专题02 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题02 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、 风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................1 模型1 飞镖模型（燕尾）模型.......................................................................................................................1 模型2 风筝（鹰爪）模型............................................................................................................................... 7 模型3 角内（外）翻模型............................................................................................................................. 11 ...............................................................................................................................................16 模型1 飞镖模型（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖 （回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，凹四边形BD； 结论：① ；② 。 证明：连接并延长至点P；在△B 中，∠BP=∠B+∠B；在△D 中，∠DP=∠D+∠D； 又∵∠BD=∠B+∠D，∠BD=∠BP+∠DP；∴∠BD+∠B+∠D=∠BD。 延长B 交D 于点P；在△BQ 中， ；在△DQ 中， 。 即： ，故 。 拓展模型1：条件：如图2，B 平分∠B，D 平分∠D； 结论：∠= （∠+∠）。 证明：∵B 平分∠B，D 平分∠D；∴∠B= ∠B；∠D= ∠D； 根据飞镖模型：∠BD=∠B+∠D+∠= ∠B+ ∠D+∠；∠BD=∠B+∠D+∠； ∴2∠BD=∠B+∠D+2∠=∠BD+∠；即∠= （∠+∠）。 拓展模型2：条件：如图3，平分∠DB，平分∠BD； 结论：∠= （∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型： = + + ，∴∠DB-∠DB=∠D+∠B， ∵平分∠DB，平分∠BD，∴∠D= ∠DB，∠D= ∠DB， ∠ ∴ D-∠D= （∠DB-∠DB）= （∠D+∠B）， ∠ ∵ DE=∠E，∴∠D+∠D=∠+∠D，∴∠D-∠=∠D-∠D， ∠ ∴ D-∠= （∠D+∠B）,即∠= （∠D-∠B） 例1．（2023·福建南平·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹 四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是 一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠DB=∠+∠B+∠）理由如下： 方法一：如图2，连结B，则在△B 中，∠+∠B+∠B=180°， 即∠1+∠2+∠3+∠4+∠=180°， 又：在△BD 中，∠1+∠2+∠DB=180°， ∠ ∴ DB=∠3+∠4+∠，即∠DB=∠D+∠BD+∠． 方法二：如图3，连结D 并延长至F， ∠ ∵ 1 和∠3 分别是△D 和△BD 的一个外角，．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答】(1)三角形的内角和定理 (2)见解析 【分析】（1）根据解题过程作答即可；（2）连结D 并延长至F，由三角形外角的性质即可证明． 【详解】（1）由解题过程可得，“方法一”主要依据的一个数学定理是三角形的内角和定理， 故答为：三角形的内角和定理； （2）连结D 并延长至F，∵∠1 和∠3 分别是△D 和△BD 的一个外角， ， ，即 ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的 关键． 例2．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如 果 ， ，那么 的度数是（ ）． ． B． ． D． 【答】B 【分析】延长BE 交F 的延长线于，连接，根据三角形内角和定理求出 再利用邻补角的性质求出 ，再根据四边形的内角和求出 ，根据邻补角的性质即可求出 的度数． 【详解】延长BE 交F 的延长线于，连接，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ,故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是 会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和： ． 例3．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1 所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这 样图形叫做“箭头四角形”． 探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若 ，则 ；②如图3， 、 的2 等分线（即角平分线） 、 相交于点 ，若 ， ，求 的度数； 拓展：（3）如图4， ， 分别是 、 的2020 等分线（ ），它们的 交点从上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 度． 【答】（1） ，理由见详解； （2）①30；②95°；（3） 【分析】（1）连接D 并延长至点E，利用三角形外角的性质得出 左右两边相加即可得出结论；（2）①直接利用（1）中的结论 有 ，再把已知的角度代入即可求出答；②先根据 求出 ，然后结合角平分线的定义再利用 即可求解； （3）先根据 求出 ，再求出 的度数，最 后利用 求解即可． 【详解】（1）如图，连接D 并延长至点E，∵ 又∵ ∴ （2）①由（1）可知 ∵ ， ∴ ②由（1）可知 ∵ ， ∴ 平分 ，F 平分 （3）由（1）可知 ∵ ， ∴ ∵ ， 分别是 、 的2020 等分线（ ） ∴ ∴ 【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是解题 的关键． 例4（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形B 中， ，为三角形内任意一点，连结P，并 延长交B 于点D 求证：（1） ；（2） 【详解】（1）∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ∵ ，∴ （2）过点 作 ，交 、 于 、 ，则 ， 由（1）知 ∵ ， ∴ 即 （几何证明中后一问常常要用到前一问的结论） 模型2 风筝（鹰爪）模型 图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠+∠=∠1+∠2； 证明：∵∠1 是三角形B 的外角，∴∠1=∠B+∠B； 同理，∠2=∠+∠； ∠ ∴ 1+∠2=∠B+∠B+∠+∠=∠B+∠+∠B+∠=∠B+∠B=∠+∠。 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠+∠=∠2-∠1。 证明：∵∠1 是三角形B 的外角，∴∠1=∠B+∠B； 同理，∠2=∠D+∠D； ∠ ∴ 2-∠1=∠D+∠D-（∠B+∠B）=（∠D-∠B)+（∠D-∠B） =∠BD+∠BD=∠+∠。 例1．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形BD 中， 、 、 分别为 、 、 的外角判断下列大小关系何者正确？（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据多边形的外角和是 及三角形的外角定理求解判断即可． 【详解】解：如图，连结BD，延长D 到E， ， ， ， 故选项正确，符合题意；B 不正确，不符合题意； 多边形的外角和是 ，∴ ∴ 故选项不正确，不符合题意；选项D 不正确，不符合题意．故选：． 【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是 是解题的基础． 例2．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】已知 ，在 的两边上分别取点B、， 在 的内部取一点，连接 、 ．设 ， ，探索 与 、 、 之间 的数量关系． 【初步感知】如图1，当点在 的边 上时， ，此时 ，则 与 、 、 之间的数量关系是 ． 【问题再探】（1）如图2，当点在 的内部时，请写出 与 、 、 之间的数量关系并说 明理由；（2）如图3，当点在 的外部时， 与 、 、 之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4， 、 的外角平分线相交于点P． ①若 ， ，则 ________°；②若 且 ，则 ________°； ③直接写出 与 、 之间的数量关系； （2）如图5， 的平分线与 的外角平分线相交于点Q，则 ________（用 、 表示）． 【答】[问题再探]（1）结论：∠B=∠B+∠1+∠2．证明见解析；（2）∠B+∠B+∠1+∠2=360°；[拓展延伸] （1）①25；②20；③∠B=∠+2∠P；（2） 【分析】[问题再探]（1）如图2 中，结论： ．连接 ，延长 到 ．利用三 角形的外角的性质解决问题即可．（2）利用四边形内角和定理解决问题即可． [拓展延伸]（1）①求出 ，再利用结论，构建关系式即可解决问题． ②根据 ，可得结论． ③根据 ，可得结论． （2）结论： ．设 ， ．构建方程组求解即可． 【详解】解：[问题再探]（1）如图2 中，结论： ． 理由：连接 ，延长 到 ． ， ， ． （2）如图3 中，结论： ． 理由：连接 ． ， ， ， ． [拓展延伸]①如图4 中， ， ， ， 、 的外角平分线相交于点 ， ， ，故答为：25． ② ， ， ， ，故答为：20． ③ ， ． （2）如图5 中，结论： ．理由：设 ， ． 则有 ．② ①可得， ， 即 ，故答为： ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等 知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形转化为三角形解决，学会利用参数构建方程组解决问 题，属于中考压轴题． 例3．（23-24 七年级下·山东聊城·期末）如图，在 中， ，点 、 是 边 、 上 的点，点 是平面内一动点．令 ， ， ． (1)若点 在线段 上，如图1 所示， ，求 的值； (2)若点 在边 上运动，如图2 所示，则 、 、 之间的关系________； (3)若点 运动到边 的延长线上，如图3 所示，则 、 、 之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点 运动到 外，如图4 所示，则请表示 、 、 之间的关系，并说明理由． 【答】(1) (2) (3)猜想 ，理由见解析(4) ，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）根据 ，可得 ，再根据平角的定义可得 ，则 ；（2）同（1）求解即可； （3）由三角形的外角的性质知： ， ，据此可得结论；（4）由三角形的 外角的性质知： ， ，再由 ，则 ． 【详解】（1）解：∵在四边形 中， （四边形内角和可以看做连 接对角线后两个三角形的内角和）， ， ，∴ ∵ ，∴ ，∴ ； （2）解：∵在四边形 中， （四边形内角和可以看做连接对角线 后两个三角形的内角和）， ，∴ ∵ ，∴ ，∴ ； （3）解：猜想 ，理由如下：设 交于M， 由三角形的外角的性质知： ， ， ，即 ； （4）解： ，理由如下：设 交于M， 由三角形的外角的性质知： ， ， ， ，，即 ， 模型3 角内（外）翻模型 图3 图4 条件：如图3，将三角形纸片B 沿EF 边折叠，当点落在四边形BFE 内部时， 结论：2∠=∠1+∠2； 证明：∵∠1 是三角形’E 的外角，∴∠1=∠E’+∠E’； 同理，∠2=∠F’+∠F’； ∠ ∴ 1+∠2=∠E’+∠E’+∠F’+∠F’=∠E’+∠F’+∠E’+∠F’=∠E’F+∠FE=2∠。 条件：如图4，将三角形纸片B 沿EF 边折叠，当点落在四边形BFE 外部时， 结论：2∠=∠2-∠1。 证明：∵∠1 是三角形’E 的外角，∴∠1=∠E’+∠E’； 同理，∠2=∠F’+∠F’； ∠ ∴ 2-∠1=∠F’+∠F’-（∠E’+∠E’）=（F’-∠E’)+（∠F’--∠E’） =∠E’F+∠FE=2∠。 例1．（23-24 八年级上·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张 的纸片，点 ， 分别在边AB， 上，将 沿着DE折叠压平， 与 重合，若 ，则 ． 【答】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠可得 ， ，进而可得 ，结合 ， 可得 ，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将 沿着 折叠压平， 与 重合， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，故答为： ． 例2．（23-24 八年级下·山东德州·开学考试）如图，把 纸片沿 折叠，当点 落在四边形 的外面时，此时测得 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的 关键．根据折叠的性质得出 ，根据三角形外角的性质得出 ，再次利用 三角形外角的性质即可求出 的度数． 【详解】解：如图，设 与 交于点 ， ， 根据折叠的性质， ， ， ， ， ， ，故选： ． 例3．（2023 春·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将 纸片沿 折叠，使点 落在四边形 内点 的位置．则 之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点 落在四边形 内点 的位置”变为“点 落在四边形 外点 的位置”，则此时 之间的数量关系为：_________； （3）如图3，将四边形纸片 （ ， 与 不平行）沿 折叠成图3 的形状，若 ， ，求 的度数； （4）在图3 中作出 的平分线 ，试判断射线 的位置关系，当点 在 边 上向点 移动时（不与点 重合）， 的大小随之改变（其它条件不变），上述 ， 的位置关系改变吗？为什么？ 【答】（1） ，（2） ；（3） ；（4）位置 不改变， ． 【分析】（1）连接 ，证明 ，结合 ， ， 再利用角的和差关系可得答； （2）连接 ，证明 ，结合 ， ，再利用 角的和差关系可得答；（3）如图，延长 ， 交于点Q，延长 ， 交于点 ，则对折后 与 重合，由（2）的结论可得： ，可得 ，再利用三角形的内角和定 理可得答；（4）如图， 平分 ， 平分 ，可得 ， ，由对折可得： ， ， 由（2）的结论可得： ，即 ，证明 ，可得 ． 【详解】（1）结论： 理由：连接 ， 沿 折叠和 重合，∴ ∵ ， ∴ ． （2） 理由：连接 ， 沿 折叠和 重合，∴ ∵ ， ∴ ； （3）如图，延长 ， 交于点Q，延长 ， 交于点 ，则对折后 与 重合， 由（2）的结论可得： ，而 ， ， ∴ ，∴ ，∵ ，∴ ； （4） ，理由见解析 如图， 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， 由对折可得： ， ， 由（2）的结论可得： ，即 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的 性质并进行解题是关键． 1．（2024 山东七年级期中）如图，把△B 纸片沿DE 折叠，当落在四边形BDE 内时，则∠与∠1+∠2 之间 有始终不变的关系是（ ） ．∠=∠1+∠2 B．2∠=∠1+∠2 ．3=∠1+∠2 D．3∠=2（∠1+∠2） 【答】B 【分析】本题问的是关于角的问题，当然与折叠中的角是有关系的，∠1 与∠ED 的2 倍和∠2 与∠DE 的2 倍 都组成平角，结合△ED 的内角和为180°可求出答． 【详解】∵△B 纸片沿DE 折叠，∴∠1+2∠ED=180°,∠2+2∠DE=180°， ∠ ∴ ED= (180°−∠1),∠DE= (180°−∠2)， ∠ ∴ ED+∠DE= (180°−∠1)+ (180°−∠2)=180°− (∠1+∠2) 在△DE 中,∠=180°−(∠ED+∠DE)=180°−[180°− (∠1+∠2)]= (∠1+∠2) 则2∠=∠1+∠2，故选择B 项 【点睛】本题考查折叠和三角形内角和的性质，