专题06 三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题06 三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握 的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模 型(M 型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型， 这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 .................................................................................................................................................2 模型1 猪蹄模型（M 型与锯齿型）...............................................................................................................2 模型2 铅笔头模型........................................................................................................................................... 3 模型3 牛角模型............................................................................................................................................... 4 模型4 羊角模型............................................................................................................................................... 4 模型5 蛇形模型（“5”字模型）...................................................................................................................5 .................................................................................................................................................6 模型1 猪蹄模型（M 型与锯齿型） 先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M 模型或锯齿模型的，都是根 据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。 ①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。 图1 图2 图3 条件：如图1，①已知：M∥B，结论：∠PB=∠+∠B；②条件：∠PB=∠+∠B，结论：M∥B 证明：如图1，过点P 作PQ∥M， ∵PQ∥M，M∥B，∴PQ∥M∥B，∴∠＝∠PQ，∠B＝∠BPQ， ∠ ∴ +∠B＝∠PQ+∠BPQ＝∠PB，即：∠PB＝∠+∠B． 条件：如图2，已知：M∥B，结论：∠P1+∠P3=∠+∠B+∠P2 证明：根据图1 中结论可得，∠+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 条件：如图3，已知：M∥B，结论：∠P1+∠P3++∠P2+1=∠+∠B+∠P2++∠P2 证明：由图2 的规律得，∠+∠B+∠P2+…+P2＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2+1 例1．（2024·山西·二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束 与 平行射入接收天 线，经反射聚集到焦点 处，若 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，作 ，则 ，结合得出 ，推出 ，最后由 ，即可得解． 【详解】解：如图，作 ，则 ， ， ， ， ，故选：B． 例2．（2024 九年级下·辽宁·学业考试）如图， ， ，则 的度 数为 ． 【答】 /80 度 【分析】本题考查了平行线的性质、等边对等角等知识点，作 可得 ；根据 即可求解 【详解】解：作 ，如图所示：∵ ，∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答为： 例3．（2023 春·河南驻马店·九年级专题练习）已知 ， ， ，若 ，则 为（ ） ．23° B．33° ．44° D．46° 【答】 【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得 ，同样的方法 可得 ，再根据角的倍分可得 ，由此即可得出答． 【详解】如图，过点E 作 ，则 ， ∴ ， ， 同理可得： ， ， ∴ ， ，故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们 青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑 雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直 略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示， ，当人脚与地面的夹角 时，求出此时上身 与水平线的夹角 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】延长 交直线 于点 ，利用平行线的性质得出 ，再由两直线平行，内 错角相等即可得出结果． 【详解】解：延长 交直线 于点 ， ， ， 根据题意得 ， ，故选：． 【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键． 例5．（23-24 七年级下·广东云浮·期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识 后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线 ，直线 是直线 ， 的第三条截线， ， 分别是 ， 的平分线，并且相交于点K． 问题解决： （1） ， 的平分线 ， 所夹的 的度数为______； 问题探究：（2）如图2， ， 的平分线相交于点 ，请写出 与 之间的等量关系， 并说明理由； 拓展延伸：（3）在图3 中作 ， 的平分线相交于点K，作 ， 的平分线相交于 点 ，依此类推，作 ， 的平分线相交于点 ，求出 的度数． 【答】（1） ；（2） ，理由见解析；（3） 【分析】本题考查利用平行线的性质和平行公理的推论探究角的关系(拐点问题)，角平分线的相关计算等 知识，掌握平行线的性质是解题的关键．（1）证明过点K 作 ，则 ，利用平行线的 性质推出 ，继而推出 ， 从而得到 ；（2）与（1）同理可得： ，继而得解；（3）由（2）得 ，同理得 ， ，继而总结规律得 ，从而得解． 【详解】解：（1）如图，过点K 作 ，则 ， ∴ ， ∵ ， 分别是 ， 的平分线，并且相交于点K，∴ ， ∴ ， ∴ ，故答为： ． （2） ．理由：如图，过点 作 ． ， ， ， ， ． ， 的平分线相交于点 ， ， ， ． 由（1），知 ， ． （3）由（2），可知 ．同理，可得 ， ，…… ． 当 时， ． 例6．（2024·上海·八年级校考期中）已知，直线B∥D。（1）如图（1），点G 为B、D 间的一点，联结 G、G．若∠=140°，∠=150°，则∠G 的度数是多少？ （2）如图（2），点G 为B、D 间的一点，联结G、G．∠=x°，∠=y°，则∠G 的度数是多少？ （3）如图（3），写出∠BE、∠EF、∠EFG、∠FG、∠GD 之间有何关系？直接写出结论． 【答】（1）70°；（2）∠G=（x+y）°；（3）∠BE+∠EFG+∠GD=∠EF+∠FG． 【分析】（1）过点G 作GE∥B，利用平行线的性质即可进行转化求解．（2）过点G 作GF∥B，利用平行 线的性质即可进行转化求解．（3）过点E 作EM∥B，过点F 作F∥B，过点G 作GQ∥D，利用平行线的性质 即可进行转化找到角的关系． 【详解】解：（1）如图，过点G 作GE∥B， ∵B∥GE，∴∠+∠GE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∠ ∵ =140°，∴∠GE=40°．∵B∥GE，B∥D，∴GE∥D． ∠ ∴ +∠GE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∠ ∵ =150°，∴∠GE=30°．∴∠G=∠GE+∠GE=40°+30°=70°． （2）如图，过点G 作GF∥B ∵B∥GF，∴∠=GF（两直线平行，内错角相等）． ∵B∥GF，B∥D，∴GF∥D．∴∠=∠GF． ∠ ∴ G=∠GF+∠GF=∠+∠ ．∵∠=x°，∠=y°，∴∠G=（x+y）°． （3）如图所示，过点E 作EM∥B，过点F 作F∥B，过点G 作GQ∥D， ∵B∥D，∴B∥EM∥F∥GQ∥D． ∠ ∴ BE=∠EM，∠MEF=∠EF，∠FG=∠FGQ，∠QG=∠GD（两直线平行，内错角相等）． ∠ ∴ EF=∠BE+∠EF，∠FG=∠FG+GD． ∠ ∵ EF+∠FG=∠EFG，∴∠BE+∠EFG+∠GD=∠EF+∠FG． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键． 模型2 铅笔头模型（子弹模型） 因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才 是关键。 ①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分 图1 图2 图3 条件：如图1，已知：M∥B，结论：∠1+∠2+∠3=360°；（该结论和条件互换结果任然成立）。 证明：在图2 中，过P 作M 的平行线PF，∵B∥D，∴PF∥D， ∠ ∴ 1+∠PF＝180°，∠3+∠PF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 条件：如图2，已知：M∥B，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 证明：在图2 中，过P1作M 的平行线P1E，过点P2作M 的平行线P2F， ∵B∥D，∴P1E∥B∥P2F，∴∠1+∠P1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°， ∠ ∴ 1+∠2+∠3+∠4＝540°； 条件：如图3，已知：M∥B，结论：∠1+∠2+…+∠=（－1）180° 证明：在图3 中，过各角的顶点依次作B 的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠＝（﹣1）180°． 例1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴 的光线 和 经过凸透镜的折射后，折射光线 和折射光线 交主光轴于点P，若 ， ，则 °． 【答】45 【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得到结论．此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟 练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ．故答为：45． 例2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线 ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据 ，得出 ， 结合 ，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：如图：∵ ∴ 则 ∵ ∴ 故选：D 例3．（2023 下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线 ，点E，F 分别是直线 上的两点， 点P 在直线 和 之间，连接 和 的平分线交于点Q，下列等式正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过点P 作 ，过点Q 作 ，可得 ，从而得到 ， ， ， 进而得到 ，再由角平分线的定义可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点P 作 ，过点Q 作 ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ， ，∴ ， ∵ 和 的平分线交于点Q，∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ．故选：． 【点睛】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 例4．（2023 上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形 为一张长方形纸片．如图② 所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（ 、 、 ），则 （度）； （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ 、 、 、 ），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（ 、 、 、 、 ）， 则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是 （度）． 【答】 360 540 720 180 【分析】过点 作 ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于 的 倍； （1）分别过 、 分别作 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于 的 三倍；（2）分别过 、 、 分别作 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和 等于 的四倍；（3）根据前三问个的剪法，剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是 度． 【详解】过 作 （如图②）． ∵原四边形是长方形，∴ ， 又∵ ，∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵ ，∴ （两直线平行，同旁内角互补）． ∵ ，∴ （两直线平行，同旁内角互补）． ∴ ， 又∵ ，∴ ； （）分别过 、 分别作 的平行线，如图③所示， 用上面的方法可得 ； （ ）分别过 、 、 分别作 的平行线，如图④所示， 用上面的方法可得 ； （）由此可得一般规律：剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是 度． 故答为： ； ； ； ． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键， 总结规律求解是本题的难点． 例5．（2023 下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律， 探索问题的解． (1)如图1， ，点E 为 、 之间的一点．求证： ． (2)如图2， ，点E、F、G、为 、 之间的四点．则 ______． (3)如图3， ，则 ______． 【答】(1)证明见详解；(2) ；(3) ； 【分析】（1）过点 作 ，可得 ，根据平行线的性质可得 ， ，再计算角度和即可证明；（2）分别过点E、F、G、作 的平行线，在两相邻平行线 间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知在 、 之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，结合图3 找出和线段条数的关系便可解答； 【详解】（1）证明：如下图，过点 作 ， ∵ ， ，∴ ， 根据两直线平行同旁内角互补可得： ， ， ∴ ，∴ ； （2）解：如下图，分别过点E、F、G、作 ， ， ， ， 结合（1）解答在两相邻平行线间可得： ， ， ， ， ，将所有角度相加可得： ； （3）解：由（2）解答可知在 、 之间每有一条线段便可求得一个180°角度和， 由图3 可知：当 、 之间有2 条线段时， ，当 、 之间有3 条线段时， ， 当 、 之间有4 条线段时， ，当 、 之间有5 条线段时， ，…， 当 、 之间有 条线段时， ，∴ ； 【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组 计算是解题关键． 模型3 牛角模型 因为它长得像犀牛角，故取名牛角模型。 图1 图2 条件：如图1，已知：B∥D，且∠E＝ ，∠BE＝ ，∠DE＝ ，结论： 证明：如图，延长B 交DE 于点F，∵B∥D，∴∠BFE＝∠DF＝ ， ∠ ∵ BE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠BE＝∠DF+∠E，∴ ； 条件：如图2，已知：B∥D，且∠E＝ ，∠BE＝ ，∠DE＝ ，结论： 证明：如图，延长B 交DE 于点F， ∵B∥D，∴∠BFD＝∠DF＝ ，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°- ， ∠ ∵ BE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠BE＝∠E+180°-∠BFD，∴ ； 例1．（2024·山西·模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一．如图1 是某同 学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2 的数学问题：在平面内，已知 ， ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，延长 交 于F，根据两直线平行，同位 角相等得到 ，再由三角形外角的性质即可得到答． 【详解】解：如图所示，延长 交 于F， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：． 例2．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若 ，则（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】如图所示，过点E 作 ，则 ，由平行线的性质得到 ，进一步推出 ． 【详解】解：如图所示，过点E 作 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ，故选． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知B∥D，P 为直线B，D 外一点，BF 平分∠BP，DE 平分 ∠DP，BF 的反向延长线交DE 于点E，若∠FED＝，试用表示∠P 为______． 【答】∠P＝360° 2 ﹣ 【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PD＝2∠3，进而 根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P 和的关系，然后即可用 表示∠P． 【详解】解：延长B 交PD 于点G，延长FE 交D 于点， ∵BF 平分∠BP，DE 平分∠DP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵B∥D，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PD＝2∠3， ∠ ∵ PBG＝180° 2 ﹣∠1，∴∠PBG＝180° 2 ﹣∠5，∴∠5＝90°﹣ ∠PBG， ∠ ∵ FED＝180°﹣∠ED，∠5＝180°﹣∠ED，∠ED＋∠ED＋∠3＝180°， ∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3， ∠ ∴ FED＝180°﹣（90°﹣ ∠PBG）＋ ∠6