专题5.2 平行线的性质【十大题型】（解析版）

专题52 平行线的性质【十大题型】 【人版】 【题型1 平行线的判定与性质的运用（计算与证明）】......................................................................................1 【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】.....................................................................................................5 【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】........................................................................................10 【题型4 平行线与三角尺（直角顶点不在平行线上）】....................................................................................12 【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】........................................................................18 【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】...............................................................................................24 【题型7 平行线的判定与性质综合（规律问题）】............................................................................................35 【题型8 平行线的性质（折叠问题）】............................................................................................................... 40 【题型9 平行线的应用（转角问题）】............................................................................................................... 46 【题型10 平行线的判定与性质综合（旋转）】..................................................................................................51 【知识点 平行线的性质】 1 两条平行被第三条直线所截同位角相等简单说成两直线平行同位角相等 2 两条平行线被第三条直线所截内错角相等简单说成两直线平行内错角相等 3 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补简单说成两直线平行同旁内角互补 【题型1 平行线的判定与性质的运用（计算与证明）】 【例1】（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E 在上，点F，G 分 别在B，B 上，且DG∥BC，∠1＝∠2． (1)求证：DB∥EF； (2)若EF⊥，∠1＝50°，求∠DG 的度数． 【答】(1)见解析 (2)∠DG＝40° 【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证； （2）先求出∠，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解． 1 （1） 证明：∵DG∥BC， 1 ∠＝∠DB． 又∵∠1＝∠2， 2 ∴∠＝∠DB， ∴DB∥EF． （2） ∵EF⊥， ∴∠EF＝90°． 2 ∵∠＝∠1＝50°， ∴∠＝90°－50°＝40°． ∵DG∥BC， DG ∴∠ ＝∠＝40°． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【变式1-1】（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学研培训中心七年级期末）已知：如图， AE⊥BC , FG⊥BC ，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°． (1)求证：AB∥CD； (2)求∠C的度数． 【答】(1)证明见解析 (2) = ∠30° 【分析】（1）先证明AE∥GF，可得∠EAB=∠FGB，再证明∠CEA=∠EAB，从而 可得答； （2）由AB∥CD，可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°，再把 ∠D=∠ABC+50° ,∠CBD=70° 代入进行计算即可 （1） 证明：∵AE⊥BC ，FG⊥BC， ∴AE∥GF， ∴∠EAB=∠FGB， 1 ∵∠CEA=∠FGB， ∴∠CEA=∠EAB， ∴AB∥CD； （2） 解：由（1）得，AB∥CD， ∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°， ∵∠D=∠ABC+50° ,∠CBD=70°， ∴∠ABC+70°+∠ABC+50°=180° ∴∠ABC=30°， ∴∠C=∠ABC=30°． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，方程思想的应用，掌握“平行线的判定与性 质”是解本题的关键 【变式1-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如图，△B 中，∠B 的角平分线交B 于D，点F 在B 的延长线上，点E 在线段D 上，EF 与相交于点G，且 ∠BDA + ∠CEG=180°． (1)求证：AD∥EF； (2)若点在FE 的延长线上，且∠ED＝∠，则∠F 与∠相等吗？请说明理由． 【答】(1)见详解 (2)∠F = ∠H，说明见详解 【分析】（1）根据∠BDA + ∠CEG=180°，∠≝+ ∠CEG=180°，可得 ∠BDA = ∠ ≝¿，根据同位角相等，两直线平行可判定AD∥EF； （2）根据∠EDH = ∠C，可得DH ∥AC，继而得到∠H = ∠EGC，由对顶角 ∠AGF = ∠EGC，可得∠H = ∠AGF，由（1）AD∥EF可得∠DAG= ∠AGF， ∠BAD= ∠F，再因为D 是∠B 的角平分线，有∠DAG= ∠BAD，即可证明∠F = ∠H． （1） 证明：∵∠BDA + ∠CEG=180°，∠≝+ ∠CEG=180°， ∴∠BDA = ∠ ≝¿， 1 ∴AD∥EF． （2） 解：∠F = ∠H，理由如下： ∵∠EDH = ∠C， ∴DH ∥AC， ∴∠H = ∠EGC， ∵∠AGF = ∠EGC， ∴∠H = ∠AGF， ∵AD∥EF， ∴∠DAG= ∠AGF，∠BAD= ∠F， 又∵D 是∠B 的角平分线， ∴∠DAG= ∠BAD， ∴∠F = ∠H． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握并应用平行线的判 定与性质是解答本题的关键． 【变式1-3】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）如图，已知AD⊥BC， EF ⊥BC，∠1=∠2． (1)求证：EF ∥AD； (2)求证：∠BAC+∠AGD=180°． 【答】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂直得出∠EFB=∠ADB=90°，根据平行线的判定得出EF ∥AD； （2）根据平行线的性质得出∠1=∠BAD，由∠1=∠2得出∠2=∠BAD，根据平行 线的判定得出DG∥BA，再根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，EF ⊥BC， ∴∠EFB=90°，∠ADB=90°（垂直的定义）， ∴∠EFB=∠ADB（等量代换）， ∴EF ∥AD（同位角相等，两直线平行）； 1 （2）证明：∵EF ∥AD， ∴∠1=∠BAD（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠1=∠2（已知）， ∴∠2=∠BAD（等量代换）， ∴DG∥BA（内错角相等，两直线平行）， ∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题 的关键． 【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】 【例2】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，∠1=∠2，∠A=∠D． 求证：∠B=∠C．（请把下面证明过程补充完整） 证明：∵1=∠2（已知） 又∵∠1=∠3（____________） ∴∠2=∠3（____________） ∴AE∥FD（_____________） ∴∠A=∠_____（______________） ∵∠A=∠D（已知） ∴∠D=∠BFD（等量代换） _____ ∴ ∥CD（__________________） ∴∠B=∠C（____________） 【答】对顶角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；BFD；两直线平行，内错角相 等；AB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】先利用对顶角的性质证明∠2=∠3，再证明AE∥FD，可证明∠A=∠BFD， 可得∠D=∠BFD，再证明AB∥CD，从而可得答． 【详解】证明：∵1=∠2（已知） 又∵∠1=∠3（对顶角相等） ∴∠2=∠3（等量代换） 1 ∴AE∥FD（内错角相等，两直线平行） ∴∠A=∠BFD（两直线平行，内错角相等） ∵∠A=∠D（已知） ∴∠D=∠BFD（等量代换） ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） ∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等） 【点睛】本题考查的是对顶角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用平行线的判定与 性质进行证明是解本题的关键． 【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）阅读并完成下面的证明 过程： 已知：如图，AB∥EF，∠1=∠2，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，求证： BE⊥CE． 证明：∵BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD． ∴∠ABE=∠EBC=1 2 ∠ABC ∠2=¿________¿ 1 2 ∠BCD（角平分线定义） 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠ECD（ ） ∴EF ∥CD（ ） 又∵AB∥EF（已知） ________________ ∴ （ ） ∴∠ABC+∠BCD=180°（ ） ∴∠ABE+∠2=1 2 (∠ABC+∠BCD )=90°， 又∵AB∥EF， ∴∠ABE=∠BEF（ ） ∴∠BEF+∠1=90°， ∴∠BEC=90°， ∴BE⊥CE（ ） 1 【答】∠ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行；AB∥CD；如果两条直线都与第 三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行， 内错角相等；垂直定义． 【分析】根据平行线的性质、平行线的判定以及垂直的定义进行分析即可解答． 【详解】证明：∵BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD． ∴∠ABE=∠EBC=1 2 ∠ABC ∠2=¿ ∠ECD ¿ 1 2 ∠BCD（角平分线定义） 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠ECD（等量代换） ∴EF ∥CD（内错角相等，两直线平行） 又∵AB∥EF（已知） ∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ∴∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠ABE+∠2=1 2 (∠ABC+∠BCD )=90°， 又∵AB∥EF， ∴∠ABE=∠BEF（两直线平行，内错角相等） ∴∠BEF+∠1=90°， ∴∠BEC=90°， ∴BE⊥CE（垂直定义）． 故答为：∠ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行；AB∥CD；如果两条直线都与 第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行， 内错角相等；垂直定义． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识点，灵活运用平行线的 判定与性质是解答本题的关键． 【变式2-2】（2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中）完成下面证明过程并写出推理根据： 已知：如图所示，∠BAP与∠APD互补， 1= ∠ ∠2． 求证：∠E= ∠F． 1 证明：∵∠BAP与∠APD互补（已知）， 即∠BAP+ ∠APD=180°， ____________ ∴ ∥_____________（_____________________）， ∴∠BAP= ∠APC（_____________________）． 又∵ 1= ∠ ∠2， ∴∠BAP- 1= ∠ ∠ APC - 2 ∠（等式的性质）， 即 3= 4 ∠ ∠ ， ____________ ∴ ∥_____________（_____________________）， ∴∠E= ∠F（_____________________）． 【答】AB；CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；AE；FP；内 错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】根据平行线的判定与性质，结合图形完成填空即可求解． 【详解】∵∠BAP与∠APD互补（已知）， 即∠BAP+ ∠APD=180°， ∴AB ∥ CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠BAP= ∠APC（两直线平行，内错角相等）． 又∵ 1= ∠ ∠2， ∴∠BAP- 1= ∠ ∠ APC - 2 ∠（等式的性质）， 即 3= 4 ∠ ∠ ， ∴AE ∥ FP（内错角相等，两直线平行）， ∴∠E= ∠F（两直线平行，内错角相等） 故答为：AB；CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；AE；FP； 内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定进行证明，掌握平行线的性质与判定是解题的关 键． 【变式2-3】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）推理填空：完成下面的证明过程 如图，已知∠1+ 2=180° ∠ ，∠B=∠DEF，求证：DE∥B 证明：∵∠1+ 2=180° ∠ （ ） 2= 3 ∠ ∠（_______________________________） 1+ 3=180° ∴∠ ∠ ______ ∴ ∥______（_____________________________） ∴∠B=______（________________________________） ∵∠B=∠DEF（已知） 1 ∴∠DEF=_______ （_______________________） ∴DE∥B（ ） 【答】已知；对顶角相等； B； EF；同旁内角互补，两直线平行；∠EF；两直线平行，同 位角相等；∠EF；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】由于∠1＋∠2＝180°，∠2＝∠3，则∠1＋∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平 行得到B∥EF，则利用平行线的性质得∠B＝∠FE，由于∠B＝∠DEF，所以∠DEF＝∠FE， 于是根据平行线的判定得到DE∥B 【详解】证明：∵∠1＋∠2＝180°（ 已知） 2 ∠＝∠3（对顶角相等） 1 ∴∠＋∠3＝180° ∴B∥EF（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠B＝∠EF（两直线平行，同位角相等） ∵∠B＝∠DEF（已知） ∴∠DEF＝∠EF （等量代换） ∴DE∥B（内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两 直线平行；两直线平行，同位角相等．掌握平行线的判定与性质是解题的关键 【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】 【例3】（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期末）如图，含有30°角的直角三角板的两个顶 点E、F放在一个长方形的对边上，点E为直角顶点，∠EFG=30°，延长EG交CD于点 P，如果∠3=65°，那么∠2的度数是（ ） ．100° B．105° ．115° D．120° 【答】 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到∠1=25°，根据平角的定义得到∠EF=90°- 1=65° ∠ ， 1 根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠D=90°，∠3=65°， 1=25° ∴∠ ， ∵∠FEG=90°， ∴∠EF=90°- 1=65° ∠ ， ∵D∥B， 2=180°- ∴∠ ∠EF=115°， 故选：． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余和平行线的性质，关键是得出∠EF 与∠2 互补． 【变式3-1】（2022·浙江·金华市第四中学九年级阶段练习）将一直角三角板与两边平行的 纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠2；（3） ∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正确的个数是( ) ．1 B．2 ．3 D．4 【答】D 【分析】根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊 性解答． 【详解】解：∵纸条的两边平行， ∴（1）∠1= 2 ∠（两直线平行，同位角相等）； （2）∠3= 4 ∠（两直线平行，内错角相等）； （4）∠4+ 5=180° ∠ （两直线平行，同旁内角互补）均正确； 又∵直角三角板与纸条下线相交的角为90°， ∴（3）∠2+ 4=90° ∠ ，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角 是正确答题的关键． 【变式3-2】（2022·山东青岛·七年级期中）将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中 ∠ABC=30°，A，B两点分别落在直线m、n上，∠1=20°，添加下列哪一个条件可使 直线m∥n（ ） 1 ．∠2=20° B．∠2=30° ．∠2=45° D．∠2=50° 【答】D 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：由平行线的判定可知，当∠2＝∠B＋∠1 时，m∥n， 即∠2＝∠B＋∠1＝30°＋20°＝50°， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【变式3-3】（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边D 与 直角边B 相交于点F，斜边DE∥BC，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠FB 的度数是（ ） ．95° B．115° ．105° D．125° 【答】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠D=45°，再由平行线的性质得出 ∠BCF=45°，再由三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】∵ΔCDE是直角三角形，∠E＝45°， ∴∠D=45°， ∵ DE∥BC， ∴∠BCF=∠D=45°， ∵∠B+∠BCF+∠BFC=180° ,∠B=30°， ∴∠CFB=105°， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质及三角形的内角和定理，熟练 掌握知识点是解题的关键． 【