专题14.2 整式的乘法【十大题型】（原卷版）

专题142 整式的乘法【十大题型】 【人版】 【题型1 整式乘法中的求值问题】.........................................................................................................................1 【题型2 整式乘法中的不含某项问题】................................................................................................................. 2 【题型3 整式乘法中的错看问题】.........................................................................................................................2 【题型4 整式乘法中的遮挡问题】.........................................................................................................................2 【题型5 整式乘法的计算】.....................................................................................................................................3 【题型6 整式乘法的应用】.....................................................................................................................................3 【题型7 整式除法的运算与求值】.........................................................................................................................4 【题型8 整式除法的应用】.....................................................................................................................................5 【题型9 整式乘法中的新定义】.............................................................................................................................6 【题型10 整式乘法中的规律探究】........................................................................................................................7 【知识点1 整式的乘法】 单项式×单项式：系数相乘，字母相乘． 单项式×多项式：乘法分配律． 多项式×多项式：乘法分配律． 【题型1 整式乘法中的求值问题】 【例1】（x+m）（x﹣）＝x2+x+7（m，为整数），则的值可能是（ ） ．7 B．﹣7 ．8 D．﹣9 【变式1-1】（2022 春•汝州市校级月考）若（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，则代数式（k ﹣p）2的值为（ ） ．98 B．49 ．14 D．7 【变式1-2】（2022 春•诸暨市期末）若、B、均为整式，如果•B＝，则称能整除，例如由 （x+3）（x 2 ﹣）＝x2+x 6 ﹣，可知x 2 ﹣能整除x2+x 6 ﹣．若已知x 3 ﹣能整除x2+kx 7 ﹣， 则k 的值为（ ） ．−7 3 B．−2 3 ．4 3 D．2 3 【变式1-3】（2022 春•江都区期中）如果（x+）（x+b）＝x2+mx 12 ﹣ （其中，b 都是整 数），那么m 可取的值共有（ ） ．2 个 B．4 个 ．6 个 D．8 个 1 【题型2 整式乘法中的不含某项问题】 【例2】（2022 秋•黔江区期末）要使（x2﹣x+5）（2x2﹣x 4 ﹣）展开式中不含x2项，则的 值等于（ ） ．﹣6 B．6 ．14 D．﹣14 【变式2-1】（2022 春•双流区校级期中）关于x 的代数式（x 3 ﹣）（2x+1）﹣4x2+m 化简 后不含有x2项和常数项，且+m＝﹣5，求﹣42+3m 的值． 【变式2-2】（2022 秋•耒阳市校级月考）已知多项式M＝x2+5x﹣，＝﹣x+2，P＝ x3+3x2+5，且M•+P 的值与x 的取值无关，求字母的值． 【变式2-3】（2022 春•上城区期末）若多项式x2﹣（x﹣）（x+2b）+4 的值与x 的取值大 小无关，那么，b 一定满足（ ） ．＝0 且b＝0 B．＝2b ．b＝0 D．a=b 2 【题型3 整式乘法中的错看问题】 【例3】（2022 春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣ 2y）错抄成除以（x 2 ﹣y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ） ．3x2 7 ﹣xy+2y2 B．3x2+7xy+2y2 ．3x3 13 ﹣ x2y+16xy2 4 ﹣y3 D．3x3 13 ﹣ x2y+16xy2+4y3 【变式3-1】（2022 春•芦溪县期中）某同学在计算一个多项式乘以﹣2 时，因抄错运算符 号，算成了加上﹣2，得到的结果是2+2 1 ﹣，那么正确的计算结果是多少？ 【变式3-2】（2022 秋•云县期末）在计算（x+）（x+b）时，甲错把b 看成了6，得到结果 x2+8x+12；乙错把看成了﹣，得到结果x2+x 6 ﹣．你能正确计算（x+）（x+b）吗？（、b 都是常数） 【变式3-3】（2022 春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+）（2x+b），由于 甲抄错了的符号，得到的结果是2x2 7 ﹣x+3，乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到 的结果是x2+2x 3 ﹣． （1）求（﹣2+b）（+b）的值； （2）若整式中的的符号不抄错，且＝3，请计算这道题的正确结果． 【题型4 整式乘法中的遮挡问题】 【例4】（2022 秋•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿 出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x 1 ﹣）＝6x3+□+3x，“□”的地方 被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ） ．9x2 B．﹣9x2 ．9x D．﹣9x 【变式4-1】（2022 秋•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家， 小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x 3 ﹣）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被 1 钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ） ．+21xy B．﹣21xy ．﹣3 D．﹣10xy 【变式4-2】（2022 春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后， 小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2 ﹣xy 1 ﹣）＝6x3y3 ﹣3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ． 【变式4-3】（2022 秋•岳麓区校级期中）已知x3 6 ﹣x2+11x 6 ﹣＝（x 1 ﹣）（x2+mx+），其 中m、是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6m+92的值． 【题型5 整式乘法的计算】 【例5】（2022 春•冠县期中）计算： （1）（x 2 ﹣y）（x+2y 1 ﹣）+4y2 （2）（2b）[（b2）2+（2b）3+32]． 【变式5-1】（2022 春•西城区校级期中）求（x 1 ﹣）（2x+1）﹣2（x 5 ﹣）（x+2）的值， 其中x＝﹣2． 【变式5-2】（2022 秋•长宁区校级期中）1 2 x(4−2 x)−¿2（3 2 ﹣x）（4x+1）． 【变式5-3】（2022 春•海陵区校级月考）计算： （1）﹣3x2（2x 4 ﹣y）+2x（x2﹣xy）． （2）（3x+2y）（2x 3 ﹣y）﹣3x（3x 2 ﹣y）． 【题型6 整式乘法的应用】 【例6】（2022 春•杭州期中）如图，正方形卡片类、B 类和长方形卡片类各若干张，如果 要拼一个长为（2+3b），宽为（+2b）的大长方形，则需要类、B 类和类卡片的张数分 别为（ ） ．2，8，5 B．3，8，6 ．3，7，5 D．2，6，7 【变式6-1】（2022 春•吴江区期末）从前，古希腊一位庄主把一块长为米，宽为b 米（＞ b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增 加10 米，宽减少10 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这 样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） ．变小了 B．变大了 ．没有变化 D．无法确定 【变式6-2】（2022 秋•安溪县期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜 居环境，小区准备在一个长为（4+3b）米，宽为（2+3b）米的长方形草坪上修建一横一 1 竖，宽度均为b 米的通道． （1）通道的面积共有多少平方米？ （2）若修两横一竖，宽度均为b 米的通道（如图2），已知＝2b，剩余草坪的面积是 162 平方米，求通道的宽度是多少米？ 【变式6-3】（2022 春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面 积分别为S1，S2． （1）S1与S2的大小关系为：S1 S2． （2）若一个正方形的周长与甲的周长相等． ①求该正方形的边长（用含m 的代数式表示）． ②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数， 求出这个常数，如果不是，请说明理由． 【知识点2 整式的除法】 单项式÷单项式：系数相除，字母相除． 多项式÷单项式：除法性质． 多项式÷多项式：大除法． 【题型7 整式除法的运算与求值】 【例7】（2022•襄都区校级开学）先化简，再求值：[（xy+2）（xy 2 ﹣）﹣2x2y2+4]÷xy，其 中x＝﹣10，y= 1 25． 【变式7-1】（2022 春•秀洲区校级月考）若等式（63+32）÷（6）＝（+1）（+2）成立，则 的值为 ． 1 【变式7-2】（2022 春•萧山区月考）若与−1 2 ab的积为−4 a 3b 3+3a 2b 2−1 2 ab，则为（ ） ．﹣82b2+6b 1 ﹣ B．−2a 2b 2+ 3 2 ab+ 1 4 ．82b2 6 ﹣b+1 D．2a 2b 2−3 2 ab+1 【变式7-3】（2022·四川·石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式2x2 4 ﹣x 1 ﹣ 除以一个多项式，得商式为2x，余式为x 1 ﹣，则这个多项式＝_____． 【题型8 整式除法的应用】 【例8】（2022 秋•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件， 其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：5 2、2、3 2 ，小长方体的长、宽、高分别为：2、、a 2；配件②是一个正方体，其棱长为 （1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？ （2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获 利30 元，则10003体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？ 【变式8-1】（2022 春•抚州期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方 形，制成如图2 的无盖纸盒，若该纸盒的容积为42b，则图2 中纸盒底部长方形的周长 为（ ） ．4b B．8b ．4+b D．8+2b 【变式8-2】（2022 春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一 个整式，丽丽报的整式作被除式，娜娜报的整式B 作除式，要求商式必须为﹣3xy（即 ÷B＝﹣3xy） 1 （1）若丽丽报的是x3y 6 ﹣xy2，则娜娜应报什么整式？ （2）若娜娜也报x3y 6 ﹣xy2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你 的理由． 【变式8-3】（2022 秋•思明区校级期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行 演算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）； ②用被除式的第一项去除除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次幂上方； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这 个积； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次 数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能 被另一个多项式整除． 例如：计算2x5+3x3+5x2 2 ﹣x+10 除以x2+1 的商式和余式，可以用竖式演算如图． 所以2x5+3x3+5x2 2 ﹣x+10 除以x2+1 的商式为2x3+x+5，余式为﹣3x+5． （1）计算（2x3 3 ﹣x2+4x 5 ﹣）÷（x+2）的商式为 ，余式为 ； （2）2x4 4 ﹣x3+x2+7x+b 能被x2+x 2 ﹣整除，求、b 的值． 【题型9 整式乘法中的新定义】 【例9】（2022 秋•夏津县期中）阅读并解决其后的问题： 我们将四个有理数，b，，d 写成| a b c d∨¿的形式，称它为由有理数，b，，d 组成的二 阶矩阵，，b，，d 为构成这个矩阵的元素，我们定义矩阵的运算为：| a b c d∨¿d﹣b， 对于两个矩阵相加我们定义为：| a b c d∨+| m n x y∨¿| a+m b+n c+x d+ y∨¿，下面是两个二阶 矩 阵 的 加 法 运 算 过 程 ： | 2 −3 3 5 ∨+| −2 −4 1 −1∨¿| 2+(−2) (−3)+(−4) 3+1 5+(−1) ∨¿| 0 −7 4 4 ∨¿0×4 4× ﹣ （﹣7 ）＝ 28． 1 （1）计算| 17 −5 6 2 ∨+| −15 12 16 −8∨+| −15 12 16 −8|的值； （2）计算| 2 x−3 x+2 2 5 x−7∨+| −2 x 4 x+8 6 2 x+3∨+| −2 x 4 x+8 6 2 x+3|． 【变式9-1】（2022 秋•兰陵县期中）定义：若﹣B＝1，则称与B 是关于1 的单位数． （1）3 与 是关于1 的单位数，x 3 ﹣与 是关于1 的单位数．（填一个含 x 的式子） （2）若＝3x（x+2）﹣1，B=2( 3 2 x 2+3 x−1)，判断与B 是否是关于1 的单位数，并 说明理由． 【变式9-2】（2022•顺平县二模）如果一个两位数的个位数字与十位数字都不是零，且互 不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字 与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11 的商记ω（），例如：＝13，对 调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13＝44，和与 11 的商44÷11＝4，所以ω（13）＝4．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算：ω（23）＝ ． （2）若一个“跟斗数”b 的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且ω（b）＝8，则 “跟斗数”b＝ ． （3）若m，都是“跟斗数”，且m+＝100，则ω（m）+ω（）＝ ． 【变式9-3】（2022•渝中区校级模拟）阅读以下材料： 材料一：如果两个两位数b，d，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个 完全不同的新数b，d，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这 样的两个两位数为一对“有缘数对”． 例如：46×96＝64×69＝4416，所以，46 和96 是一对“有缘数对”， 材料二：在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运 用整体换元，使得运算更简单． 例如：计算（x2+3x 1 ﹣）（x2+3x 8 ﹣），令：（x2+3x）＝， 原式＝（﹣1）（﹣8）＝2 9+8 ﹣ ＝（x2+3x）2 9 ﹣（x2+3x）+8 ＝x4+6x3 27 ﹣ x+8 解决如下问题： （1）①请任写一对“有缘数对” 和 ． ②并探究“有缘数对”b 和d，，b，，d 之间满足怎样的等量关系．并写出证明过程． （2）若两个两位数（x2+2x+3）（x2 2 ﹣x+4）与（x2 2 ﹣x+5）（x2+2x+5）是一对“有缘 数对”，请求出这两个两位数． 1 【题型10 整式乘法中的规律探究】 【例10】（2022 春•江都区期中）探究规律，并回答问题： （1）运用多项式乘法，计算下列各题： ①（x+2）（x+3）＝ ； ②（x+2）（x 3 ﹣）＝ ； ③（x 3 ﹣）（x 1 ﹣）＝ ； （2）若（x+）（x+b）＝x2+px+q，则p＝ ，q＝ ； （3）根据此规律，直接写出以下结果： ①（x+5）（x+7）＝ ； ②（t+2）（t 1 ﹣）＝ ． 【变式10-1】（2022 春•永丰县期末）探究发现：在数学中，有些大数值问题可以通过用 字母代替数转化成整式问题来解决． 阅读解答：比较20182019×20182016 与20182017×20182018 的大小． 解：设20182017 ＝，那么20182019×20182016 ＝（+2 ）（﹣1 ）＝2+ 2 ﹣ ； 20182017×20182018＝2+． 因为2+ 2 ﹣ 2+（填＜＞、或＝）， 所以20182019×20182016 20182017×20182018（填＜、＞、或＝）． 问题解决：化简求代数式的值． （m+222018）（m+142018）﹣（m+182018）（m+172018），其中m＝2016． 【变式10-2】（2022 春•包河区期末）探究规律，解决问题： （1）化简：（m 1 ﹣）（m+1）＝ ，（m 1 ﹣）（m2+m+1）＝ ． （2）化简：（m 1 ﹣）（m3+m2+m+1），写出化简过程． （3）化简：（m 1 ﹣）（m+m 1 ﹣+m 2 ﹣+…+1）＝ ．（为正整数，m+m 1 ﹣+m 2 ﹣+… +1 为+1 项多项式） （4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值． 【变式10-3】（2022 春•雅安期末）已知x≠1．观察下列等式