题型8 函数的实际应用 类型1 最优方案问题22题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型一 最优方问题（专题训练） 1 某文化用品商店出售书包和文具盒，书包每个定价40 元，文具盒每个定价10 元，该店 制定了两种优惠方：方一，买一个书包赠送一个文具盒；方二：按总价的九折付款，购买 时，顾客只能选用其中的一种方．某学校为给学生发奖品，需购买5 个书包，文具盒若干 （不少于5 个）．设文具盒个数为x（个），付款金额为y（元）． （1）分别写出两种优惠方中y 与x 之间的关系式；方一：y1=_________；方二： y2=__________． （2）若购买20 个文具盒，通过计算比较以上两种方中哪种更省钱？ （3）学校计划用540 元钱购买这两种奖品，最多可以买到__________个文具盒（直接回 答即可）． 【答】（1）10x+150；9x+180；（2）详解见解析；（3）40 【解析】（1）由题意，可得y1=40×5+10（x–5）=10x+150，y2=（40×5+10x） ×09=9x+180． 故答为：10x+150，9x+180； （2）当x=20 时，y1=10×20+150=350，y2=9×20+180=360， 因为350<360，所以可看出方一省钱； （3）如果10x+150≤540，那么x≤39，如果9x+180≤540，那么x≤40，所以学校计划用540 元钱购买这两种奖品，最多可以买到40 个文具盒．故答为：40． 【名师点睛】（1）根据方一，买一个书包赠送一个文具盒；方二：按总价的九折付款，即 可得出两种优惠方中y 与x 之间的关系式； （2）将x=20 分别代入（1）中关系式，通过计算比较两种方中哪种更省钱即可； （3）根据购买时，顾客只能选用其中的一种方，所以分别求出y≤540 时两种方中x 的最大 整数值，比较即可得到答． 2．（2023·浙江·统考中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅 提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方，如图所示，员工可以任选一种 方与公司签订合同．看图解答下列问题： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方付给的报酬一样多； (2)求方二y 关于x 的函数表达式； (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方． 【答】(1)30 件；(2) ；(3)若每月生产产品件数不足30 件，则选择方二；若每 月生产产品件数就是30 件，两种方报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过 30 件，则选择方一 【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答； （2）由图象可得点 ，设方二的函数表达式为 ，利用待定系数法 即可得到方二y 关于x 的函数表达式； （3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为 ，即员工生产30 件产品时，两种方付 给的报酬一样多； （2）由图象可得点 ，设方二的函数表达式为 ， 把 代入上式，得 解得 ∴方二的函数表达式为 ． （3）若每月生产产品件数不足30 件，则选择方二； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 若每月生产产品件数就是30 件，两种方报酬相同，可以任选一种； 若每月生产产品件数超过30 件，则选择方一． 【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确 信息和掌握待定系数法是解题的关键． 3．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）某搬运公司计划购买，B 两种型号的机器搬运货物， 每台型机器比每台B 型机器每天少搬运10 吨货物，且每台型机器搬运450 吨货物与每台B 型机器搬运500 吨货物所需天数相同． (1)求每台型机器，B 型机器每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台型机器售价15 万元，每台B 型机器售价2 万元，该公司计划采购两种型号机器共 30 台，满足每天搬运货物不低于2880 吨，购买金额不超过55 万元，请帮助公司求出最省 钱的采购方． 【答】(1)每台型机器，B 型机器每天分别搬运货物90 吨和100 吨；(2)当购买型机器人12 台，B 型机器人18 台时，购买总金额最低是54 万元． 【分析】（1）设每台B 型机器每天搬运x 吨，则每台型机器每天搬运 吨，根据题 意列出分式方程，解方程、检验后即可解答； （2 设公司计划采购型机器m 台，则采购B 型机器 台，再题意列出一元一次不等式 组，解不等式组求出m 的取值范围，再列出公司计划采购型机器m 台与采购支出金额的函 数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设每台B 型机器每天搬运x 吨，则每台型机器每天搬运 吨, 由题意可得： ，解得： 经检验， 是分式方程 的解 每台型机器每天搬运 吨 答：每台型机器，B 型机器每天分别搬运货物90 吨和100 吨 （2）解：设公司计划采购型机器m 台，则采购B 型机器 台 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 由题意可得： ,解得： ， 公司采购金额： ∵ ∴随m 的增大而减小 ∴当 时，公司采购金额有最小值，即 ， ∴当购买型机器人12 台，B 型机器人18 台时，购买总金额最低是54 万元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点， 理解题意正确列出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键． 4 为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2 瓶型消毒液和3 瓶B 型消毒液共 需41 元，5 瓶型消毒液和2 瓶B 型消毒液共需53 元． （1）这两种消毒液的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种消毒液共90 瓶，且B 型消毒液的数量不少于型消毒液数量的 ， 请设计出最省钱的购买方，并求出最少费用． 【答】（1） 种消毒液的单价是7 元， 型消毒液的单价是9 元；（2）购进 种消毒液 67 瓶，购进 种23 瓶，最少费用为676 元 【分析】 （1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可； （2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种 消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方． 【详解】 解：（1）设 种消毒液的单价是 元， 型消毒液的单价是 元． 由题意得： ，解之得， ， 答： 种消毒液的单价是7 元， 型消毒液的单价是9 元． （2）设购进 种消毒液 瓶，则购进 种 瓶，购买费用为 元． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 则 ， ∴ 随着 的增大而减小， 最大时， 有最小值． 又 ，∴ ． 由于 是整数， 最大值为67， 即当 时，最省钱，最少费用为 元． 此时， ． 最省钱的购买方是购进 种消毒液67 瓶，购进 种23 瓶． 【点睛】 本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问 题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解． 5．（2023·云南·统考中考真题）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听 蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲 健康有序发展的指导意见》精神，需要购买 两种型号的帐篷．若购买 种型号帐篷2 顶和 种型号帐篷4 顶，则需5200 元；若购买 种型号帐篷3 顶和 种型号帐篷1 顶，则 需2800 元． (1)求每顶 种型号帐篷和每顶 种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买 两种型号的帐篷共20 顶（两种型号的帐篷均需购买），购买 种 型号帐篷数量不超过购买 种型号帐篷数量的 ，为使购买帐篷的总费用最低，应购买 种型号帐篷和 种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【答】(1)每顶 种型号帐篷的价格为600 元，每顶 种型号帐篷的价格为1000 元 (2)当 种型号帐篷为5 顶时， 种型号帐篷为15 顶时，总费用最低，为18000 元 【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答； （2）根据购买 种型号帐篷数量不超过购买 种型号帐篷数量的 ，列出一元一次不等式， 得出 种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取 种型号帐篷数量的最大值时总 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 费用最少，从而得出答． 【详解】（1）解：设每顶 种型号帐篷的价格为 元，每顶 种型号帐篷的价格为 元． 根据题意列方程组为： ， 解得 ， 答：每顶 种型号帐篷的价格为600 元，每顶 种型号帐篷的价格为1000 元． （2）解：设 种型号帐篷购买 顶，总费用为 元，则 种型号帐篷为 顶， 由题意得 ， 其中 ，得 ， 故当 种型号帐篷为5 顶时，总费用最低，总费用为 ， 答：当 种型号帐篷为5 顶时， 种型号帐篷为15 顶时，总费用最低，为18000 元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出 准确的等量关系及不等关系是解题的关键． 6．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用 、 两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）． 型车每辆租金 元， 型车每辆租金 元．若辆 型和 辆 型车坐满后共载客 人；辆 型和 辆 型车坐满后共载 客 人． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)每辆 型车、 型车坐满后各载客多少人？ (2)若该校计划租用 型和 型两种客车共 辆，总租金不高于 元，并将全校 人载 至目的地．该校有几种租车方？哪种租车方最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用 、 两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从 学校到夏令营目的地的路程为 千米，甲车从学校出发 小时后，乙车才从学校出发， 却比甲车早 小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间 （小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相 距 千米． 【答】(1)每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人；(2)共有 种租车方，租辆 型 车， 辆 型车最省钱；(3)在甲乙两车第一次相遇后，当 小时或 小时时，两车相距 千米 【分析】（1）设每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人，由题意列出二元一次方程 组，解方程组即可求解； （2）设租用 型车 辆，则租用 型车 辆，由题意列出一元一次不等式组，解不 等式组，求整数解即可得出 的值，设总租金为 元，根据一次函数的性质即可求解； （3）设 ， ，由题意可知，甲车的函数图像经过 ；乙车的函数图 像经过 ， 两点．求出函数解析式，进而即可求解． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】（1）解：设每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人，由题意得 解得 答：每辆 型车、 型车坐满后各载客 人、 人 （2）设租用 型车 辆，则租用 型车 辆，由题意得 解得： 取正整数， ，，， 共有 种租车方 设总租金为 元，则 随着 的增大而减小 时， 最小 租辆 型车， 辆 型车最省钱 （3）设 ， ． 由题意可知，甲车的函数图象经过 ；乙车的函数图象经过 ， 两点． ∴ ， ，即 解得 或 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得 所以，在甲乙两车第一次相遇后，当 小时或 小时时，两车相距25 千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用， 根据题意找到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键． 7 某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方． 方一：没有底薪，只付销售提成； 方二：底薪加销售提成． 如图中的射线 ，射线 分别表示该鲜花销售公司每月按方一，方二付给销售人员的工资 （单位：元）和 （单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（ ）的函 数关系． （1）分别求 ﹑ 与x 的函数解析式（解析式也称表达式）； （2）若该公司某销售人员今年3 月份的鲜花销售量没有超过70 千克，但其3 月份的工资 超过2000 元．这个公司采用了哪种方给这名销售人员付3 月份的工资？ 【答】（1） ， ；（2） 【分析】 （1）根据图像中l1 和l2 经过的点，利用待定系数法求解即可； （2）分别根据方一和方二列出不等式组，根据解集情况判断即可． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】 解：（1）根据图像，l1 经过点（0，0）和点（40，1200）， 设 的解析式为 ，则 ， 解得： ， l1 ∴ 的解析式为 ， 设 的解析式为 ， 由l2 经过点（0，800），（40，1200）， 则 ，解得： ， l2 ∴ 的解析式为 ； （2）方一： ，即 ， 解得： ； 方二： ，即 ，即 ，无解， ∴公司没有采用方二， ∴公司采用了方一付给这名销售人员3 月份的工资． 【点睛】 本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是结合图像，求 出两种方对应的解析式． 8．（2023·河南·统考中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能 选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300 元减80 元．（如：所购商品原价为300 元，可减80 元， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 需付款220 元；所购商品原价为770 元，可减160 元，需付款610 元） (1)购买一件原价为450 元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． (2)购买一件原价在500 元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等， 求一件这种健身器材的原价． (3)购买一件原价在900 元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动 一更合算？设一件这种健身器材的原价为元，请直接写出的取值范围． 【答】(1)活动一更合算；(2)400 元；(3)当 或 时，活动二更合算 【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可； （2）设这种健身器材的原价是 元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列 方程求解即可； （3）由题意得活动一所需付款为 元，活动二当 时，所需付款为 元，当 时，所需付款为 元，当 时，所需付款为 元，然后根 据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：购买一件原价为450 元的健身器材时， 活动一需付款： 元，活动二需付款： 元， ∴活动一更合算； （2）设这种健身器材的原价是 元， 则 ， 解得 ， 答：这种健身器材的原价是400 元， （3）这种健身器材的原价为元， 则活动一所需付款为： 元， 活动二当 时，所需付款为： 元， 当 时，所需付款为： 元， 当 时，所需付款为： 元， ①当 时， ，此时无论 为何值，都是活动一更合算，不符合题意， ②当 时， ，解得 ， 即：当 时，活动二更合算， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ③当 时， ，解得 ， 即：当 时，活动二更合算， 综上：当 或 时，活动二更合算． 【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题， 注意分类讨论的应用． 9 某通讯公司就手机流量套餐推出三种方，如下表： 方 B 方 方 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） ，B，三种方每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示． （1）请直接写出m，的值． （2）在方中，当每月使用的流量不少于1024 兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使 用的流量x（兆）之间的函数关系式． （3）在这三种方中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择方最划算？ 【答】（1） ；（2） ；（3）当每月使用的 流量超过3772 兆时，选择方最划算 【分析】 （1）m 的值可以从图象上直接读取，的值可以根据方和方B 的费用差和流量差相除求得； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）计算出方的图象与方B 的图象的交点表示的数值即可求解． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】 解：（1） ． （2）设函数表达式为 ， 把 ， 代入 ，得 ， 解得 ， y ∴关于x 的函数表达式 ． （注：x 的取值范围对考生不作要求） （3） （兆）． 由图象得，当每月使用的流量超过3772 兆时，选择方最划算． 【点睛】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用 数形结合的思想解答． 10．（2023·湖北荆州·统考中考真题）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进 ， 两种文 创饰品对游客销售．已知1400 元采购 种的件数是630 元采购 种件数的2 倍， 种的进 价比 种的进价每件多1 元，两种饰品的售价均为每件15 元；计划采购这两种饰品共600 件，采购 种的件数不低于390 件，不超过 种件数的4 倍． (1)求 ， 饰品每件的进价分别为多少元？ (2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购 种超过150 件时， 种超过的 部分按进价打6 折．设购进 种饰品 件， ①求 的取值范围； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方，并求出最大利润． 【答】(1) 种饰品每件进价为10 元，B 种饰品每件进价为9 元；(2)① 且 为 整数，②当采购 种饰品210 件，B 种饰品390 件时，商铺获利最大，最大利润为3630 元 【分析】（1）分别设出 ， 饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可； （2）①依据题意列出不等式即可； ②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到李荣最大值． 【详解】（1）（1）设 种饰品每件的进价为 元，则B 种饰品每件的进价为 元． 由题意得： ，解得： ， 经检验， 是所列方程的根，且符合题意． 种饰品每件进价为10 元，B 种饰品每件进价为9 元． （2）①根据题