专题9.1 不等式及不等式的基本性质【十大题型】（原卷版）

专题91 不等式及不等式的基本性质【十大题型】 【人版】 【题型1 不等式的概念及意义】.............................................................................................................................1 【题型2 取值是否满足不等式】.............................................................................................................................2 【题型3 根据实际问题列出不等式】.....................................................................................................................2 【题型4 在数轴上表示不等式】.............................................................................................................................2 【题型5 利用不等式的性质判断正误】................................................................................................................. 3 【题型6 利用不等式性质比较大小】.....................................................................................................................4 【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】.........................................................................................................5 【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】.....................................................................................................6 【题型10 不等关系的简单应用】............................................................................................................................6 【知识点1 认识不等式】 定义：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不 等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式 【题型1 不等式的概念及意义】 【例1】（2022 春•郏县期中）在数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3； ④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3 中，不等式有（ ） ．1 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【变式1-1】（2022 春•苍溪县期末）下列式子是不等式的是（ ） ．x+4y＝3 B．x ．x+y D．x 3 ﹣＞0 【变式1-2】（2022 春•平泉市期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量 ≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（ ） ．3%以上 B．615g ．615g 及以上 D．不足615g 【变式1-3】（2022 春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45 座和30 座两种型号的 客车，若租用45 座客车x 辆，租用30 座客车y 辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实 际意义是 ． 【题型2 取值是否满足不等式】 【例2】（2022 春•卧龙区期中）下列数值﹣2、﹣15、﹣1、0、1、15、2 中能使1 2 ﹣x＞0 成立的个数有 个． 【变式2-1】（2022 春•泸县期末）x＝3 是下列哪个不等式的解（ ） 1 ．x+2＜4 B．1 3x＞3 ．2x 1 ﹣＜3 D．3x+2＞10 【变式2-2】（2022 春•雁塔区校级期中）下列x 的值中，是不等式x＞2 的解的是（ ） ．﹣2 B．0 ．2 D．3 【变式2-3】（2022 春•夏津县期中）请写出满足下列条件的一个不等式． （1）0 是这个不等式的一个解： ； （2）﹣2，﹣1，0，1 都是不等式的解： ； （3）0 不是这个不等式的解： 【题型3 根据实际问题列出不等式】 【例3】（2022 春•川汇区期末）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超 重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300 公斤 时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40 公斤，50 公斤，若小丽进入电梯前，电 梯内已乘载的重量为x 公斤，则所有满足题意的x 可用下列不等式表示的是（ ） ．210＜x≤260 B．210＜x≤300 ．210＜x≤250 D．250＜x≤260 【变式3-1】（2022•南京模拟）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是 25℃，最高气温是32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（ ） ．t＜32 B．t＞25 ．t＝25 D．25≤t≤32 【变式3-2】（2022 春•玉田县期末）用不等式表示“是负数”应表示为 ． 【变式3-3】（2022 秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次 服用药品的剂量设为x，则x 的取值范围是 ． 【题型4 在数轴上表示不等式】 【例4】（2022•嘉善县模拟）数轴上所表示的关于x 的不等式组的解集为 ． 【变式4-1】（2022 春•永丰县期中）不等式x≥的解集在数轴上表示如图所示，则＝ ． 【变式4-2】（2022 秋•衢州期中）在数轴上表示下列不等式 （1）x＜﹣1 （2）﹣2＜x≤3． 【变式4-3】（2022•防城港模拟）在数轴上表示﹣2≤x＜1 正确的是（ ） 1 ． B． ． D． 【知识点2 不等式的基本性质】 性质1：若＜b，b＜，则＜这个性质叫做不等式的传递性 性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 若＞b，则±＞b± 性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 若＞b，＞0，则＞b，a c ＞b c ; 若＞b，＜0，则＜b，a c ＜b c 【题型5 利用不等式的性质判断正误】 【例5】（2022 春•雁塔区校级期中）如果有理数＜b，那么下列各式中，不一定成立的是 （ ） ．3﹣＞3﹣b B．2＜b ．2＜2b D．−a 3 ＞−b 3 【变式5-1】（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是（ ） ．若＞b，≠0，则＞b B．若b＜0，则＞0，b＜0 ．若＞0，b＜0，则b＜0 D．若a b ＞1，则＞b 【变式5-2】（2022 春•大埔县期末）下列结论正确的有 （填序号）． ①如果＞b，＜d，那么﹣＞b﹣d；②如果＞b，那么a b ＞1；③如果＞b，那么1 a ＜1 b ； ④如果a c 2 ＜b c 2，那么＜b． 【变式5-3】（2022 春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打 “×”）． （1）若 b 3 ﹣＜0，则b＜3； 1 （2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4； （3）若＞b，则 2＞b2； （4）若2＞b2，则＞b； （5）若＞b，则 （2+1）＞b（2+1） （6）若＞b＞0，则1 a ＜1 b ． ． 【题型6 利用不等式性质比较大小】 【例6】（2022 春•闵行区期中）如果7x＜4 时，那么7x 3 ﹣ 1．（填“＞”， “＝”，或“＜”）． 【变式6-1】（2022 春•辉县市期中）若＜b，用“＞”或“＜”填空 （1）﹣4 b 4 ﹣ （2）a 5 b 5 （3）﹣2 ﹣2b． 【变式6-2】（2022 春•饶平县校级期末）要比较两个数、b 的大小，有时可以通过比较﹣b 与0 的大小来解决： （1）如果﹣b＞0，则＞b； （2）如果﹣b＝0，则＝b； （3）如果﹣b＜0，则＜b． 若x＝22+3b，y＝2+3b 1 ﹣，试比较x、y 的大小． 【变式6-3】（2022 春•濉溪县期中）如果＞b，那么（﹣b） b（﹣b）（填“＞”或 “＜”） 【题型7 利用不等式性质化简不等式】 【例7】（2022 秋•余杭区期中）利用不等式的性质解不等式：﹣5x+5＜﹣10． 【变式7-1】（2022 秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞或x＜的形式． （1）2x+5＞3； （2）﹣6（x 1 ﹣）＜0． 【变式7-2】（2022 秋•余杭区期中）试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞或x ＜的形式（为常数）． （1）1 3x＞−2 3x 2 ﹣（2）1 2x≤1 2（6﹣x） 【变式7-3】（2022 秋•湖州期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x＞或x＜的形式． （1）x+7＞9 （2）6x＜5x 3 ﹣ 1 （3）1 5 x＜2 5． 【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】 【例8】（2022 春•西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题： 【问题背景】 小明在学习完不等式的性质之后，思考： “如何利用不等式的性质1 和2 证明不等式的性质3 呢？” 在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式： ①已知：＞b，＜0． 求证：＜b． ②已知：＞b，＜0． 求证：a c ＜b c ． 【问题探究】 （1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据： ∵＜0，即是一个负数 ∴的相反数是正数，即﹣＞0 ∵＞b • ∴（﹣）＞b•（﹣）（依据： ） 即﹣＞﹣b 不等式的两端同时加（+b）可得： + ﹣（+b）＞﹣b+（+b）（依据： ） 合并同类项可得：b＞ 即：＜b 得证． （2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明． 【变式8-1】（2022 春•武侯区期末）求证：如果＞b，e＞f，＞0，那么f﹣＜e﹣b． 【变式8-2】（2022 春•江西期末）已知：b＜，1＜＜b+＜+1，求证：b＜． 【变式8-3】（2022 春•夏津县期中）已知实数，b，满足：+b+＝0，＞0，3+2b+＞0． 求证：（1）＞； （2）﹣2＜b a ＜−¿1． 【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】 【例9】（2022 春•龙凤区期中）已知实数x，y，z 满足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥ 2 ﹣y，则 x+y+z 的最大值为（ ） 1 ．3 B．4 ．5 D．6 【变式9-1】（2022 春•郫都区校级期中）若x＜y，且（6﹣）x＞（6﹣）y，则的取值范围 是 ． 【变式9-2】（2022•天门校级自主招生）已知正数、b、满足2+2＝16，b2+2＝25，则k＝ 2+b2的取值范围为 ． 【变式9-3】（2022 春•朝阳区校级期中）已知，b，为整数，且+b＝2006，﹣＝2005，若 ＜b，求+b+的最大值． 【题型10 不等关系的简单应用】 【例10】（2022 春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字为，十位上的数字为 b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数， 那么与b 哪个大？ 【变式10-1】（2022 春•巩义市期末）如图所示，，B，，D 四人在公玩跷跷板，根据图中 的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ） ．D＜B＜＜ B．B＜D＜＜ ．B＜＜D＜ D．B＜＜D＜ 【变式10-2】（2022 春•兰山区期末）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较 两数大小的方法：若﹣b＞0，则＞b；若﹣b＝0，则＝b；若﹣b＜0，则＜b．反之也成 立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有 两种用料方，方一：用4 块型钢板，8 块B 型钢板；方二：用3 块型钢板，9 块B 型钢板． 每块型钢板的面积比每块B 型钢板的面积小．方一总面积记为S1，方二总面积记为S2， 则S1 S2（填“＞，＜或＝”）． 【变式10-3】（2022•苏州自主招生）5 名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列， 设前三名的平均身高为米，后两名的平均身高为b 米．又前两名的平均身高为米，后三 名的平均身高为d 米，则（ ） ．a+b 2 ＞c+d 2 B．c+d 2 ＞a+b 2 ．c+d 2 =a+b 2 D．以上都不对 1