的坐标为 ． 图2 图3 （3）过点、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2 个点M． 以B 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2 个点M；如果圆与直线l 相切，就只有1 个点M 了． 联结GM，那么GM⊥l． 在Rt△EGM 中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4． 在Rt△EM1中，E＝8， ，所以M1＝6． 所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E 的直线l 为 ． 根据对称性，直线l 还可以是 ． 2、如图1，二次函数y＝(x2－2mx－3m2)（其中、m 是常数，且＞0，m＞0）的图像与x 轴分别交于、B （点位于点B 的左侧），与y 轴交于点(0,－3)，点D 在二次函数的图像上，D//B，联结D．过点作射线E 交二次函数的图像于点E，B 平分∠DE． （1）用含m 的式子表示； （2）求证： 为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段 GF、D、E 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用 含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 思路点拨 1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点、B、F 的坐标后，点D 的坐标也 可以写出来．点E 的纵坐标为定值是算出来的． 2．在计算的过程中，第（1）题的结论 及其变形 反复用到． 3．注意到点E、D、F 到x 轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F 作D 的平行线 与x 轴的交点，就是要求的点G． 满分解答 （1）将(0,－3)代入y＝(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3m2．因此 ． （2）由y＝(x2－2mx－3m2)＝(x＋m)(x－3m)＝(x－m)2－4xm2＝(x－m)2－4， 得(－m, 0)，B(3m, 0)，F(m, －4)，对称轴为直线x＝m． 所以点D 的坐标为(2m,－3)． 设点E 的坐标为(x, (x＋m)(x－3m))． 如图2，过点D、E 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D′、E′． 由于∠EE′＝∠DD′，所以 ．因此 ． 所以m(x－3m)＝1．结合 ，于是得到x＝4m． 当x＝4m 时，y＝(x＋m)(x－3m)＝5m2＝5．所以点E 的坐标为(4m, 5)． 所以 ． 图2 图3 （3）如图3，由E(4m, 5)、D(2m,－3)、F(m,－4)， 可知点E、D、F 到x 轴的距离分别为5、4、3． 那么过点F 作D 的平行线与x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G． 证明如下：作FF′⊥x 轴于F′，那么 ． 因此 ．所以线段GF、D、E 的长围成一个直角三角形． 此时GF′＝4m．所以G＝3m，点G 的坐标为(－3m, 0)． 3、如图1，已知抛物线 （b 是实数且b＞2）与x 轴的正半轴分别交于点、B（点位 于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点． （1）点B 的坐标为______，点的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PB 的面积等于2b，且△PB 是以点P 为直角顶 点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△Q、△Q 和△QB 中的任意两个三角形均相似 （全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 满分解答 （1）B 的坐标为(b, 0)，点的坐标为(0, )． （2）如图2，过点P 作PD⊥x 轴，PE⊥y 轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PE． 因此PD＝PE．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结P． 所以S 四边形PB＝S△P＋S△PB＝ ＝2b． 解得 ．所以点P 的坐标为( )． 图2 图3 （3）由 ，得(1, 0)，＝1． ①如图4，以、为邻边构造矩形Q，那么△Q≌△Q． 当 ，即 时，△BQ∽△Q． 所以 ．解得 ．所以符合题意的点Q 为( )． ②如图5，以为直径的圆与直线x＝1 交于点Q，那么∠Q＝90°。 因此△Q∽△Q． 当 时，△BQ∽△Q．此时∠QB＝90°． 所以、Q、B 三点共线．因此 ，即 ．解得 ．此时Q(1,4)． 图4 图5 4、如图1，已知抛物线的方程1： (m＞0)与x 轴交于点B、，与y 轴交于点E，且点 B 在点的左侧． （1）若抛物线1 过点M(2, 2)，求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点，使得B＋E 最小，求出点的坐标； （4）在第四象限内，抛物线1 上是否存在点F，使得以点B、、F 为顶点的三角形与△BE 相似？若存 在，求m 的值；若不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 黄冈25”，拖动点在x 轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，E 与BF 保持平行，但是∠BF 在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠BF 保持45°，存在∠BF＝∠BE 的时刻． 思路点拨 1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当落在线段E 上时，B＋E 最小． 2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠BF＝∠EB＝45°，或者作BF//E．再用含m 的式子表示点F 的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m 的方程． 满分解答 （1）将M(2, 2)代入 ，得 ．解得m ＝4． （2）当m＝4 时， ．所以(4, 0)，E(0, 2)． 所以S△BE＝ ． （3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当落在线段E 上时，B＋E 最小． 设对称轴与x 轴的交点为P，那么 ． 因此 ．解得 ．所以点的坐标为 ． （4）①如图3，过点B 作E 的平行线交抛物线于F，过点F 作FF′⊥x 轴于F′． 由于∠BE＝∠FB，所以当 ，即 时，△BE∽△FB． 设点F 的坐标为 ，由 ，得 ． 解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)． 由 ，得 ．所以 ． 由 ，得 ． 整理，得0＝16．此方程无解． 图2 图3 图4 ②如图4，作∠BF＝45°交抛物线于F，过点F 作FF′⊥x 轴于F′， 由于∠EB＝∠BF，所以 ，即 时，△BE∽△BF． 在Rt BFF′ △ 中，由FF′＝BF′，得 ． 解得x＝2m．所以F′ ．所以BF′＝2m＋2， ． 由 ，得 ．解得 ． 综合①、②，符合题意的m 为 ． 5、如图1，点在x 轴上，＝4，将线段绕点顺时针旋转120°至B 的位置． （1）求点B 的坐标； （2）求经过、、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存 在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 思路点拨 1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方 程；然后解方程并检验． 2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起． 满分解答 （1）如图2，过点B 作B⊥y 轴，垂足为． 在Rt△B 中，∠B＝30°，B＝4，所以B＝2， ． 所以点B 的坐标为 ． （2）因为抛物线与x 轴交于、(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝x(x－4)， 代入点B ， ．解得 ． 所以抛物线的解析式为 ． （3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P 的坐标为(2, y)． ①当P＝B＝4 时，P2＝16．所以4+y2＝16．解得 ． 当P 在 时，B、、P 三点共线（如图2）． ②当BP＝B＝4 时，BP2＝16．所以 ．解得 ． ③当PB＝P 时，PB2＝P2．所以 ．解得 ． 综合①、②、③，点P 的坐标为 ，如图2 所示． 图2 图3 考点伸展 如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△D 与△B 是两个相似的等腰三角形． 由 ，得抛物线的顶点为 ． 因此 ．所以∠D＝30°，∠D＝120°． 6、如图，矩形11B1，由矩形B 旋转得到，点在y 轴上，点，1在x 轴上，11与B 交于点D，B 的坐标为（﹣ 1，3）． （1）求线段11所在直线的函数表达式； （2）如果函数y＝x2+bx+（≠0）的图象过1，，D 三点．问该抛物线上是否有一点P 使△P1D 的面积为 2？如存在，求出点P 坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）如图，连接B，1B，则B＝1B， ∵四边形B 是矩形， ∴B⊥， ∴＝1， ∵B 点的坐标为（﹣1，3）， ∴＝1， ∴1＝1， ∴点1的坐标是（﹣2，0）， 在△B1D 与△1D 中， ， ∴△B1D≌△1D（S）， ∴BD＝1D， 设点D 的坐标为（﹣1，），则D＝， ∵点B 的坐标是（﹣1，3）， ∴1D＝BD＝3﹣， 在Rt△D′中，D2+1 2＝1D2， ∴2+12＝（3﹣）2， 解得＝ ， ∴点D 的坐标为（﹣1， ）， 设直线11的解析式为y＝kx+b， ∴ ，解得 ∴线段11所在直线的函数表达式为y＝ x+ ； （2）∵函数y＝x2+bx+（≠0）的图象过1，，D 三点， 设函数为y＝（x+1）2+ ， 代入（﹣2，0）得0＝+ ， ∴＝﹣ ， ∴函数y＝﹣ （x+1）2+ ＝﹣ x2﹣ x， ∵1D＝BD＝3﹣ ＝ ， ∵△P1D 的面积为2， ∴P 到直线11的距离为 ， 设x 轴上有一定M，过M 作M⊥直线11，且M＝ ， ∵∠M1＝∠1D＝90°，∠M1＝∠D1， ∴△M1∽△1D， ∴ ，即 ＝ ， ∴1M＝3， ∴M（1，0）， 过M 点作直线11的平行线，与抛物线的交点即为P 点， 设过M 点作直线11的平行线为y＝ x+， 把M（1，0）代入得0＝ +，解得＝﹣ ， ∴y＝ x﹣ ， 解 得 或 ∴P（ ， ）或（ ， ）．