专题03 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题03 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“”字 模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1“8”字模型..............................................................................................................................................2 模型2“”字模型................................................................................................................................................7 模型3 三角板拼接模型................................................................................................................................. 10 ...............................................................................................................................................14 模型1“8”字模型 “8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。‌ 图1 图2 1）8 字模型（基础型） 条件：如图1，D、B 相交于点，连接B、D；结论：① ；② 。 证明：在∆B 中，∠+∠B+∠B=180°； 在∆D 中，∠+∠D+∠D=180°； ∠ ∵ B=∠D ∠ ∴ +∠B=∠+∠D； 在∆B 中，B＜+B；在∆D 中，D＜+D； ∴B+D＜+B++D=D+B；∴ 。 2）8 字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段P 平分∠BD，线段P 平分∠BD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段P 平分∠BD，线段P 平分∠BD ∠ ∴ BP=∠PD, ∠BP=∠PD ∠ ∵ BP+∠P=∠BP+∠B ① ∠PD+∠P=∠PD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则 ，即2∠P=∠B+∠D 例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，B 和D 相交于点，∠＝∠，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ） ．∠B＝∠D B．∠1＝∠＋∠D ．∠2＞∠D D．∠＝∠D 【答】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】∵∠＋∠D＋∠D＝180°，∠＋∠B＋∠B＝180°，∠＝∠，∠D＝∠B， ∠ ∴ B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项，B，正确，故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 例2．（2023 春·山西临汾·七年级统考期末）如图，求 的度数． 【答】 【分析】连结 ，令 与 交于点 ，由三角形内角和得 ，从而所求角的 和转化为求五边形 的内角和问题解决． 【详解】连结 ，如图，设 与 交于点 ， ∵ ， ， 又∵ ，∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，多边形内角和定理，通过转化为多边形内角和是解题的关键． 例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段 相交于点，连接 ，则我们 把形如这样的图形称为“8 字型”．(1)求证： ；(2)如图2，若 和 的平分 线 和 相交于点P，且与 分别相交于点 ．①若 ，求 的度数； ②若角平分线中角的关系改为“ ”，试探究 与 之间的数量 关系． 【答】(1)见解析(2)① ；② 【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据角平分线的定义得到 ， ，再根据“8 字形”得到 ，两等式相减得到 ，即 ，即可求解．②根据 ，可得 ， ，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得 ，即可求解． 【详解】（1）证明：在 中， ， 在 中， ，∵ ，∴ ； （2）解：①∵ 和 的平分线 和 相交于点P，∴ ， ∵ ①， ②， 由 ，得： ，即 ， ∵ ，∴ ； ②∵ ，∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ，∴ ），故答为： ． 【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8 字形”求解． 例4．（2023 春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段 ， 交于点 ，连接 ， ，判断 与 的大小关系，并说明理由； (2)如图2， 平分 ， 为 上任意一点，在 ， 上截取 ，连接 ， ．求证： ； (3)如图3，在 中， ， 为角平分线 上异于端点的一动点，求证： ． 【答】(1) ；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解 【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知， ， ，两式相加即可得出 结论；（2）根据 证 即可得出结论； （3）在 上取一点 ，使 ，连接 交 于点 ，证 ，即 ，同理证 ，然后同理（1）得 ，变形不等式即可得出结论． 【详解】（1）解： ，理由如下： ， ， ，即 ； （2）证明： 平分 ， ， 在 和 中， ， ， ； （3）证明：在 上取一点 ，使 ，连接 交 于点 ， 是 的角平分线， ， 在 和 中， ， ， ，同理可证 ， ， ， ，即 ， ， ． 【点睛】本题考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题 的关键． 例5．（2023 春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题 (1)如图1 的图形我们把它称为“8 字形”，则 ， ， ， 四个角的数量关系是______； (2)如图2，若 ， 的角平分线 ， 交于点 ，则 与 ， 的数量关系为 ___ ___； (3)如图3， ， 分别平分 ， ，当 时，试求 的度数（提醒：解 决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果 ， ，当 时，则 的度数为______． 【答】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，设 ， ，根据外角的性 质得： ， ，所以 ，最后由三角形内角和定理可得结论；(3)如图 3，延长 、 交于点 ，根据（2）的结论，并将 ，代入可得 结论；（4）如图4，同理计算可得结论． 【详解】（1）在 中， ，在 中， ， ∵ ，∴ 故答为： （2）设 ， ， ∵ ， 分别平分 ， ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，故答为： （3）由（2）可知： ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， （4）如图4，延长 、 交于点 ，设 ， ， ∴ ， ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ， ， ∴ 故答为： 【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用方 程的思想思考问题． 模型2“”字模型 如图，B、分别是∠DE 两边上的点，连结B，形状类似于英文字母，故我们把它称为“”字模型。 条件：如图，在∆B 中，∠1、∠2 分别为∠3、∠4 的外角； 结论：①∠1+∠2=∠+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠+∠B ∠ ∴ 1=∠+180°-∠2 ∠ ∴ 1+∠2=∠+180°。 ②在∆B 中，∠+∠3+∠4=180°；在∆DE 中，∠+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件， 的度数是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据邻补角求得 ，然后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵ ，∴ ，故选：． 【点睛】本题考查了求邻补角，三角形的外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 例2．（23-24 七年级下·福建泉州·期末）如图，在 中， ，若剪去 得到四边形 ，则 ． 【答】235°/235 度 【分析】此题考查了多边形的内角和，先利用三角形内角和为 计算，然后根据邻补角的定义计算即可． 【详解】解：∵ ，∴ ， ∴ ，故答为： ． 例3．（23-24 七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与 的边 ， 分别相交于点 ， （都不与点 重合） (1)若 ，①求 的度数；②如图2，直线 与边 ， 相交得到 和 ，直接写出 的度数(2)如图3， ， 分别平分 和 ，写出 和 的数量关系，并说明理 由； (3)如图4，在四边形 中，点 ， 分别是线段 、线段 上的点， ， 分别平分 和 ，直接写出 与 ， 的关系 【答】(1)① ；② (2) ，理由见解析(3) 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等 知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计 算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答； （3）由（2）的结论可得 ，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ； ②由①方法可得： ． （2）解： ，理由如下：由（1）可得 ． ∵ ， 分别平分 和 ，∴ ， ∴ ， ∴ ． （3）解： ，理由如下：由图2 可得， ， ∵ ， 分别平分 和 ，∴ ， ∴ ， ∴ ． 模型3 三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠=30°，∠=60°，图②中：∠=∠=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、 60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）： 例1．（2023 春·贵州遵义·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ， ，则 ． 【答】 【分析】根据三角形外角性质得出 ， ，再根据三角形的内角和定理和解 答即可． 【详解】解：如图可知： ， ， ， ， ，故答为： ． 【点睛】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答． 例2．（23-24 七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点落在 边上， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质，可得 ， 从而得到 ，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ．故选：D 例3．（2023 春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板 、 ，其中 ， ， ．如图，将三角板 的顶点E 放在 上，移动三角板 ，当点E 从点沿 向 点B 移动的过程中，点E、、D 始终保持在一条直线上．下列结论：①当 时， ；② 逐渐变小；③若直线 与直线 交于点M，则 为定值；④若 的一边与 的某一边平行，则符合条件的点E 的位置有3 个．正确的有 ．（填序号） 【答】①③④ 【分析】①由 即可判断；②过点作 ，即可判断；③分别讨论当直线 与线段 相交、 直线 与线段 的延长线相交即可判断；④根据平行线的判定定理即可进行判断． 【详解】解：①∵ ，点E、、D 始终保持在一条直线上∴ ∵ ∴ 故①正确；②如图1：过点作 当点E 从点移动到点位置时， 的度数在逐渐增大∴ 的度数在逐渐减小 当点E 从点移动到点B 位置时， 的度数在逐渐增大故②错误； ③当直线 与线段 交于点M，如图2：∵ ∴ ∴ 当直线 与线段 的延长线交于点M，如图3：∵ ∴ ∴ 故若直线 与直线 交于点M，则 为定值故③正确； ④当点E 在线段 上时，且 ，则 ； 当点E 在线段 上时，且 ，则 ； 当 时，则 ；∴若 的一边与 的某一边平行，则符合条件的点E 的位 置有3 个故④正确；故答为：①③④ 【点睛】本题以三角板的运动为背景，考查了平行线的判定、三角形的内角和、三角形的外角等知识点． 掌握相关数学结论是解题关键． 例4．（23-24 七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线 上，两个直角顶点重合在一 起，交直线 于点，其中 ， ． (1)如图2，将图1 中的三角板 绕点按逆时针方向旋转，在旋转过程中， 与 的数量关系 是___________；(2)将图1 中的三角板 绕点按逆时针方向旋转至图3 所示的位置，此时 在 的内部， 与 相交于点P，当 时，求 的度数；(3)将图1 中的三角板 绕点按逆 时针方向旋转，当 时， 的度数为___________．（直接写出结果即可） 【答】(1) (2) ；(3) 或 ． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，平 行线的性质，分情况讨论，作出图形是解答此题的关键．（1）利用同角的余角相等，即可得到 ； （2）证明 ，利用两直线平行，同旁内角互补，即可求解； （3）分两种情况讨论，利用平行线的性质结合三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵ ，∴ ，即 ；故答为： ； （2）解：由（1）得 ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ； （3）解：如图，设 与 的交点为 ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ； 如图，设 与 的交点为 ，∵ ，∴ ， ∴ ；综上， 的度数为 或 ．故答为： 或 ． 1．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则 的度数是（ ）． ． B． ． D． 【答】 【分析】利用四边形内角和为 和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵在 中， ，∴ ， ∵ ，∴ 故选：． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和，解题关键在于根据四边形内角和为 和直角 三角形的性质求解． 2．（2024·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中 ， ， 则 等于（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和求出 ， ， 由 ，求出 ，再由外角和是 即可求出答． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质定理、多边形外角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含 角的直角三角板的直角顶点在另一 个三角板的斜边上，若 ，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】利用三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意得： ， ， ， ， ．故选：D． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 4．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图， 的度数为（ ） ．540° B．500° ．460° D．420° 【答】D 【分析】根据三角形内角和定理可得 ，根据平角的定义和四边形内角和可得 ，同理可得 ，据此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ∵ ∴ ， 同理可得： ，∴ ，故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于 是解题的关键． 5．（2023·广东清远·八年级校考阶段练习）如图所示，∠+∠B+∠+∠D+∠E 的结果为（ ） ．90° B．360° ．180° D．无法确定 【答】 【详解】如图，连接B， ∠ ∵ D+∠E+∠DE=∠B+∠B+∠B=180°，∠DE=∠B，∴∠D+∠E=∠B+∠B， 又∵∠+∠B+∠+∠B+∠B=180°，∴∠+∠B+∠+∠D+∠E=180°．故选：． 6．（2024·安徽·八年级校考期中）如图，若 ，则 ． 【答】 /250 度 【分析】按图先进行标注，根据外角性质分别表示出 ， ， ， ，再根据 ，进行求解即可得出 最后结果． 【详解】解：如图，进行标注， 是 的一个外角， ， 是 的一个外角， ，即 ， 是 的一个外角， ， ， 是 的一个外角， ， ，故答为： ． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，圆周角及邻补角的应用，熟练掌握外角性质是解答本题的关键． 7．（2023·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知 ， ． 【答】 /240 度 【分析】由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】连接 ， ， ∴ 又 ， ∴ ．故答为： ． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质 以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 8．（2023·上海七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠 放在一起，当 ，且点E 在直线 的上方时，他发现若 ，则三角板 有