专题15.2 分式的运算【十大题型】（原卷版）

专题152 分式的运算【十大题型】 【人版】 【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】................................................................................................................. 2 【题型2 分式的加减混合运算】.............................................................................................................................2 【题型3 整式与分式的相加减运算】.....................................................................................................................3 【题型4 分式加减的实际应用】.............................................................................................................................3 【题型5 比较分式的大小】.....................................................................................................................................4 【题型6 分式的混合运算及化简求值】................................................................................................................. 4 【题型7 分式中的新定义问题】.............................................................................................................................5 【题型8 分式运算的规律探究】.............................................................................................................................6 【题型9 整数指数幂的运算】.................................................................................................................................8 【题型10 科学计数法表示小数】............................................................................................................................8 【知识点1 分式的乘除法法则】 分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似： 1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： a b × c d = ac bd 2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：a b ÷ c d =a b × d c =ad bc 3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。（a b ） n =a n b n 4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号 中的，在算括号外的。 注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式 【知识点2 分式的加减法则】 1）同分母分式：分母不变，分子相加减a c ± b c =a±b c 2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减a b ± d c =ac bc ± bd bc =ac±bd bc 注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;②运算顺序中，加减运算等级较低。若 混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。 1 【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】 【例1】（2022·全国·八年级课时练习）( a+b a−b) 2 ÷( a+b a−b) 2 × a+b a−b 的结果是（ ） ．a−b a+b B．a+b a−b ．( a+b a−b) 2 D．1 【变式1-1】（2022·全国·八年级课时练习）（1）−n 2 2m ⋅4 m 2 5n 3 =¿________； （2）( a 2 −b ) 5 ⋅( b 2 −a ) 6 ⋅( 1 ab ) 7 =¿________； （3）(−3ab 3c 2) 2÷(−3b 2c a ) 3 =¿________； （4）(−y 2 x ) 2 ⋅(−3 x 2 y ) 3 ÷(−3 x 2ay ) 2 =¿________； （5）( c 3 a 2b ) 2 ÷( c 4 a 3b ) 2 ÷( a c ) 4 =¿________． 【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）[ −a 7b 2 3(a+b)]⋅(a 2−b 2) 4 a 2 ÷[ a 2(b−a) 2 ] 3 【变式1-3】（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知，b，，d，x，y，z，是互不相等的非 零实数，且 a 2b 2 a 2 y 2+b 2 x 2= b 2c 2 b 2 z 2+c 2 y 2= c 2d 2 c 2w 2+d 2 z 2= abcd xyzw ，则a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 + d 2 w 2的值为_ _____ ． 【题型2 分式的加减混合运算】 【例2】（2022·浙江杭州·九年级专题练习）对于任意的x 值都有2 x+7 x 2+x−2 = M x+2 + N x−1， 则M，值为（ ） ．M＝1，＝3 B．M＝﹣1，＝3 ．M＝2，＝4 D．M＝1，＝4 【变式2-1】（2022·上海市久隆模范中学七年级期中）计算： 2 y 2+3 y+2 y+1 −y 2−y−5 y+2 −3 y 2−4 y−5 y−2 + 2 y 2−8 y+5 y−3 【变式2-2】（2022·全国·中考模拟）计算下列各式： （1） 1 a−b + 1 a+b + 2a a 2+b 2 + 4 a 3 a 4+b 4 ； （2） x 2+ yz x 2+( y−z)x−yz + y 2−zx y 2+( z+x) y+zx + z 2+xy z 2−( x−y)z−xy ； （3） x 3−1 x 3+2 x 2+2 x+1 + x 3+1 x 3−2 x 2+2 x−1 −2( x 2+1) x 2−1 1 （4） ( y−x)( z−x) ( x−2 y+z)( x+ y−2 z)+ ( z−y)( x−y) ( x+ y−2 z)( y+z−2 x)+ ( x−z)( y−z) ( y+z−2 x)( x−2 y+z) ． 【变式2-3】（2022·河南省淮滨县第一中学八年级期末）已知实数x，y，z 满足1 x+ y + 1 y+z + 1 z+x ＝7 6，且 z x+ y + x y+z + y z+x ＝11，则x+y+z 的值为（ ） ．12 B．14 ．72 7 D．9 【题型3 整式与分式的相加减运算】 【例3】（2022·贵州铜仁·八年级期末）计算：1 1−x −1−x的结果是________． 【变式3-1】（2022·山东临沂·中考模拟）化简：（+2+ 5 2−a）⋅2a−4 a+3 =_______． 【变式3-2】（2022·福建福州·八年级期末）已知：P=x+1，Q= 4 x x+1． (1)当x>0时，判断P-Q 与0 的大小关系，并说明理由； (2)设y= 3 P −Q 2 ，若x 是整数，求y 的整数值． 【变式3-3】（2022·河北·中考真题）由( 1+c 2+c −1 2)值的正负可以比较A=1+c 2+c 与1 2的大小， 下列正确的是（ ） ．当c=−2时，A=1 2 B．当c=0时，A ≠1 2 ．当c←2时，A> 1 2 D．当c<0时，A< 1 2 【题型4 分式加减的实际应用】 【例4】（2022·全国·八年级单元测试）某飞行器在相距为m 的甲、乙两站间往返飞行．在 没有风时，飞行器的速度为v，往返所需时间为t1；如果风速度为p (0< p<v )，则飞行器顺 风飞行速度为(v+ p)，逆风飞行速度为(v−p)，往返所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为 （ ） ．t1<t2 B．t1≤t2 ．t1≥t2 D．无法确定 【变式4-1】（2022·全国·八年级单元测试）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下 方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价 为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为ma+nb m+n （平均 价）．现有甲乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10 千克A种 糖和10 千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由100 元A种糖和100 元B种糖混合而成．你认 1 为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究： (1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为x甲和x乙（用a、b的代数式 表示）； (2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将x甲与x乙进行作差比较，即计算 x甲−x乙的差与0 比较来确定大小； (3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油 价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200 元）．选择哪种方式？请简要 说明理由． 【变式4-2】（2022·浙江杭州·七年级期末）甲､乙两人同时从地出发到B 地，距离为100 千 米． （1）若甲从地出发，先以20 千米/小时的速度到达中点，再以25 千米/小时的速度到达B 地，求走完全程所用的时间． （2）若甲从地出发，先以1 2 V 千米/小时的速度到达中点，再以2V 千米/小时的速度到达B 地．乙从地出发到B 地的速度始终保持V 千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B 地? （3）若甲以千米/时的速度行走x 小时，乙以b 千米/时的速度行走x 小时，此时甲距离终 点为(100−ax )千米，乙距离终点为(100−bx )千米．分式100−ax 100−bx 对一切有意义的x 值都 有相同的值，请探索，b 应满足的条件． 【变式4-3】（2022·重庆·模拟预测）一个自然数能分解成A ×B，其中，B 均为两位数，的 十位数字比B 的十位数字大1，且，B 的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解 数”． 例如：∵4819=79×61，7 比6 大1，1+9=10，∴4819 是“分解数”； 又如：∵1496=44×34，4 比3 大1，4+4≠10，∴1496 不是“分解数”． (1)判断325，851 是否是“分解数”，并说明理由； (2)自然数M=A ×B为“分解数”，若的十位数字与B 的个位数字的和为P (M )，的个位数 字与B 的十位数字的和F (M )，令G (M )= P (M ) F (M )，当G (M )为整数时，则称M 为“整分解 数”．若B 的十位数字能被2 整除，求所有满足条件的“整分解数”M． 【题型5 比较分式的大小】 【例5】（2022·全国·七年级单元测试）设M= y+1 x+1 ，N= y x ，当x> y>0时，M和N的大 小关系是（ ） ．M >N B．M=N ．M <N D．不能确定 1 【变式5-1】（2022·河北秦皇岛·八年级期末）已知n>1，M= n n−1，N=n−1 n ， P= n n+1，则M 、N 、P的大小关系为_____________． 【变式5-2】（2022·全国·九年级竞赛）已知x，y，z是三个互不相同的非零实数，设 a=x 2+ y 2+z 2，b=xy+ yz+zx，c= 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2，d= 1 xy + 1 yz + 1 zx ．则a与b的大小关系 是_______；c与d的大小关系是______． 【变式5-3】（2022·内蒙古·呼和浩特市国飞中学八年级期末）若＞0，M=a+1 a+2，=a+2 a+3． （1）当=3 时，计算M 与的值； （2）猜想M 与的大小关系，并证明你的猜想． 【题型6 分式的混合运算及化简求值】 【例6】（2022·天津东丽·八年级期末）计算 （1）4 a 3b ⋅b 2a 4 ÷( 1 a) 2 （2）a a−1 ÷ a 2−a a 2−1 − 1 a−1 【变式6-1】（2022·广东惠州·模拟预测）先化简，再求值：1﹣x−2 y x+ y ÷ x 2−4 xy+4 y 2 x 2−y 2 ， 其中x＝﹣2，y＝1 2． 【变式6-2 】（2022· 江苏· 南京玄武外国语学校八年级期中）已知分式  (a+1− 3 a−1 )÷ a 2−4 a+4 a−1 （1）化简这个分式； （2）当 ＞2 时，把分式 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式 B 的 值较原来分式 的值是变大了还是变小了？试说明理由； （3）若 的值是整数，且 也为整数，求出符合条件的所有 值的和． 【变式6-3】（2022·全国·八年级单元测试）已知 x , y 为整数，且满足 ( 1 x + 1 y)( 1 x 2 + 1 y 2)=−2 3 ( 1 x 4−1 y 4) ，求 x+ y 的值． 【题型7 分式中的新定义问题】 【例7】（2022·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为 常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： 1 x+1 x−1= x−1+2 x−1 = x−1 x−1 + 2 x−1=1+ 2 x−1，则x+1 x−1是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①x+3 3 ② x−5 x ③ x−1 x+2 ④x+1 x 2 (2)请将“和谐分式” x 2+6 x+3 x+3 化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写 出化简过程； (3)应用：先化简(x−x x+1)÷ x 2−3 x x 2−9 ⋅x+1 x 2+6 x ，并求x 取什么整数时，该式的值为整数． 【变式7-1】（2022·江苏·八年级）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个 分式互为“n阶分式”，例如分式3 x+1与3 x 1+x 互为“3 阶分式” （1）分式10 x 3+2 x 与 互为“5 阶分式”； （2）设正数x , y互为倒数，求证：分式2 x x+ y 2与2 y y+x 2互为“2 阶分式”； （3）若分式 a a+4 b 2与 2b a 2+2b 互为“1 阶分式”（其中a,b为正数），求ab的值 【变式7-2】（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）定义：若分式M与分式 N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如1 x+1与 1 x+2，因为1 x+1−1 x+2= 1 (x+1) (x+2)，1 x+1 × 1 x+2= 1 (x+1) (x+2)，所以1 x+2是1 x+1 的“关联分式”． (1)已知分式 2 a 2−1，则 2 a 2+1______ 2 a 2−1的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式 1 x 2+ y 2的“关联分式”时，用了以下方法： 设 1 x 2+ y 2的“关联分式”为N，则 1 x 2+ y 2−N= 1 x 2+ y 2 × N， ∴( 1 x 2+ y 2 +1)N= 1 x 2+ y 2， ∴N= 1 x 2+ y 2+1 ． 请你仿照小明的方法求分式a−b 2a+3b的“关联分式”． 1 (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式y x 的“关联分式”：______； ②用发现的规律解决问题： 若4 n−2 mx+m是4 m+2 mx+n 的“关联分式”，求实数m，n的值． 【变式7-3】（2022·江西南昌·八年级期末）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称 这两个分式互为“和分式”．例如：5 x+1 + 5 x x+1=5，我们称两个分式5 x+1与5 x x+1互为 “5 和分式”．解答下列问题： （1）分式4 x+1与分式________互为“4 和分式”； （2）分式2 x x+ y 与分式2 y x+ y 互为“________和分式”； （3）已知xy=1，两个分式1 x+1与1 y+1是否是“和分式”？如果是，请求出的值；如果 不是，请说明理由； （4）若分式3 x x+ y 2与3 y x 2+ y 互为“3 和分式”（其中x，y 为正数），求xy的值． 【题型8 分式运算的规律探究】 【例8】（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）对于正数x，规定f（x）＝1 1+x ，例如：f（3）＝1 1+3= 1 4 ，f（1 3）¿ 1 3 1+ 1 3 =1−1 4 ，计算：f（ 1 2006）+ f（ 1 2005）+ f（ 1 2004 ）+ …f（1 3）+ f（1 2）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f （2006）＝______． 【变式8-1】（2022·安徽安庆·七年级期末）观察以下等式： 第1 个等式： 2 3 2−4 ×(2−1−4 1 )=2 1； 第2 个等式： 4 4 2−4 ×(2−2−4 2 )=2 2； 第3 个等式：