题型9 二次函数综合题 类型3 二次函数与面积有关的问题25题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型三 二次函数与面积有关的问题（专题训练） 1．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x 轴交于 ， 两点，与y 轴交于点，顶点为D．为坐标原点， ． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形 的面积； (3)P 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若 ，求P 点的坐标． 【答】(1) ；(2)30；(3) 【分析】（1）用两点式设出二次函数的解析式，然后求得点的坐标，并将其代入二次函数 的解析式，求得的值，再将代入解析式中即可． （2）先将二次函数变形为顶点式，求得顶点坐标，然后利用矩形、三角形的面积公式即可 求得答． （3）根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最 后联立一次函数与二次函数的解析式，求得点P 的坐标． 【详解】（1）∵二次函数的图象与 轴交于 两点． ∴设二次函数的表达式为 ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ，即 的坐标为 则 ，得 ∴二次函数的表达式为 ； （2） ∴顶点的坐标为 过 作 于 ，作 于 ， 四边形 的面积 ； （3）如图， 是抛物线上的一点，且在第一象限，当 时， 连接 ，过 作 交 于 ，过 作 于 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ，则 为等腰直角三角形， ． 由勾股定理得： ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ 由 ，得 ， ∴ ． ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∴ 的坐标为 所以过 的直线的解析式为 令 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得 ，或 所以 直线与抛物线的两个交点为 即所求 的坐标为 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质以及与坐标系几何图形的综合证明计算问 题，解题的关键是将所学的知识灵活运用． 2．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点 ， ，矩形 的 边 在线段 上（点B 在点的左侧），点，D 在抛物线上，设 ，当 时， ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t 为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持 时的矩形 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个 交点G，，且直线 平分矩形 的面积时，求抛物线平移的距离． 【答】(1) ；(2)当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ；(3)4 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为 ，求出点的坐标，将点的坐标 代入即可求出该抛物线的函数表达式； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）由抛物线的对称性得 ，则 ，再得出 ，根据矩 形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解； （3）连接 ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ，根据矩形的性质和 平移的性质推出四边形 是平行四边形，则 ， ．求出 时，点 的坐标为 ，则 ，即可得出结论． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为 ． ∵当 时， ， ∴点的坐标为 ． 将点坐标代入表达式，得 ， 解得 ． ∴抛物线的函数表达式为 ． （2）解：由抛物线的对称性得： ， ∴ ． 当 时， ． ∴矩形 的周长为 ． ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ． （3）解：连接 ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ． ∵直线 平分矩形 的面积， ∴直线 过点P．． 由平移的性质可知，四边形 是平行四边形， ∴ ． ∵四边形 是矩形， ∴P 是 的中点． ∴ ． 当 时，点的坐标为 ， ∴ ． ∴抛物线平移的距离是4． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平 移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数 图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质． 3 已知二次函数 ，其中 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)当该函数的图像经过原点 ，求此时函数图像的顶点 的坐标； (2)求证：二次函数 的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线 上运 动，平移后所得函数的图像与 轴的负半轴的交点为 ，求 面积的最大值． 【答】(1) (2)见解析 (3)最大值为 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式 即可得到答； （2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为 ，然后分别证明顶点坐标 的横纵坐标都小于0 即可； （3）设平移后图像对应的二次函数表达式为 ，则其顶点坐标为 ， 然后求出点B 的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线 上推出 ，过点 作 ，垂足为 ，可以推出 ,由此即可 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 求解． (1) 解：将 代入 ， 解得 ． 由 ，则 符合题意， ∴ ， ∴ ． (2) 解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴二次函数 的顶点在第三象限． (3) 解：设平移后图像对应的二次函数表达式为 ，则其顶点坐标为 当 时， ， ∴ ． 将 代入 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得 ． ∵ 在 轴的负半轴上， ∴ ． ∴ ． 过点 作 ，垂足为 ， ∵ ， ∴ ． 在 中， , ∴当 时，此时 ， 面积有最大值，最大值为 ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平 移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键 4．（2023·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线 经过点 ，对称轴为直线 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求 的值； (2)已知点 在抛物线上，点 的横坐标为，点 的横坐标为 ．过点 作 轴的垂线 交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ． （ⅰ）当 时，求 与 的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形的面积为 ？ 若存在，请求出点 的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ；(2)（ⅰ） ；（ⅱ） 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出 ， ， ，继而得出 ， ，当 时，根据三角形的面积公式，即 可求解． （ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分 和 分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为 建立方程，解方程进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意， ， 解得： ， ∴ ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）（ⅰ）设直线 的解析式为 ， ∵ ， ∴ 解得： ， ∴直线 ， 如图所示，依题意， ， ， ， ∴ ， ， ∴当 时， 与 的面积之和为 ， （ⅱ）当点 在对称右侧时，则 ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得： ， 当 时， ， ∴ ， ∴ ， 解得： （舍去）或 （舍去） 综上所述， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类 讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 5 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x 轴交于点． 、 ，与y 轴交于点． （1） ________， ________； （2）若点D 在该二次函数的图像上，且 ，求点D 的坐标； （3）若点P 是该二次函数图像上位于x 轴上方的一点，且 ，直接写出点P 的坐标． 【答】（1）-2，-3；（2）（ ，6）或（ ，6）；（3）（4，5） 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出△B 的面积，设点D（m， ），再根据 ，得到方 程求出m 值，即可求出点D 的坐标； （3）分点P 在点左侧和点P 在点右侧，结合平行线之间的距离，分别求解． 【详解】 解：（1）∵点和点B 在二次函数 图像上， 则 ，解得： ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 故答为：-2，-3； （2）连接B，由题意可得： （-1，0），B（3，0），（0，-3）， ， S ∴ △B= =6， S ∵ △BD=2S△B，设点D（m， ）， ∴ ，即 ， 解得：x= 或 ，代入 ， 可得：y 值都为6， D ∴ （ ，6）或（ ，6）； （3）设P（， ）， ∵点P 在抛物线位于x 轴上方的部分， ∴＜-1 或＞3， 当点P 在点左侧时，即＜-1， 可知点到P 的距离小于点B 到P 的距离， ∴ ，不成立； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 当点P 在点B 右侧时，即＞3， △P ∵ 和△PB 都以P 为底，若要面积相等， 则点B 和点到P 的距离相等，即B∥P， 设直线B 的解析式为y=kx+p， 则 ，解得： ， 则设直线P 的解析式为y=x+q，将点（-1，0）代入， 则-1+q=0，解得：q=1， 则直线P 的解析式为y=x+1，将P（， ）代入， 即 ， 解得：=4 或=-1（舍）， ， ∴点P 的坐标为（4，5）． 【点睛】 本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的 距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离． 6．（2023·湖南·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两 点，与 轴交于 点，其中 ， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出 点坐标；若不 存在，请说明理由； (3)点 是对称轴上一点，且点 的纵坐标为 ，当 是锐角三角形时，求 的取值 范围． 【答】(1) ；(2) 或 或 ；(3) 或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据 ，可得 到 的距离等于 到 的距离，进而作出两条 的 平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解； （3）根据题意，求得当 是直角三角形时的 的值，进而观察图象，即可求解，分 和 两种情况讨论，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：将点 ， 代入 ，得 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得： ∴抛物线解析式为 ； （2）∵ ， 顶点坐标为 ， 当 时， 解得： ∴ ，则 ∵ ，则 ∴ 是等腰直角三角形， ∵ ∴ 到 的距离等于 到 的距离， ∵ ， ，设直线 的解析式为 ∴ 解得： ∴直线 的解析式为 ， 如图所示，过点 作 的平行线，交抛物线于点 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设 的解析式为 ，将点 代入得， 解得： ∴直线 的解析式为 ， 解得： 或 ∴ ， ∵ ∴ ∴ 是等腰直角三角形，且 ， 如图所示，延长 至 ，使得 ，过点 作 的平行线 ，交 轴于点 ，则 ，则符合题意的点 在直线 上， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ∴ 是等腰直角三角形， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ∴ 设直线 的解析式为 ∴ 解得： ∴直线 的解析式为 联立 解得： 或 ∴ 或 综上所述， 或 或 ； （3）①当 时，如图所示，过点 作 交 于点 ， 当点 与点 重合时， 是直角三角形， 当 时， 是直角三角形， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设 交 于点 ， ∵直线 的解析式为 ， 则 ， ∴ , ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ∴ ， 设 ，则 ∵ ∴ 解得： （舍去）或 ∴ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ 是锐角三角形 ∴ ； 当 时，如图所示， 同理可得 即∴ 解得： 或 （舍去） 由（2）可得 时， ∴ 综上所述，当 是锐角三角形时， 或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质 是解题的关键． 7．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 经过点 ， ，对称轴过点 ， ，直线过点 ，且垂直 于 轴．过点 的直线交抛物线于点 、 ，交直线于点 ，其中点 、Q 在抛物线 对称轴的左侧． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当 时，求点 的坐标； (3)如图2，当点 恰好在 轴上时， 为直线下方的抛物线上一动点，连接 、 ， 其中 交于点 ，设 的面积为 ， 的面积为 ．求 的最大值． 【答】(1) ；(2) ；(3) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）过点 作 ，垂足为 根据已知条件得出 ，进而 列出方程，解方程，即可求解； （3）先求得直线 的解析式为 ，设 ，得出直线 的解析式为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，联立 得出 ，根据等底两三角形的面积比 等于高之比，得出 ，进而得出关于 的二次函数关系，根据二次函数的性质即 可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ，对称轴过点 ， ， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 ； （2）解：如图所示，过点 作对称轴 的垂线 ，垂足为 ， 设 ，则 ， ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： 或 ， ∵其中点 在抛物线对称轴的左侧． ∴ ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， ∴ ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 联立 ， 解得： 或 ， ∴ ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）解：依题意，点 恰好在 轴上，则 ， 设直线 的解析式为 ， 将 代入得 ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 设 ，设直线 的解析式为 ， 则 ， ∴直线 的解析式为 ， 联立 ， 解得： ， ∴ ， ∴ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ∴当 时，取得最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，平行线分线段比例，面积问题，待定系数法求解 析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与坐标轴相交于 、 、 三点，其中 点坐标为 ， 点坐标为 ，连接 、 ．动点 从点 出发，在线段 上以每秒 个单位长度向点 做匀速运动；同时，动点 从点 出发， 在线段 上以每秒1 个单位长度向点 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随 之停止运动，连接 ，设运动时间为秒． （1）求 、 的值； （2）在 、 运动的过程中，当为何值时，四边形 的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段 上方的抛物线上是否存在点 ，使 是以点 为直角顶点的等腰 直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】（1）b=2，=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（ ， ） 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P 作PE⊥x 轴，垂足为E，利用S 四边形BPQ=S△B-S△PQ表示出四边形BPQ 的面 积，求出t 的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）画出图形，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于 F，证明△PFM △QEP ≌ ，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M 的坐标，再代入 二次函数表达式，求出t 值，即可算出M 的坐标． 【详解】 解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+经过点（3，0），B（-1，0）， 则 ， 解得： ； （2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，（0，3），（3，0）， △ ∴是等腰直角三角形，由点P 的运动可知： P= ，过点P 作PE⊥x 轴，垂足为E， E=PE= ∴ =t，即E（3-t，0）， 又Q（-1+t，0）， S ∴ 四边形BPQ=S△B-S△PQ = = ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， = ，B=4， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 0≤t≤3 ∴ ， ∴当t= =2 时，四边形BPQ 的面积最小，即为 =4； （3）∵点M 是线段上方的抛物线上的点， 如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F， △PMQ ∵ 是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°， ∠MPF+∠QPE=90° ∴ ，又∠MPF+∠PMF=90°， ∠PMF=∠QPE ∴ ， 在△PFM 和△QEP 中， ， △PFM △QEP ∴ ≌ （S）， MF=PE=t ∴ ，PF=QE=4-2t， EF=4-2t+t=4-t ∴ ，又E=3-t， ∴点M 的坐标为（3-2t，4-t）， ∵点M 在抛物线y=-x2+2x+3 上， 4-t=- ∴ （3-2t）2+2（3-