专题5.1 平行线的判定【九大题型】（原卷版）

专题51 平行线的判定【九大题型】 【人版】 【题型1 对顶角的识别及其性质】.........................................................................................................................1 【题型2 平行、垂直】............................................................................................................................................. 2 【题型3 平行公理及其推论】.................................................................................................................................4 【题型4 同位角相等，两直线平行】.....................................................................................................................5 【题型5 内错角相等，两直线平行】.....................................................................................................................6 【题型6 同旁内角互补，两直线平行】................................................................................................................. 7 【题型7 平行线的判定方法的综合运用】............................................................................................................. 8 【题型8 角平分线与平行线的判定综合运用】.....................................................................................................9 【题型9 平行线判定的实际应用】.......................................................................................................................11 【题型1 对顶角的识别及其性质】 【例1】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ） ． B． ． D． 【变式1-1】（2022·广东·揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线B、D 相交 于点，E 平分∠，∠E＝2 5∠B． 1 (1)图中的对顶角有 对，它们是 ． (2)图中互补的角有 对，它们是 ． (3)求∠ED 的度数． 【变式1-2】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，直线B，D 相交于点， OE⊥CD，F 平分∠AOD，若∠AOD=50°求∠EOF的度数 【变式1-3】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线AB，CD相交于点O， OE平分∠BOD，OF平分∠COE． (1)若∠AOC=76°，∠BOF=¿______度． (2)若∠BOF=36°，∠AOC的度数是多少？ 【题型2 平行、垂直】 【例2】（2022·福建·厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点在直线l1上，点 B，在直线l2上，B⊥l2，⊥l1，B＝4，B＝3，则下列说法正确的是（ ） ．点到直线l2的距离等于4 B．点到直线l1的距离等于4 ．点到B 的距离等于4 D．点B 到的距离等于3 【变式2-1】（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ） ．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c 1 ．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，a∥b,b∥c则a⊥c 【变式2-2】（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，因为AB⊥l， BC ⊥l，B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是（ ） ．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ．垂直同一条直线的两条直线平行 D．垂线段最短 【变式2-3】（2022·江苏·九年级）如图，点、点B 是直线l 上两点，B＝10，点M 在直线l 外，MB＝6，M＝8，∠MB＝90°，若点P 为直线l 上一动点，连接MP，则线段MP 的最小 值是____． 【知识点 平行线的判定】 1 平行公理及其推论 ①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2 平行线的判定方法 ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（同位角相等，两 直线平行） ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 （内错角相等，两 直线平行 ③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行（同旁内角互补，两 直线平行） 1 【题型3 平行公理及其推论】 【例3】（2022·江西上饶·七年级期中）同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c， c⊥d，则下列式子成立的是（ ） ．a∥d B．b⊥d ．a⊥d D．b∥c 【变式3-1】（2022·河南漯河·七年级期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘B 的垂线 和b，得到∥b，理由是（ ） ．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【变式3-2】（2022·湖北武汉·七年级期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是 钝角；③ ， b ， 是同一平面内的三条直线，若//b，b// ，则// ；④ ， b ， 是同一平面 内的三条直线，若  b ， b  ，则  ； 其中真命题的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式3-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州育局七年级期末）如图， AB∥CD， 如果 ∠1=∠2， 那么EF与AB平行吗？ 说说你的理由． 解：因为∠1=∠2， 所以____________∥___________．（ ） 又因为AB∥CD， 所以AB∥EF． （ ） 【题型4 同位角相等，两直线平行】 【例4】（2022·甘肃·陇南育才学校七年级期末）如图，AB⊥MN，垂足为B， CD⊥MN，垂足为D，∠1＝∠2．在下面括号中填上理由． 1 因为AB⊥MN，CD⊥MN， 所以∠ABM＝∠CDM＝90°． 又因为∠1＝∠2( )， 所以∠ABM−∠1＝∠CDM−∠2( )， 即∠EBM＝∠FDM． 所以EB∥FD( ) 【变式4-1】（2022·湖北·蕲春县向桥乡白水中学七年级阶段练习）如图，过直线外一点画 已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是______． 【变式4-2】（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°， ∠2=∠3．请说明线段BE 与DF 的位置关系？为什么？ 【变式4-3】（2022·北京东城·七年级期末）如图，直线l与直线AB，CD分别交于点E，F， ∠1是它的补角的3 倍，∠1−∠2=90°．判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 1 【题型5 内错角相等，两直线平行】 【例5】（2022·山东·曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点在直线DE 上，B⊥于， ∠1 与∠互余，DE 和B 平行吗？若平行，请说明理由． 【变式5-1】（2022·北京市房山区燕山委八年级期中）如图，已知∠1=75°，∠2=35°， ∠3=40°，求证：∥b． 【变式5-2】（2022·福建·莆田第二十五中学八年级阶段练习）如图，CF是△ABC外角 ∠ACM的平分线，∠ACB=40°，∠A =70°，求证：AB∥CF 【变式5-3】（2022·辽宁·阜新市第十中学七年级期中）如图，B∥DE，∠1=∠B，∠B=1 2 ∠BD，试说明D∥B． 【题型6 同旁内角互补，两直线平行】 【例6】（2022·河北衡水·七年级阶段练习）已知：∠A=∠C=120°， ∠AEF=∠CEF=60°，求证：AB∥CD． 1 【变式6-1】（2022·西藏昂仁县中学七年级期中）如图，∠D＝20°，∠B＝70°，B⊥，求证： D∥B． 【变式6-2】（2022·甘肃·平凉市第七中学七年级期中）如图， ∠1=30° ,∠B=60° , AB⊥AC . (1) ∠DAB+∠B等于多少度？ (2)D 与B 平行吗？请说明理由． 【变式6-3】（2022·北京市第五中学分校七年级期末）如图，已知点E 在B 上，BD⊥， EF⊥，垂足分别为D，F，点M，G 在B 上，GF 交BD 于点，∠BMD+∠B＝180°，∠1＝ ∠2，求证：MD∥GF． 下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据． 证明：∵BD⊥，EF⊥， ∴∠BD＝90°，∠EF＝90°（① ）． ∴∠BD＝∠EF（等量代换）． ∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）． 2 ∴∠＝∠BD（ ② ）． 1 ∠＝∠2（已知）． 1 ∴∠＝∠BD（等量代换）． 1 ③ ∴ （内错角相等，两直线平行）． ∵∠BMD+∠B＝180°（已知）， ∴MD∥B（④ ）． ∴MD∥GF（⑤ ）． 【题型7 平行线的判定方法的综合运用】 【例7】（2022·广西贺州·七年级期末）如图，有下列条件：①∠1=∠2；② ∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3．其中，能判断直线a∥b的有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【变式7-1】（2022·浙江台州·七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的， 如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平 行( ) ．∠1 B．∠3 ．∠4 D．∠5 【变式7-2】（2022·山西临汾·七年级期末）在下列图形中，已知∠1=∠2，一定能推导 出l1∥l2的是（ ） ． B． ． D． 【变式7-3】（2022·山东日照·七年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定 DE∥BC的是（ ） 1 ．∠1=∠2 B．∠3=∠4 ．∠5=∠C D． ∠B+∠BDE=180° 【题型8 角平分线与平行线的判定综合运用】 【例8】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形BD 中， ∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，点E、F 分别在D、B 上，且BE、 DF 分别平分∠B、∠ D，判断BE、DF 是否平行，并说明理由． 【变式8-1】（2022·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期末）将下列证明过程补充完整： 已知：如图，点E 在B 上，且E 平分∠D，∠1＝∠2．求证：AB∥CD． 证明：∵E 平分∠D（已知）， 2 ∴∠＝∠ （ ）． 1 ∵∠＝∠2（已知）， 1 ∴∠＝∠ （ ）． ∴AB∥CD（ ）． 【变式8-2】（2022·辽宁沈阳·七年级期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补 1 充完整 如图，直线M 分别与直线、DG 交于点B、F，且∠1＝∠2．∠BF 的角平分线BE 交直线DG 于点E，∠BFG 的角平分线F 交直线于点． 求证：BE∥CF． 证明：∵∠1＝∠2（已知） ∠BF＝∠1（对顶角相等） ∠BFG＝∠2（____________） ∴∠BF＝______（等量代换） ∵BE 平分∠BF（已知） ∴∠EBF=1 2______（____________） ∵F 平分∠BFG（已知） ∴∠CFB=1 2______（____________） ∴∠EBF＝______ ∴BE∥CF（____________） 【变式8-3】（2022·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）如图，点G在CD上， 已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的 理由． 解：因为∠BAG+∠AGD=180°(已知)， ∠AGC+∠AGD=180°(______)， 所以∠BAG=∠AGC(______)． 因为EA平分∠BAG， 1 所以∠1=1 2 ∠BAG(______)． 因为FG平分∠AGC， 所以∠2=1 2______， 得∠1=∠2(等量代换)， 所以______(______)． 【题型9 平行线判定的实际应用】 【例9】（2022·全国·七年级课时练习）如图，若将木条绕点旋转后使其与木条b 平行，则 旋转的最小角度为( ) ．65° B．85° ．95° D．115° 【变式9-1】（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）如图所示的四种沿B 进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边，b 互相平行的是（ ） ．如图1，展开后测得∠1= 2 ∠ B．如图2，展开后测得∠1= 2 ∠且∠3= 4 ∠ ．如图3，测得∠1= 2 ∠ D．在图4 中，展开后测得∠1+ 2=180° ∠ 【变式9-2】（2022·全国·七年级）一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方 向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是（ ） ．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°． B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°． ．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°． D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°． 【变式9-3】（2022·江苏·南京外国语学校七年级期中）如图，、b、三根木棒钉在一起， ∠1=70° ,∠2=100°，现将木棒、b 同时顺时针旋转一周，速度分别为18 度/秒和3 度/ 1 秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒，b 平行． 1