题型8 函数的实际应用 类型2 阶梯费用及行程类问题23题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型二 阶梯费及行程问题用类问题（专题训练） 1．（2023·吉林长春·统考中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步 行登山到山顶，乙先步行15 分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高 度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示． (1)当 时，求乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式； (2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． 【答】(1) ；(2) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）求得甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为 ，联立 ，即可求解． 【详解】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为 ，将 ， 代入得， ， 解得： ， ∴ ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）设甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为 将点 代入得， 解得： ， ∴ ； 联立 解得： ∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为 米 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶 向B 地， 小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶80 千米匀速驶向B 地，货 车到达B 地填装货物耗时15 分钟，然后立即按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离 y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)，B 两地之间的距离是______千米， ______； (2)求线段 所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距15 千米？（直接写出答即可） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】(1)60，1；(2) ；(3) 小时或 小时或 小时 【分析】（1）根据货车从地到B 地花了 小时结合路程 速度时间即可求出、B 两地的 距离；根据货车装货花了15 分钟即可求出的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分两车从前往B 途中相遇前后和货车从B 往途中相遇前后，四种情况建立方程求解即 可． 【详解】（1）解： 千米， ∴，B 两地之间的距离是60 千米， ∵货车到达B 地填装货物耗时15 分钟， ∴ ， 故答为：60，1 （2）解：设线段 所在直线的解析式为 将 ， 代入 ，得 解得 ， ∴线段 所在直线的函数解析式为 （3）解：设货车出发x 小时两车相距15 千米， 由题意得，巡逻车的速度为 千米/小时 当两车都在前往B 地的途中且未相遇时两车相距15 千米，则 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得 （所去）； 当两车都在前往B 地的途中且相遇后两车相距15 千米，则 ， 解得 ； ∵ ， ∴货车装货过程中两车不可能相距15 千米， 当货车从B 地前往地途中且两车未相遇时相距15 千米，则 ， 解得 ； 当货车从B 地前往地途中且两车相遇后相距15 千米，则 ， 解得 ； 综上所述，当货车出发 小时或 小时或 小时时，两车相距15 千米． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际 应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 3．（2023·全国·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天 挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的 任务，甲、乙两组挖掘的长度之和 与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)甲组比乙组多挖掘了__________天． (2)求乙组停工后y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数． 【答】(1)30；(2) ；(3)10 天 【分析】（1）由图可知，前30 天甲乙两组合作，30 天以后甲组单独做，据此计算即可； （2）设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为 ，用待定系数法求解，再结合图象即 可得到自变量x 的取值范围； （3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天 数为，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，前30 天甲乙两组合作，30 天以后甲组单独做， ∴甲组挖掘了60 天，乙组挖掘了30 天， （天） ∴甲组比乙组多挖掘了30 天， 故答为：30； （2）解：设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为 ， 将 和 两个点代入，可得 ， 解得 ， ∴ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）解：甲组每天挖 （千米） 甲乙合作每天挖 （千米） ∴乙组每天挖 （千米），乙组挖掘的总长度为 （千米） 设乙组己停工的天数为， 则 ， 解得 ， 答：乙组己停工的天数为10 天． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得 到有用信息是解题的关键． 4 某商家正在热销一种商品，其成本为30 元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售 量在减少．商家决定当售价为60 元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1 元需支付由 此产生的额外费用150 元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数 关系，（其中 ，且x 为整数） （1）直接写出y 与x 的函数关系式； （2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 【答】（1） ；（2）当售价为70 元时，商家所获利润最 大，最大利润是4500 元 【分析】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可； （2）分别求出当 时与当 时的销售利润解析式，利用二次函数的性 质即可求解． 【详解】 解：（1）当 时，设 ， 将 和 代入，可得 ，解得 ，即 ； 当 时，设 ， 将 和 代入，可得 ，解得 ，即 ； ∴ ； （2）当 时， 销售利润 ， 当 时，销售利润有最大值，为4000 元； 当 时， 销售利润 ， 该二次函数开口向上，对称轴为 ，当 时位于对称轴右侧， 当 时，销售利润有最大值，为4500 元； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴当售价为70 元时，商家所获利润最大，最大利润是4500 元． 【点睛】 本题考查一次函数的应用、二次函数的性质，根据图象列出解析式是解题的关键． 5．（2023·浙江金华·统考中考真题）兄妹俩放学后沿图1 中的马路从学校出发，到书吧看 书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200 米/分． 图2 中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数关 系． (1)求哥哥步行的速度． (2)已知妺妺比哥哥迟2 分钟到书吧． ①求图中 的值； ②妺妺在书吧待了10 分钟后回家，速度是哥哥的 倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若 能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由． 【答】(1) ；(2)① ；②能追上，理由见解析 【分析】（1）结合图表可得 ，根据速度等于路程除以时间，即可解答； （2）①根据妺妺到书吧前的速度为200 米/分，可知 的解析式的k 为200，设 的解 析式为 ，根据妺妺比哥哥迟2 分钟到书吧可得 ，将 代入 ，即可得到一次函数解析式，把 代入一次函数即可得到的值； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将 和 的解析式求出，求两个函数的交点即可． 【详解】（1）解：由图可得 ， （米/分）， ∴哥哥步行速度为100 米/分． （2）①根据妺妺到书吧前的速度为200 米/分，可知 的解析式的k 为200， 设 所在直线为 ，将 代入，得 ， 解得 ． ∴ 所在直线为 ， 当 时， ，解得 ． ∴ ． ②能追上． 如图，根据哥哥的速度没变，可得 的解析式的k 值相同，妹妹的速度减小但仍大于 哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整， 设 所在直线为 ，将 代入，得 ， 解得 ， ∴ ． ∵妺妺的速度是160 米/分． 设 所在直线为 ，将 代入，得 ， 解得 ， ∴ ． 联立方程 ， 解得 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ 米，即追上时兄妺俩离家300 米远． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），从图像中获得正确的信息是解题 的关键． 6 为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库 自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两 种鱼的进价和售价如下表所示： 进价（元/斤） 售价（元/斤） 鲢 鱼 5 草 鱼 销量不超过200 斤的部 分 销量超过200 斤的部 分 8 7 已知老李购进10 斤鲢鱼和20 斤草鱼需要155 元，购进20 斤鲢鱼和10 斤草鱼需要130 元． （1）求 ， 的值； （2）老李每天购进两种鱼共300 斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80 斤且 不超过120 斤，设每天销售鲢鱼 斤（销售过程中损耗不计）． ①分别求出每天销售鲢鱼获利 （元），销售草鱼获利 （元）与 的函数关系式，并 写出 的取值范围； ②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低 元，草鱼售价全部定为7 元斤，为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 了保证当天销售这两种鱼总获利 （元）的最小值不少于320 元，求 的最大值． 【答】（1） ；（2）① ； ；②025 【分析】 （1）根据题意列出关于，b 的二元一次方程组，进而即可求解； （2）①根据利润=（售价-进价）×销售量，列出函数解析式，即可；②根据题意列出关于 x 的一次函数关系式，参数为m，结合一次函数的性质，得到关于m 的不等式，进而即可 求解． 【详解】 解：（1）根据题意得： ，解得 ， （2）① ． 当 时，即： ， ； 当 时，即： ， ． ∴ ， ②由题意得 ，其中 ． ∵当 时， ．不合题意． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． ∴ 随 的增大而增大． ∴当 时， 的值最小， 由题意得 ． 解得： ． ∴ 的最大值为025． 【点睛】 本题主要考查二元一次方程组以及一次函数的实际应用，根据数量关系；列出方程组以及 一次函数解析式，是解题的关键． 7．（2023·浙江宁波·统考中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7： 00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图 1）到爱国主义育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地 的地方追上大巴并继续 前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生 同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（）的函数关系如图2 所示． (1)求大巴离营地的路程s 与所用时间t 的函数表达式及的值， (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 【答】(1) ， ；(2) 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将 ，代入解析 式求出 的值即可； （2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用 总时间减去两段时间即可得解． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s 与所用时间t 的函数表达式为 ，由图象 可知，直线过点 ， ∴ ，解得： ， ∴ ； 当 时： ，解得： ， ∴ ； （2）由图象可知，军车的速度为： ， ∴军车到达仓库所用时间为： ， 从仓库到达基地所用时间为： ， ∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为 ． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数 解析式，是解题的关键． 8 某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1 小时后，学校 因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40 千米/小时，轿车行驶的速 度是60 千米/小时． (1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？ (2)如图，图中B，B 分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t （小时）的函数关系的图象．试求点B 的坐标和B 所在直线的解析式； (3)假设大巴出发小时后轿车出发追赶，轿车行驶了15 小时追上大巴，求的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】(1)轿车出发后2 小时追上大巴，此时，两车与学校相距120 千米 (2)点B 的坐标是 ，s＝60t－60(3) 小时 【分析】(1)设轿车行驶的时间为x 小时，则大巴行驶的时间为 小时，根据路程两车 行驶的路程相等得到 即可求解； (2)由(1)中轿车行驶的时间求出点B 的坐标是 ，进而求出直线B 的解析式； (3)根据大巴车行驶路程与小轿车行驶路程相等即可得到 ，进而求出的 值 (1)解：设轿车行驶的时间为x 小时，则大巴行驶的时间为 小时． 根据题意，得: , 解得x＝2． 则 千米， ∴轿车出发后2 小时追上大巴，此时，两车与学校相距120 千米． (2)解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3 小时， ∴点B 的坐标是 ． 由题意，得点的坐标为 ． 设B 所在直线的解析式为 ， 则： 解得k＝60，b＝－60． B ∴ 所在直线的解析式为s＝60t－60． (3)解：由题意，得 ， 解得： ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 故的值为 小时． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键 是读懂题意，明确图像中横坐标与纵坐标代表的含义． 9．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）一条笔直的路上依次有 三地，其中 两地 相距1000 米．甲、乙两机器人分别从 两地同时出发，去目的地 ，匀速而行．图 中 分别表示甲、乙机器人离 地的距离 （米）与行走时间 （分钟）的函数关系 图象． (1)求 所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到 地后，再经过1 分钟乙机器人也到 地，求 两地间的距离． 【答】(1) ；(2)出发后甲机器人行走 分钟，与乙机器人相遇；(3) 两地间的 距离为600 米 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法求出 所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可； （3）列出方程即可解决． 【详解】（1）∵ ， ∴ 所在直线的表达式为 ． （2）设 所在直线的表达式为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ 解得 ∴ ． 甲、乙机器人相遇时，即 ，解得 ， ∴出发后甲机器人行走 分钟，与乙机器人相遇． （3）设甲机器人行走分钟时到 地， 地与 地距离 ， 则乙机器人 分钟后到 地， 地与 地距离 ， 由 ，得 ． ∴ ． 答： 两地间的距离为600 米． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方 程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键． 10，B 两地相距 ，甲、乙两人分别开车从地出发前往B 地，其中甲先出发 ，如 图是甲，乙行驶路程 随行驶时间 变化的图象，请结合图象信息．解答 下列问题： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)填空：甲的速度为___________ ；(2)分别求出 与x 之间的函数解析式； (3)求出点的坐标，并写点的实际意义． 【答】(1)60(2) ， (3)点的坐标为 ，点的实际意义为：甲出发 时，乙追上甲，此时两人距地 【分析】（1）观察图象，由甲先出发 可知甲从地到B 地用了 ，路程除以时间即为速 度； （2）利用待定系数法分别求解即可； （3）将 与x 之间的函数解析式联立，解二元一次方程组即可． (1)解：观察图象，由甲先出发 可知甲从地到B 地用了 ， ∵，B 两地相距 ， ∴甲的速度为 ， 故答为：60； (2)解：设 与x 之间的函数解析式为 ， 将点 ， 代入得 ，解得 ， ∴ 与x 之间的函数解析式为 ， 同理，设 与x 之间的函数解析式为 ， 将点 ， 代入得 ， 解得 ， ∴ 与x 之间的函数解析式为 ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (3)解：将 与x 之间的函数解析式联立得， ，解得 ，∴点的坐标为 ， 点的实际意义为：甲出发 时，乙追上甲，此时两人距地 ． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及到求一次函数解析式，求直线交点坐标等知 识点，读懂题意，从所给图象中找到相关信息是解题的关键． 11．（2023·天津·统考中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上， 文具店离宿舍 ，体育场离宿舍 ，张强从宿舍出发，先用了 匀速跑步去体 育场，在体育场锻炼了 ，之后匀速步行了 到文具店买笔，在文具店停留 后，用了 匀速散步返回宿舍．下面图中x 表示时间，y 表示离宿舍的距离．图 象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 12 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________ ； ③当 时，请直接写出张强离宿舍的距离y 关于时间x 的函数解析式； (2)当张强离开体育场 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果 李明的速度为 ，那