59 宽高模型解决二次函数中的面积问题

宽高模型解决二次函数中的面积问题 【模型展示】面积中的宽高模型 如图，试探究△B 面积 x y O A B C 【解法】一：如图1，过点（定点）作D x ⊥轴交B 于点D，则S B △=S D △+S BD △ x y D O A B C x y F E D O A B C G 图1 图2 如图2，过点B 作BF D ⊥ 于点F，过点作E D ⊥ 于点E，过点作G x ⊥轴于点G， 则S B △=S D △+S BD △= D·E+ D·BF= D·（E+BF）= D·G 说明：其中G 表示、B 两点之间在水平方向上的距离，可称为△B 的水平宽，D 可称为△B 的铅垂高，即 S B △= ×水平宽×铅垂高，可称为“宽高公式” 【解法】二：如图3，过点作D x ⊥轴交B 的延长线于点D，则S B △=S BD △-S D △ x y D O A B C x y H G D O A B C 图3 图4 如图4，过点B 作B D ⊥ 交于点， 则S B △=S BD △-S D △= D·B- D·G= D·（B-G）= D· 说明：是△B 的水平宽，D 是△B 的铅垂高 【解法】三：如图5，过点B 作BD y ⊥轴交于点D，则S B △=S BD △+S BD △ x y D O A B C x y G H E D O A B C 图5 图6 如图6，过点作⊥BD 于点，过点作G x ⊥轴于点G，交BD 的延长线于点E， 则S B △=S BD △+S BD △= BD·E+ BD·= BD·（E+）= BD·G 说明：BD 是△B 的水平宽，G 是△B 的铅垂高 【解法】四：如图7，过点作E y ⊥轴于点E，延长E 交B 反向延长线于点D，则S B △=S D △-S BD △ x y E D O A B C x y F E D O A B C 图7 图8 如图8，过点作F D ⊥ 交于点F， 则S B △=S D △-S BD △= D·F- D·BE= D·（F-BE）= D·B 说明：D 是△B 的水平宽，B 是△B 的铅垂高 【模型总结】无论点、B、三点的相对位置如何，“宽高模型”对图形面积求解总是适用，其证明方法、 证明过程、最终结论都基本一致，利用大面积-小面积或割补法求解，体现出数学中“变中不变”的和谐统 一之美。 1、如图，抛物线y=x2+bx+经过（-3，0），B（1，0），（0，3）三点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P 为抛物线上在第二象限内的一点，若△P 面积为3，求点P 的坐标； 解：（1）y=-x2-2x+3； （1）如图，过点P 作PQ//y 轴，交于点Q， ∵（-3,0），B（0,3） ∴直线：y=x+3 设P（x,-x2-2x+3），Q（x，x+3） PQ=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x ∴ S P= ∴△ PQ· ∴ （-x2-3x）·3=3 解得：x1=-1,x2=-2 P ∴（-1,4）或（-2,3） 2、在平面直角坐标系xy 中，对于任意三点，B，的“矩面积”，给出如下定义： 3、“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面 积”S=． 4、例如：三点坐标分别为（1，2），B（-3，1），（2，-2），则“水平底”=5，“铅垂高”=4，“矩面 积”S==20． 5、（1）已知点（1，2），B（-3，1），P（0，t）． 6、①若，B，P 三点的“矩面积”为12，求点P 的坐标； 7、②直接写出，B，P 三点的“矩面积”的最小值． 8、（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），（， ），其中m＞0，＞0． 9、①若E，F，M 三点的“矩面积”为8，求m 的取值范围； 10、②直接写出E，F，三点的“矩面积”的最小值及对应的取值范围． 解：（1）①由题意：=4． 当t＞2 时，=t-1， 则4（t-1）=12，可得t=4，故点P 的坐标为（0，4）； 当t＜1 时，=2-t， 则4（2-t）=12，可得t=-1，故点P 的坐标为（0，-1）； ②∵根据题意得：的最小值为：1， ∴，B，P “ ” 三点的矩面积的最小值为4； 故答为：4； （2）∵E，F，M “ ” 三点的矩面积为8， =4 ∴ ，=2， ∴0≤m≤ ． m ∵＞0， 0 ∴＜m≤ ． 3、如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+6 ≠ （0）交x 轴于（-4，0），B（2，0），在y 轴 上有一点E（0，-2），连接E． （1）求二次函数的表达式； （2）点D 是第二象限内的抛物线上一动点． ①求△DE 面积最大值并写出此时点D 的坐标； ②若t ED= ∠ ，求此时点D 坐标； （3）连接，点P 是线段上的动点，连接P，把线段P 绕着点P 顺时针旋转90°至PQ，点Q 是点的对应点． 当动点P 从点运动到点，则动点Q 所经过的路径长等于 （直接写出答） 解：（1）将（-4，0），B（2，0）代入y=x2+bx+6 ≠ （0）， 可得：= ，b= y= ∴ x2 x+6 （2）①如图所示，由“宽高模型”易证得S DE △= DF·E 由（-4,0）E（0，-2）可得：直线E 解析式为：y= x-2 设D（x， x2 x+6）则F 点的纵坐标为 x2 x+6 ∵点F 在直线E 上，∴F 的横坐标为 x2 x-16 DF= ∴ x2 x+16 又E=2 S ∴ DE △= DF·E= x2 x+16= （x+ ）2+ ∵ <0，∴抛物线开口向下 ∴当x=- 时，S DE △ 取最大值 ，此时点D（- ， ） x y F E B A C O D ②如图，过点作⊥DE 交DE 于点， t ∵ ED= ∠ ，∴ =4 ∵ ，E=2 E= ∴ = ∴ ，E=3 易证△G EG ∽△ ∴ = 设G=m，则G= m GE=E-G=3 ∴ - m ∴在Rt GE △ 中，由勾股定理可得：m=2 G=2 ∴ G ∴（-2,0） ∴直线GE 解析式为：y=-x-2 ∴联立抛物线和直线GE 函数解析式，可得：D（ ） x y G H E B A C O D （3）如图所示，∵Q 点随P 点运动而运动，P 点在线段上运动， Q ∴ 点的运动轨迹是线段， 当P 点在点时，Q（-4，-4）， 当P 点在点时，Q（-6，6）， Q ∴ 点的轨迹长为2 x y Q E B A C O P 4、如图，已知抛物线 2 1 y x   与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点． （1）求、B、三点的坐标; （2）过点作P∥B 交抛物线于点P，求四边形BP 的面积; （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M 作MGx 轴于点G，使以、M、G 三点为顶点的 三角形与P 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 【解析】解：（1）令 0 y ，得 2 1 0 x   解得 1 x  令 0 x ，得 1 y  ∴ ( 1,0)  B(1,0) (0, 1)  （2）∵=B==1 ∴B==B=45 P ∵∥B， ∴PB=45 过点P 作PEx 轴于E，则PE 为等腰直角三角形 令E=a ，则PE= 1 a  P ∴( , 1) a a  ∵点P 在抛物线 2 1 y x   上 ∴ 2 1 1 a a   解得 1 2 a ， 2 1 a  （不合题意，舍去） P ∴E=3 ∴四边形BP 的面积S = 1 2 B•+ 1 2 B•PE= 1 1 2 1 2 3 4 2 2   (3)． 假设存在 ∵PB=B =45 P ∴ MG ∵ x 轴于点G， ∴MG=P =90 在Rt△中，==1 = ∴ 2 在Rt P △E 中，E=PE=3 P= ∴ 3 2 设M 点的横坐标为m ，则M 2 ( , 1) m m  ①点M 在y 轴左侧时，则 1 m  ( ) ⅰ当MG ∽P 时，有 AG PA = MG CA G= ∵ 1 m   ，MG= 2 1 m  即 2 1 1 3 2 2 m m     解得 1 1 m  （舍去） 2 2 3 m  （舍去） ( ) ⅱ当MG ∽P 时有 AG CA = MG PA 即 2 1 1 2 3 2 m m     解得： 1 m  （舍去） 2 2 m  ∴M( 2,3)  ②点M 在y 轴右侧时，则 1 m  ( ) ⅰ当MG ∽P 时有 AG PA = MG CA G= ∵ 1 m ，MG= 2 1 m  ∴ 2 1 1 3 2 2 m m    解得 1 1 m  （舍去） 2 4 3 m  ∴M 4 7 ( , ) 3 9 ( ) ⅱ当MG∽P 时有 AG CA = MG PA 即 2 1 1 2 3 2 m m    解得： 1 1 m  （舍去） 2 4 m  ∴M(4,15) ∴存在点M，使以、M、G 三点为顶点的三角形与P 相似 M 点的坐标为( 2,3)  ， 4 7 ( , ) 3 9 ，(4,15) 5、如图,在平面直角坐标系中，△B 是直角三角形,∠B=90,=B,=1，=4，抛物线 经过，B 两点， 抛物线的顶点为D． （1）求b,的值； （2）点E 是直角三角形B 斜边B 上一动点(点、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F，当线 段EF 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在 一点P，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由 【解析】解：（1）由已知得：（-1，0） B（4，5） ∵二次函数 的图像经过点（-1，0）B(4,5) ∴ 解得：b=-2 =-3 （2）如２６题图：∵直线B 经过点（-1，0） B(4,5) ∴直线B 的解析式为：y=x+1 ∵二次函数 ∴设点E(t， t+1),则F（t， ） EF= ∴ = ∴当 时，EF 的最大值= ∴点E 的坐标为（ ， ） （3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D 得四边形ＥＢＦＤ． 可求出点F 的坐标（ ， ）,点D 的坐标为（1，-4） S = S + S = = ②如２６题备用图：ⅰ)过点E 作⊥EF 交抛物线于点P,设点P(m, ) 则有： 解得: , ∴ , ⅱ）过点F 作b⊥EF 交抛物线于 ，设 （， ） 则有： 解得： ， （与点F 重合，舍去） ∴ 综上所述：所有点P 的坐标： ， （ 能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形．