专题3.1 一元一次方程及等式的性质【十大题型】（原卷版）

专题31 一元一次方程及等式的性质【十大题型】 【人版】 【题型1 方程及一元一次方程的定义】................................................................................................................. 1 【题型2 利用一元一次方程的定义求值】............................................................................................................. 2 【题型3 方程的解】................................................................................................................................................. 2 【题型4 列方程】..................................................................................................................................................... 3 【题型5 利用等式的性质变形】.............................................................................................................................3 【题型6 等式的性质的应用】.................................................................................................................................3 【题型7 利用等式的性质解方程】.........................................................................................................................4 【题型8 方程的解中的遮挡问题】.........................................................................................................................5 【题型9 利用等式的性质检验方程的解】............................................................................................................. 5 【题型10 方程的解的规律问题】............................................................................................................................5 【知识点1 方程及一元一次方程的定义】 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知 数． （2）一元一次方程的定义： 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是x+b=0（，b 为常数，且≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是 整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将x+b=0（其中x 是未知数，、b 是已知数，并且≠0）叫一元一次方程的标准形式． 这里是未知数的系数，b 是常数，x 的次数必须是1． 【题型1 方程及一元一次方程的定义】 【例1】（2022•顺德区模拟）下列等式中不是一元一次方程的是（ ） ．2x 5 ﹣＝21 B．40+5x＝100 ．（1+14730%）x＝8930 D．x（x+25）＝5850 【变式1-1】（2022 秋•博白县期末）下列式子中是方程的是（ ） ．5x+4 B．3x 5 ﹣＜7 ．x 2 ﹣＝6 D．3×2 1 ﹣＝5 【变式1-2】（2022 秋•盐城校级期中）下列方程（1）x 3 =¿2；（2）5x 2 ﹣＝2x﹣（3﹣ 1 2x）；（3）xy＝5；（4）3 x+1=−¿2；（5）x2﹣x＝1；（6）x＝0 中一元一次方程有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【变式1-3】（2022•江东区质检）在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出 了6 个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈（1）中，属于一次方程的序号填入 圆圈（2）中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分． 3 ①x+5＝9：②x2+4x+4＝0；③2x+3y＝5：④x2+y＝0；⑤x﹣y+z＝8：⑥xy＝﹣1． 【题型2 利用一元一次方程的定义求值】 【例2】（2022•市中区模拟）若方程（m2 1 ﹣）x2﹣mx﹣x+2＝0 是关于x 的一元一次方程， 则代数式|m 1| ﹣的值为（ ） ．0 B．2 ．0 或2 D．﹣2 【变式2-1】（2022 秋•婺源县期末）已知方程x2k-1+k＝0 是关于x 的一元一次方程，则方程 的解等于（ ） ．﹣1 B．1 ．1 2 D．−1 2 【变式2-2】（2022•江阴市校级期末）如果（﹣2）x||-1 2 ﹣＝0 是一元一次方程，那么是 ． 【变式2-3】（2022 秋•鄂州月考）（3+2b）x2+x+b＝0 是关于x 的一元一次方程，且x 有唯 一解，则x＝ ． 【知识点2 方程的解】 方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 【题型3 方程的解】 【例3】（2022•温州期末）若关于x 的方程mx＝4﹣x 的解是整数，则非负整数m 的值为 ． 【变式3-1】（2022•番禺区期末）已知关于x 的方程4x+5＝﹣3﹣的解为x=1 2，则3+5 的 值为 ． 【变式3-2】（2022 秋•锦江区校级期末）对于正整数，阶乘符号!表示从到1 的整数的乘积 （例如：6!＝6×5×4×3×2×1），则满足方程5!•9!＝！•12 的的值为 ． 【变式3-3】（2022 春•黔江区期末）已知关于x 的方程2x 3 ﹣¿ m 3 +¿x 的解满足|x|＝1，则 1 m 的值是（ ） ．﹣6 B．﹣12 ．﹣6 或﹣12 D．6 或12 【题型4 列方程】 【例4】（2022 秋•泗水县期末）一根细铁丝用去2 3后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可 列方程为 ． 【变式4-1】（2022 秋•南岗区期末）列等式表示“x 的三分之一减y 的差等于6”是 ． 【变式4-2】（2022 秋•雨花区校级期末）某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为 15m，设宽为xm，列方程为 ． 【变式4-3】（2022 秋•越秀区校级月考）一件衣服打八折后，售价为88 元，设原价为x 元， 可列方程为 ． 【知识点3 等式的性质】 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【题型5 利用等式的性质变形】 【例5】（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ） ．若a c =b c ，则＝b B．若＝b，则＝b ．若2＝b2，则＝b D．若−1 3 x＝6，则x＝﹣2 【变式5-1】（2022•杭州）设x，y，是有理数，正确的是（ ） ．若x＝y，则x+＝y﹣ B．若x＝y，则x＝y ．若x＝y，则x c = y c D．若x 2c = y 3c ，则2x＝3y 【变式5-2】（2022•安徽）设，b，为互不相等的实数，且b¿ 4 5 +1 5 ，则下列结论正确的是 （ ） ．＞b＞ B．＞b＞ ．﹣b＝4（b﹣） D．﹣＝5（﹣b） 【变式5-3】（2022•镇海区校级二模）下列等式变形：（1）如果x＝y，那么x＝y；（2） 如果+b＝0，那么2＝b2；（3）如果||＝|b|，那么＝b；（4）如果4＝7b，那么a 7 = b 4 ，其 中正确的有（ ） ．（1）（4） B．（1）（2）（4） ．（1）（3） D．（2）（4） 1 【题型6 等式的性质的应用】 【例6】（2022•石家庄模拟）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ） ．如果+＝b+，那么＝b（，b，均不为0） B．如果＝b，那么+＝b+（，b，均不为0） ．如果﹣＝b﹣，那么＝b（，b，均不为0） D．如果＝b，那么＝b（，b，均不为0） 【变式6-1】（2022•河北）有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”，其中，同一种 物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质 量不相等，则该组是（ ） ． B． ． D． 【变式6-2】（2022•芦淞区模拟）有质量分别为11 克和17 克的砝码若干个，在天平上称 出质量为3 克的物体，至少要用 个这样的砝码． 【变式6-3】（2022•利津县一模）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前 两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？处只放“■”那么应放“■”（ ） ．5 个 B．4 个 ．3 个 D．2 个 1 【题型7 利用等式的性质解方程】 【例7】（2022 秋•饶平县校级期末）利用等式的性质解方程： （1）5+x＝﹣2 （2）3x+6＝31 2 ﹣x． 【变式7-1】（2022 秋•柳江区期中）利用等式的性质解方程并检验：2−1 4 x=3． 【变式7-2】（2022 秋•盂县期中）用等式性质解下列方程： （1）4x 7 ﹣＝13 （2）3x+2＝x+1． 【变式7-3】（2022 秋•三门县期中）利用等式的性质解方程： （1）5﹣x＝﹣2 （2）3x 6 ﹣＝﹣31 2 ﹣x． 【题型8 方程的解中的遮挡问题】 【例8】（2022 秋•玉田县期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1 −x−● 5 ，他翻阅了答知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是 ． 【变式8-1】（2022 秋•红河州期末）方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是 x＝2，那么▲处的数字是 ． 【变式8-2】（2022 秋•巴彦县期末）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x 3 ﹣）﹣■＝ x+1 中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污 染的常数■是（ ） ．4 B．3 ．2 D．1 【变式8-3】（2022 秋•郫都区期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了 ﹣2x+●＝3x，他翻阅了答知道这个方程的解为x＝﹣1，于是他判断●的值应为 ． 【题型9 利用等式的性质检验方程的解】 【例9】（2022 秋•雨花区期末）x＝2 是方程x 4 ﹣＝0 的解，检验x＝3 是不是方程2x 5 ﹣＝ 3x 4 ﹣的解． 【变式9-1】（2022 春•崇明区期末）x＝1 方程x2+3＝3x+1 的解．（填“是”或 “不是”） 【变式9-2】（2022 秋•雨花区校级期末）判断括号内未知数的值是不是方程的根： （1）x2 3 ﹣x 4 ﹣＝0（x1＝﹣1，x2＝1）； （2）（2+1）2＝2+1（1＝﹣2，2¿−4 3 ）． 【变式9-3】（2022 秋•莱山区期末）有下列方程：①1 3x＝1；②2x 3 ﹣＝1；③2 3x−3 2 =3 7 1 ；④（x+1）（x+2）＝12；⑤2x−2 x =¿3；⑥2[3x﹣（x 3 ﹣）] 3 ﹣＝11．其中，x＝2 是 其解的方程有 ．（填序号） 【题型10 方程的解的规律问题】 【例10】（2022 春•卫辉市期中）一列方程如下排列： x 4 + x−1 2 =¿1 的解是x＝2， x 6 + x−2 2 =¿1 的解是x＝3， x 8 + x−3 2 =¿1 的解是x＝4， … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2017 的方程： ． 【变式10-1】先阅读下列一段文字，然后解答问题． 已知：方程x−1 x =1 1 2的解是x1＝2，x2¿−1 2；方程x−1 x =2 2 3的解是x1＝3，x2¿−1 3； 方程x−1 x =3 3 4 的解是x1＝4，x2¿−1 4 ；方程x−1 x =4 4 5 的解是x1＝5，x2¿−1 5． 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程x−1 x =10 10 11的解，并写出检验． 【变式10-2】（2022 秋•莘县校级月考）有一系列方程，第1 个方程是x 4 −¿（x 2 ﹣）＝1， 解为x¿ 4 3 ；第2 个方程是x 5 −¿（x 3 ﹣）＝1，解为x¿ 10 4 ；第3 个方程是x 6 −¿（x 4 ﹣） ＝1，解为x¿ 18 5 ，…，根据规律第7 个方程x 10−¿（x 8 ﹣）＝1，解为 ． 【变式10-3 】（2022 春• 方城县期中）已知关于x 的方程x+ 2 x =3+ 2 3的两个解是 x1=3，x2=2 3； 又已知关于x 的方程x+ 2 x =4+ 2 4 的两个解是x1=4，x2= 2 4 ； 又已知关于x 的方程x+ 2 x =5+ 2 5的两个解是x1=5，x2=2 5； …， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于x 的方程x+ 2 x =c+ 2 c 的两个解是x1=c，x2=2 c ；并且小王在老师的帮助下完成了 1 严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． （1）关于x 的方程x+ 2 x =11+ 2 11的两个解是x1＝ 和x2＝ ； （2）已知关于x 的方程x+ 2 x−1=12+ 2 11，则x 的两个解是多少？ 1