专题5.2 平行线的性质【十大题型】（原卷版）

专题52 平行线的性质【十大题型】 【人版】 【题型1 平行线的判定与性质的运用（计算与证明）】......................................................................................1 【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】.....................................................................................................2 【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】..........................................................................................5 【题型4 平行线与三角尺（直角顶点不在平行线上）】......................................................................................6 【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】..........................................................................7 【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】..................................................................................................8 【题型7 平行线的判定与性质综合（规律问题）】............................................................................................10 【题型8 平行线的性质（折叠问题）】............................................................................................................... 12 【题型9 平行线的应用（转角问题）】............................................................................................................... 14 【题型10 平行线的判定与性质综合（旋转）】..................................................................................................15 【知识点 平行线的性质】 1 两条平行被第三条直线所截同位角相等简单说成两直线平行同位角相等 2 两条平行线被第三条直线所截内错角相等简单说成两直线平行内错角相等 3 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补简单说成两直线平行同旁内角互补 【题型1 平行线的判定与性质的运用（计算与证明）】 【例1】（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E 在上，点F，G 分 别在B，B 上，且DG∥BC，∠1＝∠2． (1)求证：DB∥EF； (2)若EF⊥，∠1＝50°，求∠DG 的度数． 【变式1-1】（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学研培训中心七年级期末）已知：如图， AE⊥BC , FG⊥BC ，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°． 1 (1)求证：AB∥CD； (2)求∠C的度数． 【变式1-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如图，△B 中，∠B 的角平分线交B 于D，点F 在B 的延长线上，点E 在线段D 上，EF 与相交于点G，且 ∠BDA + ∠CEG=180°． (1)求证：AD∥EF； (2)若点在FE 的延长线上，且∠ED＝∠，则∠F 与∠相等吗？请说明理由． 【变式1-3】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）如图，已知AD⊥BC， EF ⊥BC，∠1=∠2． (1)求证：EF ∥AD； (2)求证：∠BAC+∠AGD=180°． 【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】 【例2】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，∠1=∠2，∠A=∠D． 1 求证：∠B=∠C．（请把下面证明过程补充完整） 证明：∵1=∠2（已知） 又∵∠1=∠3（____________） ∴∠2=∠3（____________） ∴AE∥FD（_____________） ∴∠A=∠_____（______________） ∵∠A=∠D（已知） ∴∠D=∠BFD（等量代换） _____ ∴ ∥CD（__________________） ∴∠B=∠C（____________） 【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）阅读并完成下面的证明 过程： 已知：如图，AB∥EF，∠1=∠2，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，求证： BE⊥CE． 证明：∵BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD． ∴∠ABE=∠EBC=1 2 ∠ABC ∠2=¿________¿ 1 2 ∠BCD（角平分线定义） 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠ECD（ ） ∴EF ∥CD（ ） 又∵AB∥EF（已知） ________________ ∴ （ ） 1 ∴∠ABC+∠BCD=180°（ ） ∴∠ABE+∠2=1 2 (∠ABC+∠BCD )=90°， 又∵AB∥EF， ∴∠ABE=∠BEF（ ） ∴∠BEF+∠1=90°， ∴∠BEC=90°， ∴BE⊥CE（ ） 【变式2-2】（2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中）完成下面证明过程并写出推理根据： 已知：如图所示，∠BAP与∠APD互补， 1= ∠ ∠2． 求证：∠E= ∠F． 证明：∵∠BAP与∠APD互补（已知）， 即∠BAP+ ∠APD=180°， ____________ ∴ ∥_____________（_____________________）， ∴∠BAP= ∠APC（_____________________）． 又∵ 1= ∠ ∠2， ∴∠BAP- 1= ∠ ∠ APC - 2 ∠（等式的性质）， 即 3= 4 ∠ ∠ ， ____________ ∴ ∥_____________（_____________________）， ∴∠E= ∠F（_____________________）． 【变式2-3】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）推理填空：完成下面的证明过程 如图，已知∠1+ 2=180° ∠ ，∠B=∠DEF，求证：DE∥B 证明：∵∠1+ 2=180° ∠ （ ） 2= 3 ∠ ∠（_______________________________） 1+ 3=180° ∴∠ ∠ ______ ∴ ∥______（_____________________________） ∴∠B=______（________________________________） ∵∠B=∠DEF（已知） ∴∠DEF=_______ （_______________________） ∴DE∥B（ ） 1 【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】 【例3】（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期末）如图，含有30°角的直角三角板的两个顶 点E、F放在一个长方形的对边上，点E为直角顶点，∠EFG=30°，延长EG交CD于点 P，如果∠3=65°，那么∠2的度数是（ ） ．100° B．105° ．115° D．120° 【变式3-1】（2022·浙江·金华市第四中学九年级阶段练习）将一直角三角板与两边平行的 纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠2；（3） ∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正确的个数是( ) ．1 B．2 ．3 D．4 【变式3-2】（2022·山东青岛·七年级期中）将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中 ∠ABC=30°，A，B两点分别落在直线m、n上，∠1=20°，添加下列哪一个条件可使 直线m∥n（ ） ．∠2=20° B．∠2=30° ．∠2=45° D．∠2=50° 【变式3-3】（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边D 与 1 直角边B 相交于点F，斜边DE∥BC，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠FB 的度数是（ ） ．95° B．115° ．105° D．125° 【题型4 平行线与三角尺（直角顶点不在平行线上）】 【例4】（2022·全国·八年级专题练习）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点 落在直线b 上，若∠1=58°54 '，则∠2 的度数为（ ） ．103°6 ' B．104°6 ' ．103°5 4 ' D．104°5 4 ' 【变式4-1】（2022·山西晋中·七年级期末）用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图 中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，直尺两边分别与三角 板的两条直角边相交，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ） ．25° B．225° ．20° D．15° 【变式4-2】（2022·福建·莆田市城厢区南门学校七年级阶段练习）如图，B∥D，将一副直 角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EF＝150°； ③∠BEF＝75°；④∠EG＝∠PM．其中正确的是_______． 【变式4-3】（2022·山东淄博·期末）如图所示，将一直角三角板放在B，D 两条平行线之 1 间： (1)图甲中，容易求得∠1+∠2=90°，请直接写出图乙中∠1，∠2 的数量关系； (2)请问图丙中∠1，∠2 的数量关系是什么？并加以说明； (3)请直接写出图丁中∠1，∠2 的数量关系． 【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】 【例5】（2022·黑龙江鹤岗·七年级期末）如图①，B∥D，M 为平面内一点，若BM⊥M， 则易证∠BM 与∠DM 互余． (1)如图②，B∥D．点M 在射线E 上运动，猜想点M 在点和D 之间时，∠BM 与∠BM、 ∠DM 之间的数量关系，并证明． (2)在（1）的条件下，当点M 在射线E 的其它位置上时（不与点E，，D 重合）请直接写 出∠BM 与∠BM、∠DM 之间的数量关系． 【变式5-1】（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）已知，点，点B 分别在线 段M，PQ 上，且∠B-∠M=∠BP． (1)如图1，求证：M∥PQ； 1 (2)分别过点和点作直线G、使G∥，以点B 为顶点的直角∠DB 的两边分别与直线，G 交于 点F 和点E，如图2，试判断∠FB、∠BEG 之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，若BD 和E 恰好分别平分∠BP 和∠，并且∠B=80°，求∠FB 的度数． （直接写出答） 【变式5-2】（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，∠1=∠2， ∠D=∠CMG． (1)求证：AD∥NG； (2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系； (3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A 的度数． 【变式5-3】（2022·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学七年级期中）如图1，B∥D，直线 E 分别交B、D 于点、E．点F 是直线E 上一点，连结BF，BP 平分∠BF，EP 平分∠E，BP 与EP 交于点P． (1)若点F 是线段E 上一点，且BF⊥E，求∠P 的度数； (2)若点F 是直线E 上一动点(点F 与点不重合)，请写出∠P 与∠FB 之间的数量关系并证明． 【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】 【例6】（2022·湖南·株洲二中七年级期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平 面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m 射到平面 镜上，被反射后的光线为，则入射光线m、反射光线与平面镜所夹的锐角∠1＝∠2． 1 (1)如图2，一束光线m 射到平面镜上，被反射到平面镜b 上，又被b 反射．若被b 反射出 的光线与光线m 平行，且∠1＝50°，则∠2＝ °，∠3＝ °． (2)请你猜想：当射到平面镜上的光线m，经过平面镜、b 的两次反射后，入射光线m 与反 射光线平行时，两平面镜、b 间的夹角∠3 的大小是否为定值？若是定值，请求出∠3，若不 是定值，请说明理由． (3)如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90），进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜ 90）．试探索α 与β 的数量关系，并说明理由． 【变式6-1】（2022·河北保定·七年级阶段练习）如图，直线B∥D，点M，分别在直线 AB ,CD上，为直线CD下方一点． (1)如图1，MH和NH相交于点，求证：∠MHN=∠AMH−∠CNH．（温馨提示：可 过点作AB的平行线） (2)延长HN至点G，∠BMH的平分线ME和∠GND的平分线NE相交于点E，HM与CD 相交于点F． ①如图2，若∠BME=50° ,∠END=30°，求∠MHN的度数； ②如图2，当点F 在点左侧时，若∠BME的度数为x°，∠END的度数为y °，且x+ y的 值是一个定值，请问∠MHN的度数是否会随x 的变化而发生改变？若不变，求出 ∠MHN的度数；若变化，请说明理由． ③如图3，当点在点F 左侧时，②中其他条件不变，请问∠MHN的度数是否会随x 的变 化而发生改变？若不变，直接写出∠MHN的度数；若变化，请说明理由． 【变式6-2】（2022·福建龙岩·七年级期末）如图1，点、D 分别在射线BM、线上，BM∥， BM⊥B 于点B，E 平分∠BD 交B 于点E，连接DE，∠1+ 2=90° ∠ ． 1 (1)求证：E⊥ED； (2)求证：DE 平分∠D； (3)如图2，∠EM 和∠ED 的平分线交于点F，试猜想∠F 的值是否为定值，若是，请予以证 明；若不是，请说明理由． 【变式6-3】（2022·天津河东·七年级期中）直线MN与直线AB、CD分别相交于点E、F， ∠MEB与∠CFM互补 (1)如图1，试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由． (2)如图2，∠BEF与∠EFD的平分线交于点P，EP的延长线与CD交于点G，H是MN上 一点，且GH ⊥EG，求证：PF∥G． (3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，使∠PHK=∠HPK，作PQ 平分∠EPK，求证：∠HPQ的大小是定值． 【题型7 平行线的判定与性质综合（规律问题）】 【例7】（2022·辽宁·鞍山市第十四中学七年级阶段练习）如图，已知AB/¿CD，若按图 中规律继续划分下去，则∠1+∠2+⋯+∠n等于（ ） ．n•180 0 B．2n•180 0 ．(n−1)•180 0 D．(n−1) 2•180 0 【变式7-1】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）如图，已知直线AE，BF被直 线AB所截，且AE // BF，A C1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA；A C2，BC2分别平分 ∠BA C1和∠ABC1；A C3，BC3分别平分∠BA C2，∠ABC2…依次规律，得点Cn， 则∠Cn的度数为（ ） 1 ．90−90 2 n B．180−90 2 n−1 ．90 2 n−1 D．180 2 n 【变式7-2】（2022·山东·临沂第六中学七年级阶段练习）如图（1）（2）（3）中，都满 足B∥D． 试求：（1）图（1）中∠＋∠的度数，并说明理由． （2）图（2）中∠＋∠P＋∠的度数，并说明理由． （3）图（3）中∠＋∠EF＋∠EF＋∠的度数，并简要说明理由． （4）按上述规律，∠＋……＋∠（共有个角相加）的和为 【变式7-3】（2022·浙江·七年级阶段练习）阅读并探究下列问题 （1）如图①，将长方形纸片剪两刀，其中AB∥CD，则∠2 与∠1、∠3 有何关系？请进行 证明 （2）如图②，将长方形纸片剪四刀，其中AB∥CD，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5 的关系为 （3）如图③，将长方形纸片剪2016 刀，其中AB∥CD，则共剪出 个角 若将剪出的角（∠、∠除外）分别用∠E1、∠E2、∠E3…表示，则被剪出的这些角的关系为 （4）如图④，直线AB∥CD，∠EF=∠M=x°，∠FG=3x°，∠P=y° 1 |2 x+ y−102|+❑ √x+ y−72=0由上述结论求∠GM 的度数 【题型8 平行线的性质（折叠问题）】 【例8】（2022·江西赣州·七年级期末）综合与实践：折纸中的数学 知识背景 我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的 计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折 纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线． 知识初探 (1)如图1，长方形纸条BG 中，AB∥GH , AH ∥BG，∠＝∠B＝∠G＝∠＝90°，将长方形 纸条沿直线D 折上，点落在'处，点B 落在B'处，B'交于点E，若∠EG＝70°，则∠DE＝ ； 类比再探 (2)如图2，在图1 的基础上将∠E 对折，点落在直线E 上的'处，点G 落在G'处得到折痕 EF，则折痕EF 与D 有怎样的位置关系？说明理由； (3)如图3，在图2 的基础上，过点G'作BG 的平行线M，请你猜想∠EF 和∠'G'M 的数量关 系，并说明理由． 【变式8-1】（2022·河南周口·七年级期中）如图，已知四边形纸片ABCD， ∠B=∠D=90°，点E在AD边上，把纸片按图中所示的方式折叠，使点D落在BC边上 的点F处，折痕为CE． 1 （1）试判定AB与EF的位置关系，并说明理由； （2）如果∠A=100°，求∠DEC的度数． 【变式8-2】（2022·河北保定·七年级期末）学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线 的方法，他将一张如图1 所示的纸片，其中AD // BC，先按如图2 所示的方法折叠，折痕 为MN； （M C '与AD相交于点P）然后按如图3 的方法折叠，折痕为PQ（A ' P与C ' M 落在一条直线上）． （1）在图2 的折叠过程中，若∠1=130°，求∠2的度数 （2）如图3，小明认为在折叠过程