题型8 函数的实际应用 类型3 利润最值问题29题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型三 利润最值问题（专题训练） 1．（2023·四川遂宁·统考中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日， 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进 甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2 元， 用1000 元购进甲种粽子的个数与用1200 元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共200 个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽 子个数的2 倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12 元/个、15 元/个，设购进甲种粽子m 个， 两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与m 的函数关系式，并求出m 的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答】(1)甲粽子每个的进价为10 元，则乙粽子每个的进价为12 元； (2)①与m 的函数关系式为 ；②购进甲粽子134 个，乙粽子66 个才 能获得最大利润，最大利润为466 元 【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x 元，则乙粽子每个的进价为 元，根据“用 1000 元购进甲种粽子的个数与用1200 元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方 程即可； （2）①设购进甲粽子m 个，则乙粽子 个，，由题意得 ，再由甲种粽 子的个数不低于乙种粽子个数的2 倍，得 ； ②由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲粽子每个的进价为x 元，则乙粽子每个的进价为 元， 由题意得： ， 解得： ， 经检验： 是原方程的解，且符合题意， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 则 ， 答：甲粽子每个的进价为10 元，则乙粽子每个的进价为12 元； （2）解：①设购进甲粽子m 个，则乙粽子 个，利润为元， 由题意得： ， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2 倍， ∴ ， 解得： ， ∴与m 的函数关系式为 ； ②∵ ，则随m 的增大而减小， ，即m 的最小整数为134， ∴当 时，最大，最大值 ， 则 ， 答：购进甲粽子134 个，乙粽子66 个才能获得最大利润，最大利润为466 元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题 的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元 一次不等式． 2 某种商品每件的进价为10 元，若每件按20 元的价格销售，则每月能卖出360 件；若每 件按30 元的价格销售，则每月能卖出60 件．假定每月的销售件数y 是销售价格x（单位： 元）的一次函数． (1)求y 关于x 的一次函数解析式； (2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润． 【答】(1) (2)价格为21 元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630 元 【分析】（1）设 ，把 ， 和 ， 代入求出k、b 的 值，从而得出答； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数 的性质求解可得答． (1)解：设 ，把 ， 和 ， 代入可得 ，解得 ， 则 ； (2)解：每月获得利润 ． ∵ ， ∴当 时，P 有最大值，最大值为3630． 答：当价格为21 元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630 元． 【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题 意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次 函数求最值． 3．（2023·云南·统考中考真题）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听 蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲 健康有序发展的指导意见》精神，需要购买 两种型号的帐篷．若购买 种型号帐篷2 顶和 种型号帐篷4 顶，则需5200 元；若购买 种型号帐篷3 顶和 种型号帐篷1 顶，则 需2800 元． (1)求每顶 种型号帐篷和每顶 种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买 两种型号的帐篷共20 顶（两种型号的帐篷均需购买），购买 种 型号帐篷数量不超过购买 种型号帐篷数量的 ，为使购买帐篷的总费用最低，应购买 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 种型号帐篷和 种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【答】(1)每顶 种型号帐篷的价格为600 元，每顶 种型号帐篷的价格为1000 元 (2)当 种型号帐篷为5 顶时， 种型号帐篷为15 顶时，总费用最低，为18000 元 【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答； （2）根据购买 种型号帐篷数量不超过购买 种型号帐篷数量的 ，列出一元一次不等式， 得出 种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取 种型号帐篷数量的最大值时总 费用最少，从而得出答． 【详解】（1）解：设每顶 种型号帐篷的价格为 元，每顶 种型号帐篷的价格为 元． 根据题意列方程组为： ， 解得 ， 答：每顶 种型号帐篷的价格为600 元，每顶 种型号帐篷的价格为1000 元． （2）解：设 种型号帐篷购买 顶，总费用为 元，则 种型号帐篷为 顶， 由题意得 ， 其中 ，得 ， 故当 种型号帐篷为5 顶时，总费用最低，总费用为 ， 答：当 种型号帐篷为5 顶时， 种型号帐篷为15 顶时，总费用最低，为18000 元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出 准确的等量关系及不等关系是解题的关键． 4 某服装店以每件30 元的价格购进一批T 恤，如果以每件40 元出售，那么一个月内能售 出300 件，根据以往销售经验，销售单价每提高1 元，销售量就会减少10 件，设T 恤的 销售单价提高 元． （1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360 元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 利润是多少元？ 【答】（1）2 元；（2）当服装店将销售单价50 元时，得到最大利润是4000 元 【分析】 （1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答； （2）设利润为M 元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的 的值， 从而得到答． 【详解】 （1）由题意列方程得：（x＋40-30） （300-10x）＝3360 解得：x1＝2，x2＝18 ∵要尽可能减少库存， x2 ∴ ＝18 不合题意，故舍去 T ∴ 恤的销售单价应提高2 元； （2）设利润为M 元，由题意可得： M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10x2＋200x＋3000＝ ∴当x＝10 时，M 最大值＝4000 元 ∴销售单价：40＋10＝50 元 ∴当服装店将销售单价50 元时，得到最大利润是4000 元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次 函数的性质，从而完成求解． 5．（2023·江苏扬州·统考中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增 大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20 只，乙种头盔30 只，共花费2920 元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11 元． (1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ (2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40 只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如 下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6 元出售．如果此次购买甲种头盔的 数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用 最小？最小费用是多少元？ 【答】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65 元， 54 元． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)购14 只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976 元 【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x 元，则甲种头盔的单价为 元，根据题意， 得 ，求解； （2）设购m 只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为,则 ，解得 ，故最小整数解为 ， ，根据一次函数增减性，求得最小值= ． 【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x 元，则甲种头盔的单价为 元，根据题 意，得 解得， ， ， 答：甲、乙两种头盔的单价各是65 元， 54 元． （2）解：设购m 只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为, 则 ，解得 ，故最小整数解为 ， ， ∵ ，则随m 的增大而增大， ∴ 时，取最小值，最小值 ． 答：购14 只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976 元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不 等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键． 6 某企业投入60 万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按上订单生产并销售（生产量 等于销售量）．经测算，该产品上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函 数关系式y＝24－x，第一年除60 万元外其他成本为8 元/件． (1)求该产品第一年的利润（万元）与售价x 之间的函数关系式； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)该产品第一年利润为4 万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成 本）后，其他成本下降2 元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年， 销售量不超过13 万件，则第二年利润最少是多少万元？ 【答】(1) (2)①第一年的售价为每件16 元，②第二年的最低利润为 万元． 【分析】（1）由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得 答； （2）①把 代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润 乘以销售的数量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围 即可得到答． (1)解：由题意得： (2)①由（1）得：当 时， 则 即 解得： 即第一年的售价为每件16 元， ② 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13 万件， 解得： 其他成本下降2 元/件， ∴ 对称轴为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 当 时，利润最高，为77 万元，而 当 时， （万元） 当 时， （万元） 所以第二年的最低利润为 万元． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系 式，再利用二次函数的性质解题是关键． 7．（2023·四川内江·统考中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果． 某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所 示： 水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克） 甲 20 乙 b 23 该超市购进甲种水果15 千克和乙种水果5 千克需要305 元；购进甲种水果20 千克和乙种 水果10 千克需要470 元． (1)求，b 的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100 千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于 30 千克，且不大于80 千克．实际销售时，若甲种水果超过60 千克，则超过部分按每千克 降价3 元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x （千克）之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； (3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千 克降价 元，乙种水果每千克降价m 元，若要保证利润率（ ）不低于 ， 求m 的最大值． 【答】(1) ；(2) ；(3)12 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种水果的数量的数量为x 千克，则购进乙种水果的数量的数量为 千 克，根据题意分两种情况： 和 ，然后分别表示出总利润即可； （3）首先根据题意求出y 的最大值，然后根据保证利润率（ ）不低于 列出不等式求解即可． 【详解】（1）由题意列方程组为： ， 解得 ； （2）设购进甲种水果的数量的数量为x 千克，则购进乙种水果的数量的数量为 千 克， ∴当 时， ； 当 时， ； 综上所述， ； （3）当 时， ， ∴当 时，y 取最大值，此时 （元）， 当 时， ， ∴ （元）， ∴由上可得：当 时，y 取最大值520（元）， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴由题意可得， ， ∴解得 ． ∴m 的最大值为12． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用， 解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 8 某水果店将标价为10 元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为81 元/斤，并且两次 降价的百分率相同． （1）求该水果每次降价的百分率； （2）从第二次降价的第1 天算起，第x 天（x 为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信 息如下表所示： 时间（天） x 销量（斤） 120 x ﹣ 储藏和损耗费用（元） 3x2 64x+400 ﹣ 已知该水果的进价为41 元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y 与x （1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？ 【答】（1）10%；（2）y＝﹣3x2+60x+80，第9 天时销售利润最大，最大利润是377 元 【解析】 【分析】 （1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率； （2）根据题意和表格中的数据，可以求得y 与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，然后利 用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少． 【详解】 解：（1）设该水果每次降价的百分率为x， 10（1 x ﹣）2＝81， 解得，x1＝01，x2＝19（舍去）， 答：该水果每次降价的百分率是10%； （2）由题意可得， y＝（81 41 ﹣ ）×（120 x ﹣）﹣（3x2 64x+400 ﹣ ）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x 10 ﹣ ）2+380， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 1≤x ∵ ＜10， ∴当x＝9 时，y 取得最大值，此时y＝377， 由上可得，y 与x（1≤x＜10）之间的函数解析式是y＝﹣3x2+60x+80，第9 天时销售利润 最大，最大利润是377 元． 【点睛】 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次 函数的性质和方程的知识解答． 9（2023·广东深圳·统考中考真题）某商场在世博会上购置，B 两种玩具，其中B 玩具的单 价比玩具的单价贵25 元，且购置2 个B 玩具与1 个玩具共花费200 元． (1)求，B 玩具的单价； (2)若该商场要求购置B 玩具的数量是玩具数量的2 倍，且购置玩具的总额不高于20000 元， 则该商场最多可以购置多少个玩具？ 【答】(1)、B 玩具的单价分别为50 元、75 元；(2)最多购置100 个玩具． 【分析】（1）设玩具的单价为x 元每个，则B 玩具的单价为 元每个；根据“购置2 个B 玩具与1 个玩具共花费200 元”列出方程即可求解； （2）设玩具购置y 个，则B 玩具购置 个，根据“购置玩具的总额不高于20000 元”列 出不等式即可得出答． 【详解】（1）解：设玩具的单价为x 元，则B 玩具的单价为 元； 由题意得： ； 解得： ， 则B 玩具单价为 （元）； 答：、B 玩具的单价分别为50 元、75 元； （2）设玩具购置y 个，则B 玩具购置 个， 由题意可得： ， 解得： ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴最多购置100 个玩具． 【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关 键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系． 10 国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了 解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200 元购进甲种水果的重量与用1500 元购进乙种水果的重量相同． （1）求 的值； （2）若超市购进这两种水果共100 千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3 倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答】（1）16；（2）购进甲种水果75 千克，则乙种水果25 千克，获得最大利润425 元 【分析】 （1）根据用1200 元购进甲种水果的重量与用1500 元购进乙种水果的重量相同列出分式方 程，解之即可； （2）设购进甲种水果m 千克，则乙种水果100-m 千克，利润为y，列出y 关于m 的表达式， 根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3 倍，求出m 的范围，再利用一次函数的性质 求出最大值． 【详解】 解：（1）由题意可知： ， 解得：x=16， 经检验：x=16 是原方程的解； （2）设购进甲种水果m 千克，则乙种水果100-m 千克，利润为y， 由题意可知： y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3 倍， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm m≥3 ∴ （100-m）， 解得：m≥75，即75≤m＜100， 在y=-m+500 中，-1＜0，则y 随m 的增大而减小， ∴当m=75 时，y 最大，且为-75+500=425 元， ∴购进甲种水果75 千克，则乙种水果25 千克，获得最大利润425 元． 【点睛】 本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表 达式． 11．（2023·湖北荆州·统考中考真题）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进 ， 两种文 创饰品对游客销