专题18.5 正方形的性质与判定【十大题型】（原卷版）

专题185 正方形的性质与判定【十大题型】 【人版】 【题型1 正方形的性质（求角的度数）】............................................................................................................. 1 【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】.........................................................................................................3 【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】.........................................................................................................4 【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】.........................................................................................................6 【题型5 判定正方形成立的条件】.......................................................................................................................10 【题型6 正方形判定的证明】...............................................................................................................................12 【题型7 正方形的判定与性质综合】...................................................................................................................16 【题型8 探究正方形中的最值问题】...................................................................................................................19 【题型9 正方形在坐标系中的运用】...................................................................................................................20 【题型10 正方形中的多结论问题】.....................................................................................................................23 【知识点1 正方形的定义】 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 【知识点2 正方形的性质】 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分， 并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性 质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图 形，有四条对称轴． 【题型1 正方形的性质（求角的度数）】 【例1】（2022 春•建阳区期中）如图，在正方形BD 中有一个点E，使三角形BE 是正三角 形， 求：（1）∠BE 的大小 （2）∠ED 的大小． 1 【变式1-1】如图，已知正方形BD 在直线M 的上方，B 在直线M 上，E 是B 上一点，以E 为边在直线M 上方作正方形EFG． （1）连接GD，求证：△DG≌△BE； （2）连接F，观察并猜测∠F 的度数，并说明理由． 【变式1-2】（2022•武威模拟）如图，在正方形BD 中，点E 是对角线上的一点，点F 在B 的延长线上，且BE＝EF，EF 交D 于点G． （1）求证：DE＝EF； （2）求∠DEF 的度数． 1 【变式1-3】（2022 春•新市区校级期末）如图，在给定的正方形BD 中，点E 从点B 出发， 沿边B 方向向终点运动，DF⊥E 交B 于点F，以FD，FE 为邻边构造平行四边形 DFEP，连接P，则∠DFE+∠EP 的度数的变化情况是（ ） ．一直减小 B．一直减小后增大 ．一直不变 D．先增大后减小 【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】 【例2】（2022 春•牡丹江期末）如图，正方形BD 的边长为10，点E，F 在正方形内部，E ＝F＝8，BE＝DF＝6，则线段EF 的长为（ ） ．2❑ √2 B．4 ．4−❑ √2 D．4+❑ √2 【变式2-1】（2022 春•巴南区期末）如图，四边形BD 是边长为4 的正方形，点E 在边D 上，且DE＝1，作EF∥B 分别交、B 于点G、F，P、分别是G，BE 的中点，则P 的长是 （ ） 1 ．2 B．25 ．3 D．4 【变式2-2】（2022•越秀区一模）将正方形BD 与正方形BEFG 按如图方式放置，点F、 B、在同一直线上，已知BG¿ ❑ √2，B＝3，连接DF，M 是DF 的中点，连接M，则M 的 长是（ ） ． ❑ √10 2 B．❑ √3 ． ❑ √13 2 D．3 2 【变式2-3】（2022 春•吴中区校级期末）如图，在正方形BD 中，B＝4❑ √5．E、F 分别为 边B、B 的中点，连接F、DE，点、M 分别为F、DE 的中点，连接M，则M 的长度为 ． 【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】 【例3】（2022 春•鄞州区期末）有两个正方形，B．现将B 放在的内部得图甲，将，B 构 造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1 和12，若三个正方形和 两个正方形B 得图丙，则阴影部分的面积为（ ） 1 ．28 B．29 ．30 D．31 【变式3-1】（2022 春•工业区校级期中）如图，四边形BD 为正方形，为、BD 的交点， △DE 为Rt△，∠ED＝90°，E＝2❑ √2，若E•DE＝3，则正方形BD 的面积为（ ） ．5 B．6 ．8 D．10 【变式3-2】（2022•台州）如图，在正方形BD 中，B＝3，点E，F 分别在D，D 上，E＝ DF，BE，F 相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形BD 的面积之比为2：3，则 △BG 的周长为 ． 【变式3-3】（2022•江北区一模）如图，以Rt△B 的各边为边分别向外作正方形，∠B＝ 90°，连结DG，点为DG 的中点，连结B，，若要求出△B 的面积，只需知道（ ） ．△B 的面积 B．正方形DEB 的面积 ．正方形FG 的面积 D．正方形BM 的面积 【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】 【例4】（2022 秋•中原区校级月考）如图，线段B＝4，射线BG⊥B，P 为射线BG 上一点， 以P 为边作正方形PD，且点、D 与点B 在P 两侧，在线段DP 上取一点E，使∠EP＝ ∠BP，直线E 与线段B 相交于点F（点F 与点、B 不重合）． （1）求证：△EP≌△EP； 1 （2）判断F 与B 的位置关系，并说明理由； （3）请直接写出△EF 的周长． 【变式4-1】（2022 春•雁塔区校级期末）在正方形BD 中，∠M＝45°，该角可以绕点转动， ∠M 的两边分别交射线B，D 于点M，． （1）当点M，分别在正方形的边B 和D 上时（如图1），线段BM，D，M 之间有怎样 的数量关系？你的猜想是： ，并加以证明． （2）当点M，分别在正方形的边B 和D 的延长线上时（如图2），线段BM，D，M 之 间的数量关系会发生变化吗？证明你的结论． 1 【变式4-2】（2022 春•莆田期末）如图，已知正方形BD 中，E 为B 延长线上一点，且BE ＝B，M、分别为E、B 的中点，连DE 交B 于，M 交，ED 于点． （1）求证：＝B； （2）求证：∠EB＝∠B； （3）过作P⊥ED 于P 点，连BP，则PE−PA PB 的值． 1 【变式4-3】（2022 春•鼓楼区校级期中）如图，正方形BD 的对角线相交于点．点E 是线 段D 上一点，连接E．点F 是∠E 的平分线上一点，且BF⊥F 与相交于点G．点是线段 E 上一点，且＝． （1）若F＝5，求F 的长； （2）求证：BF＝+F． 【知识点3 正方形的判定】 ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； 1 ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1 或2 进行判定． 【题型5 判定正方形成立的条件】 【例5】（2022 春•海淀区校级期中）已知四边形BD 为凸四边形，点M、、P、Q 分别为 B、B、D、D 上的点（不与端点重合），下列说法正确的是 （填序号）． ①对于任意凸四边形BD，一定存在无数个四边形MPQ 是平行四边形； ②如果四边形BD 为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MPQ 是矩形； ③如果四边形BD 为任意矩形，那么一定存在一个四边形为正方形； ④如果四边形BD 为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形． 【变式5-1】（2022 春•岳麓区校级月考）如图，E、F、G、分别是B、B、D、D 的中点． 要使四边形EFG 是正方形，BD、应满足的条件是 ． 【变式5-2】（2022 春•汉寿县期中）如图，在▱BD 中，对角线与BD 相交于点，点E，F 在上，且E＝F，连接DE 并延长至点M，使DE＝ME，连接MF，DF，BE． （1）当DF＝MF 时，证明：四边形EMBF 是矩形； （2）当△DMF 满足什么条件时，四边形EMBF 是正方形？请说明理由． 1 【变式5-3】（2022 春•沛县期中）已知在△B 中，D 为边B 延长线上一点，点是边上的一个 动点，过作直线M∥B，设M 与∠B 的平分线相交于点E，与∠D 的平分线相交于点F． （1）求证：E＝F； （2）试确定点在边上的位置，使四边形EF 是矩形，并加以证明． （3）在（2）的条件下，且△B 满足 条件时，矩形EF 是正方形？． 【题型6 正方形判定的证明】 【例6】（2022 春•虹口区期末）如图，在四边形BD 中，B∥D，D＝D，E 是对角线BD 上 的一点，且E＝E． （1）求证：四边形BD 是菱形； （2）如果B＝BE，且∠BE＝2∠DE，求证：四边形BD 是正方形． 1 【变式6-1】（2022 春•宜城市期末）如图，四边形BD 是平行四边形，连接对角线，过点 D 作DE∥与B 的延长线交于点E，连接E 交D 于F． （1）求证：B＝E； （2）连接BF，若∠DF＝∠FBE，且D＝2F，求证：四边形BD 是正方形． 1 【变式6-2】（2022 秋•市南区期末）已知：在平行四边形BD 中，分别延长B，D 到点 E，，使得BE＝2B，D＝2D．连接E，分别交D，B 于点F，G． （1）求证：F＝G； （2）连接BD 交E 于点，若E⊥BD，则当线段B 与线段D 满足什么数量关系时，四边 形BED 是正方形？ 1 【变式6-3】（2022•上海）已知：如图，四边形BD 中，D∥B，D＝D，E 是对角线BD 上一 点，且E＝E． （1）求证：四边形BD 是菱形； （2）如果BE＝B，且∠BE：∠BE＝2：3，求证：四边形BD 是正方形． 【题型7 正方形的判定与性质综合】 【例7】（2022•威海）如图1，在正方形BD 中，E，F，G，分别为边B，B，D，D 上的点， ＝EB＝F＝GD，连接EG，F，交点为． （1）如图2，连接EF，FG，G，E，试判断四边形EFG 的形状，并证明你的结论； 1 （2）将正方形BD 沿线段EG，F 剪开，再把得到的四个四边形按图3 的方式拼接成一 个四边形．若正方形BD 的边长为3m，＝EB＝F＝GD＝1m，则图3 中阴影部分的面积 为 m2． 【变式7-1】（2022•萧山区模拟）如图，P 为正方形BD 内的一点，画▱PD，▱PBE， ▱PFB，▱PDG，请证明：以E，F，G，为顶点的四边形是正方形． 1 【变式7-2】（2022•萧山区模拟）已知：如图，边长为4 的菱形BD 的对角线与BD 相交于 点，若∠D＝∠DB． （1）求证：四边形BD 是正方形． （2）E 是B 上一点，BE＝1，且D⊥E，垂足为，D 与相交于点F，求线段F 的长． 1 【变式7-3】（2022 春•潜山市期末）如图，已知四边形BD 为正方形，B＝3❑ √2，点E 为对 角线上一动点，连接DE，过点E 作EF⊥DE，交B 于点F，以DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接G． （1）求证：矩形DEFG 是正方形； （2）探究：E+G 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 1 【题型8 探究正方形中的最值问题】 【例8】（2022 春•沙坪坝区校级月考）如图，在正方形BD 中，M，是边B 上的动点，且 M＝B，连接MD 交对角线于点E，连接BE 交于点F，若B＝3，则F 长度的最小值为 ． 【变式8-1】（2022•泰山区一模）如图，M、是正方形BD 的边D 上的两个动点，满足M ＝B，连接交B 于点E，连接DE 交M 于点F，连接F，若正方形的边长为2，则线段F 的最小值是（ ） ．2 B．1 ．❑ √5−¿1 D．❑ √5−¿2 【变式8-2】（2022•青山区模拟）已知矩形BD，B＝2，D＝4B＝8，E 为线段D 上一动点， 以E 为边向上构造正方形EFG，连接BF，则BF 的最小值是 ． 【变式8-3】（2022•郧阳区模拟）如图，P¿2❑ √2，PB¿4 ❑ √2，以B 为边作正方形BD，使 得P、D 两点落在直线B 的两侧，当∠PB 变化时，则PD 的最大值为 ． 1 【题型9 正方形在坐标系中的运用】 【例9】（2022 春•市中区期末）在平面直角坐标系中，对于两个点P、Q 和图形，如果在 图形上存在点M、（M、可以重合）使得PM＝Q，那么称点P 与点Q 是图形的一对平 衡点．已知正方形的边长为2，一边平行于x 轴，对角线的交点为点，点D 的坐标为 （2，0）．若点E（x，2）与点D 是正方形的一对平衡点，则x 的取值范围为（ ） ．﹣3≤x≤3 B．﹣4≤x≤4 ．﹣2≤x≤2 D．﹣5≤x≤5 【变式9-1】（2022 秋•永新县期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形BD 的顶点坐标 分别是（﹣2，0）、B（0，﹣2）、（2，0）、D（0，2），求证：四边形BD 是正方形． 【变式9-2】（2022 春•顺城区期末）如图，在平面直角坐标系xy 中，直线：y＝3x 与直线： 1 y＝﹣x+8 相交于点（2，6）． （1）点M 从点出发以每秒1 个单位长度的速度沿x 轴向右运动，点从点出发以每秒3 个单位长度的速度沿x 轴向左运动，两点同时出发．分别过点M，作x 轴的垂线，分别 交直线，于点P，Q，请你在图1 中画出图形，猜想四边形PMQ 的形状（点M，重合时 除外），并证明你的猜想； （2）在（1）的条件下，当点M 运动 秒时，四边形PMQ 是正方形（直接写出 结论）． 【变式9-3】（2022•河南模拟）如图，正方形B 中，点（4，0），点D 为B 上一点，且 BD＝1，连接D，过点作E⊥D 交于点E，过点D 作M∥E，交x 轴于点M，交B 于点， 则点M 的坐标为（ ） 1 ．（5，0） B．（6，0） ．（25 4 ，0） D．（27 4 ，0） 【题型10 正方形中的多结论问题】 【例10】（2022 春•慈溪市期末）如图，正方形BD 中，点P 为BD 延长线上任一点，连结 P，过点P 作PE⊥P，交B 的延长线于点E，过点E 作EF⊥BP 于点F．下列结论： （1 ）P ＝PE ； （2 ）BD ＝2PF ；（3 ）CE=❑ √2 PD； （4 ）若BP ＝BE ，则 PF=(❑ √2+1)DF． 其中正确的个数为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【变式10-1】（2022 春•渝中区校级期中）如图，正方形BD 的边长为，点E 在边B 上运动 （不与点，B 重合），∠DM＝45°，点F 在射线M 上，且F¿ ❑ √2BE，F 与D 相交于点 G．连接E、EF、EG．下列结论：①∠EF＝45°；②△EG 的周长为（1+❑ √2 2 ）； ③BE2+DG2＝EG2；④当G 是线段D 的中点时，BE¿ 1 3．正确的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 1 【变式10-2】（2022 秋•三水区月考）如图，正方形BD 中，在D 的延长线上取点E，F， 使DE＝D，DF＝BD，连接BF 分别交D，E 于，G，下列结论：①F＝2G；②∠GD＝ ∠GD；③图中有8 个等腰三角形；④S△DG＝S△DF．其中正确的结论个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式10-3】（2022 春•玉林期末）如图，正方形BD 中，点E 在边D 上，过点作F⊥E 交 B 的延长线于点F，连接EF，G 平分∠FE，G 分别交B、EF 于点G、，连接EG、D．则 下列结论中：①BF＝DE；②∠EG＝2∠BG；③D+DE¿ ❑ √3D；④DE+BG＝E；⑤若DE ＝E，则E：G：EG＝3：4：5，其中正确的结论有 ． 1