专题06 二次函数中面积问题的两种考法（原卷版）

专题06 二次函数中面积问题的两种考法 类型一、面积最值问题 例．抛物线 交x 轴于点 ，交y 轴于点 ． (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴和另一个与x 轴交点的坐标； (2)直接写出当 时，x 的取值范围． (3)如图，点P 是线段 上方抛物线上一动点，当P 点的坐标为_______时， 的面积 最大． 【变式训练1】如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ． (1)求抛物线的对称轴及 值； (2)抛物线的对称轴上存在一点 ，使得 的值最小，求此时点 的坐标； (3)点 是抛物线上一动点，且在第三象限，当 点运动到何处时，四边形 的面积 最大？求出四边形 的最大面积． 【变式训练2】如图，抛物线 与x 轴交与 ， 两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设抛物线交y 轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 的周长最小？ 若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在第二象限内的抛物线上的是否存在一点P，使 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及 的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x 轴交 于点 和点 两点，与y 轴交于点 ．点D 为线段 上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求 周长的最小值； (3)如图2，过动点D 作 交抛物线第一象限部分于点P，连接 ，记 与 的面积和为S，当S 取得最大值时，求点P 的坐标，并求出此时S 的最大值． 类型二、求面积问题 例．已知： ， 是方程 的两个实数根，且 ，抛物线 的 图象经过点 ． (1)求这个抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线与 轴的另一交点为，抛物线的顶点为D，试求 的面积； (3) 是线段 上的一点，过点 作 轴，与抛物线交于 点，若直线 把 分成面积之比为 的两部分，请求出 点的坐标． 【变式训练1】如图，已知抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左 侧），与y 轴的正半轴交于点，点的坐标为 ，连接 ． (1)当 时，求抛物线的顶点坐标； (2)若 ， ①求m 的值； ②点P 是x 轴上方的抛物线上的一动点，连结 ．设 的面积为S．若S 为正 偶数，试求点P 的坐标． 【变式训练2】如图，抛物线 与x 轴交于 ， 两点，与 轴交 于点 ，点 是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 在直线 下方运动，且满足 时，求点 的坐标； (3)设 的面积为，当为某值时，满足条件的点 有且只有三个，不妨设为 ， ， ，求 的面积． 课后训练 1．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴分别交于 ， 两点，其中点 在原点左侧，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)已知抛物线顶点为 ，点 在第三象限的抛物线上， ①若直线 与直线 关于直线 对称，求点 的坐标； ②如图2，若直线 与抛物线交于点 ， ， ，与抛物线线的对称轴 交于点 ，若 ，连接 ， ，求 的取值范围． 2．已知： 关于 的函数 ． (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 ，则 的值是___________； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与 轴有两个公共点 ， ，并与动直线 交于点 ，连接 ， ， ， ，其中 交 轴于点 ，交 于 点 ．设 的面积为 ， 的面积为 ． ①当点 为抛物线顶点时，求 的面积； ②探究直线在运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存 在，说明理由． 3．如图1，经过原点的抛物线 （、b 为常数， ）与x 轴相交于另一点 ．在第一象限内与直线 交于点 ，抛物线的顶点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点D，使得 ？若存在，求出所有点D 的坐标；若不存 在，请说明理由；