专题27.4 相似三角形的性质【十大题型】（原卷版）

专题274 相似三角形的性质【十大题型】 【人版】 【题型1 利用相似三角形的性质求角度】........................................................................................................................2 【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】................................................................................................................2 【题型3 利用相似三角形的性质求面积】........................................................................................................................3 【题型4 利用相似三角形的性质求周长】........................................................................................................................4 【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】................................................................................................4 【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】....................................................................................6 【题型7 尺规作图作相似三角形】....................................................................................................................................7 【题型8 在格中画与已知三角形相似的三角形】............................................................................................................8 【题型9 新定义中的相似三角形】....................................................................................................................................9 【题型10 相似与函数综合探究】.....................................................................................................................................11 【知识点1 相似三角形的性质】 ①相似三角形的对应角相等． 如图， ，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图， ，则有 （ 为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线 成比例，都等于相似比． 如图， ∽ ， 和 是 中 边上的中线、高线和角平分线， 、 和 是 中 边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图， ∽ ，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图， ∽ ，则有 1 【题型1 利用相似三角形的性质求角度】 【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知△B~△DEF，若∠=50°，∠E=70°，则 ∠F 的度数为（ ） ．30° B．60° ．70° D．80° 【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△B∽△D，∠B ＝31°，∠D＝117°，则∠BD 的度数是（ ） ．32° B．48° ．64° D．86° 【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在正方形格上有两个相似三角形△ABC 和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ） ．135° B．90° ．60° D．45° 【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）如图，点A、B、C、D四点共线，ΔPBC是等 边三角形，当ΔPAB∼ΔDPC时，∠APD的度数为（ ） ．120° B．100° ．110° D．125° 【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】 【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，E是 AD的中点，在CD上取一点F，使△CBF∽△ABE，则DF的长是（ ） 1 ．8.2 B．6.4 ．5 D．1.8 【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△B∽△DEF，相似比为1 2 ∶，若B＝1， 则EF 的长是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【变式2-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知△ABC ∽△≝¿，△ B 的三边长分别为❑ √2， ❑ √14，3，△ DEF 的其中的两边长分别为1 和❑ √7，则第三边长为______． 【变式2-3】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中x=¿___． 【题型3 利用相似三角形的性质求面积】 【例3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）若△ABC ∽△≝¿，△ABC与△≝¿的面积比 为25:36，则△ABC与△≝¿的对应边的比是（ ） ．5:6 B．6:5 ．25:36 D．36:25 【变式3-1】（2022·河南新乡·九年级期末）△ABC与△A ' B 'C '的位似比是1:2，已知 △ABC的面积是3，则△A ' B 'C '的面积是（ ） ．3 B．6 ．9 D．12 【变式3-2】（2022·河北石家庄·九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的3 倍， 则它的面积扩大为原来的__________倍． 【变式3-3】（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝ 3，B＝5，点D 是线段B 上一动点，连结D，以D 为边作△DE，使△DE∽△B，则△DE 的最 小面积等于______． 1 【题型4 利用相似三角形的性质求周长】 【例4】（2022·湖南株洲·九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个 与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（ ） ．42 5 B．84 5 ．21 D．28 【变式4-1】（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为1 的正方形组成 的络，△B 与△1B11都是格点三角形（顶点在格交点处），并且△B∽△1B11，则△B 与△1B11的周 长之比是（ ） ．1：2 B．1：4 ．2：3 D．4：9 【变式4-2】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知△ABC ∽△≝¿，其中 AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么△≝¿的周长是______． 【变式4-3】（2022·辽宁鞍山·二模）已知△ABC ∽△A ' B 'C '，且AB=2 A ' B '．若 △ABC的周长是18cm，那么△A ' B 'C '的周长是________m． 【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】 【例5】（2022·北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知AE平分∠BAC，AB AD = AE AC ． (1)求证：∠E=∠； (2)若B=9，D=5，D=3，求BE 的长． 【变式5-1】（2022·上海·测试·编辑研五八年级期末）如图，在△ABC中，点D、点E分别 1 在AC、AB上，点P是BD上的一点，联结EP并延长交AC于点F，且 ∠A=∠EPB=∠ECB． (1)求证：BE⋅BA=BP⋅BD； (2)若∠ACB=90°，求证：CP⊥BD． 【变式5-2】（2022·山东·东平县江河国际实验学校二模）如图，点D，E 分别在△B 的边 B，上，连接D，DE． （1）若∠= BD ∠ ，B=5，求BD·B 的值； （2）若点E 是的中点，D=❑ √2E， 求证：∠1=∠． 【变式5-3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在△B 中，D、E、F 分别是边，B，B 上的点， DE∥B，DF∥B． (1)求证：∠B=∠EDF． (2)若F＝1 3B，求S△DFC S△AED 的值． 【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】 【例6】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知△ADE的顶点E 在△ABC的边B 上， DE 与B 相交于点F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC． 1 (1)若AF=BF=4，求E； (2)求证：DF DE =CE CB ． 【变式6-1】（2022·江苏·九年级专题练习）已知矩形BD 的一条边D＝8，将矩形BD 折叠， 使得顶点B 落在D 边上的P 点处．如图，已知折痕与边B 交于点，连接P、P、． （1）求证：OC PD =OP AP ； （2）若P 与P 的比为1：2，求边B 的长． 【变式6-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在ΔABC中，AB=AC，D是边BC的 延长线上一点，E是边AC上一点，且∠EBC=∠D． 求证：CE AB = BC BD ； 【变式6-3】（2022·湖南益阳·九年级期末）如图，在△B 中，∠B＝90°，D 是B 边上的高， E 是B 边上的一个动点（不与B，重合），EF⊥B，EG⊥，垂足分别为F，G． 1 (1)求证：EG AD =CG CD ； (2)FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； 【题型7 尺规作图作相似三角形】 【例7】（2022·山东烟台·八年级期末）尺规作图：如图，已知△ABC，且AB> AC． （只保留作图痕迹，不要求写出作法） (1)在AB边上求作点D，使DB=DC； (2)在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB． 【变式7-1】（2022·山东济宁·二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90° ,BD平分 ∠ABC． (1)求作△CDE使点E 在BC上，且△CDE∽△CBD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹， 不写作法） (2)在（1）的条件下，若BA=❑ √3,∠ABC=60°，求CE长． 【变式7-2】（2022·陕西宝鸡·一模）如图，在等腰△B 中，B＝，点D 是边上一定点．请用 尺规作图法在B 上求作一点P，使得△B∽△PD．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式7-3】（2022·江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）如图，在四边形BD 中，∠= ∠B． 1 (1)请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： ① 过点D 作B 的平行线交B 于点F； ② P 为B 边上的一点，且△DP∽△PB，请找出所有满足条件的点； (2)在（1）的条件下，若D＝2，B＝3，B＝6，则P＝ ． 【题型8 在格中画与已知三角形相似的三角形】 【例8】（2022·安徽合肥·二模）如图是由边长为1 的小正方形组成的格，、B、、D 四点均 在正方形格的格点上，线段B、D 相交于点． (1)请在格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“∽”符 号写出这对相似三角形： (2)线段的长为______． 【变式8-1】（2022·河南南阳·九年级期末）（1）如图，△B 的三个顶点都在方格纸的格点 上．在方格纸内画△A ' B 'C '，使△A ' B 'C '∽△ABC，相似比为2:1，且顶点都在格点上． （2）△A ' B 'C '的面积是______． 【变式8-2】（2022·浙江温州·九年级专题练习）请在如图所示的格中，运用无刻度直尺作 图（保留作图痕迹） 1 (1)在图1 中画出线段AB的中垂线 (2)如图2，在线段AB上找出点C，使AC :CB=1:2． 【变式8-3】（2022·浙江温州·九年级期中）如图，在8×8 的方格中，△B 的三个顶点都在 小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上． (1)请在图1 中画一个三角形，使它与△B 相似，且相似比为2：1 (2)请在图2 中画一个三角形，使它与△B 相似，且面积比为2：1 【题型9 新定义中的相似三角形】 【例9】（2022·陕西渭南·九年级期末）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形， 如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角 线”． (1)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=70°，AB=AD，AD∥BC，当 ∠ADC=145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”； (2)如图2，四边形ABCD中，CA平分∠BCD，BC=3，CD=2，对角线AC是四边形 ABCD的“理想对角线”，求AC的长． 1 【变式9-1】（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短 边的2 倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△B 中，点F 在边上，D 是边B 上 的一点，B＝BD，点，D 关于直线l 对称，且直线l 经过点F． （1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，△B 是“和谐三角形”，三边长B，，B 分别，b，，且满足下列两个条件： ≠2b，和2＋42＝4＋﹣b 1 ﹣． ①求，b 之间的等量关系； ②若E 是△BD 的中线．求证：△E 是“和谐三角形”． 【变式9-2】（2022·江苏常州·九年级期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三 角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为 这个三角形的“形似线段”． (1)在△B 中，∠=30． ①如图1，若∠B=100°，请过顶点画出△B 的“形似线段”M，并标注必要度数； ②如图2，若∠B =90°，B=1，则△B 的“形似线段”的长是 ． (2) 如图3，在DEF 中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG 是DEF 的“形似线段”，求 EG 的长． 【变式9-3】（2022·安徽合肥·二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2 倍， 那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一 个角的2 倍，所以我们就可以通过作出其中的2 倍角的角平分线，得出一对相似三角形， 再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题： 1 (1)如图1，△B 中，D 是角平分线，且A B 2=BD⋅BC，求证：△B 是倍角三角形； (2)如图2，已知△B 是倍角三角形，且∠A=2∠C，AB=8，BC=10，求的长； (3)如图3，已知△B 中，∠A=3∠C，AB=8，BC=10，求的长． 【题型10 相似与函数综合探究】 【例10】（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，Rt△B 中，∠＝90°，B＝10，＝8．点D 是 线段上的一点，点E 在射线B 上且∠DE＝∠B． (1)求B 的长； (2)若D＝x，△DE 的面积与△B 重合部分的面积是y，求y 关于x 的函数解析式，并直接写 出自变量x 的取值范围． 【变式10-1】（2022·全国·九年级）如图，B⊥BD，D⊥BD，B、D 分别为垂足． (1)已知：∠P＝90°，求证：△BP∽△PD． (2)已知：B＝2，D＝3，BD＝7，点P 是线段BD 上的一动点，若使点P 分别与、B 和、D 构成的两个三角形相似，求线段PB 的值． (3)已知：B＝2，D＝3，点P 是直线BD 上的一动点，设PB＝x，BD＝y，使点P 分别与、B 和、D 构成的两个三角形相似，求y 关于x 的函数解析式． 【变式10-2】（2022·广东茂名·二模）如图，在矩形B 中，OA=3，AB=4，反比例函数 1 y= k x (k>0)的图像与矩形的边B、B 分别交于点D、E，且BD=2 AD． (1)求点D 的坐标及k 的值； (2)点P (m,0) (m>2)是线段上的一个动点，当△AOP∽△PCE时，求BP 的长． 【变式10-3】（2022·四川成都·三模）已知：如图，菱形BD 中，对角线，且＝12m，BD＝ 16m．点P 从点B 出发，速度为1m/s；同时，点Q 沿DB 方向匀速运动，速度为1m/s，且 与D，BD，Q，F；当直线EF 停止运动时，点P 也停止运动．连接PF（s）（0＜t＜8）． 解答下列问题： (1)当t 为何值时，四边形PFD 是平行四边形？ (2)设四边形PFE 的面积为y（m2），求y 与t 之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使S 四边形PFE：S 菱形BD＝17：40？若存在，求出t 的值，并求出此 时PE 的长度；若不存在，请说明理由． 1