题型9 二次函数综合题 类型2 二次函数与线段有关的问题27题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型二 二次函数与线段有关的问题（专题训练） 1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，其中 ， ． (1)求该抛物线的表达式； (2)点 是直线 下方抛物线上一动点，过点 作 于点 ，求 的最大值及此 时点 的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点 为点 的对应点，平移后的抛物 线与 轴交于点 ， 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以 为腰 的 是等腰三角形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的过程写出来． 【答】(1) ；(2) 取得最大值为 ， ；(3) 点的坐标为 或 或 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）直线 的解析式为 ，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，设 ，则 ，则 ，进而根据二次函数的性质即可求解； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）根据平移的性质得出 ，对称轴为直线 ，点 向右平 移5 个单位得到 ， ，勾股定理分别表示出 ，进而分类讨论 即可求解． 【详解】（1）解：将点 ， ．代入 得， 解得： ， ∴抛物线解析式为： ， （2）∵ 与 轴交于点 ， ， 当 时， 解得： ， ∴ , ∵ ． 设直线 的解析式为 ， ∴ 解得： ∴直线 的解析式为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 如图所示，过点 作 轴于点 ，交 于点 ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当 时， 取得最大值为 ， ， ∴ ； （3）∵抛物线 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 将该抛物线向右平移个单位，得到 ，对称轴为直线 ， 点 向右平移5 个单位得到 ∵平移后的抛物线与 轴交于点 ，令 ，则 ， ∴ , ∴ ∵ 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点． 则 点的横坐标为 ， 设 ， ∴ ， ， 当 时， ， 解得： 或 ， 当 时， ， 解得： 综上所述， 点的坐标为 或 或 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数 的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与 轴交于 和 两点， 与 轴交于点 ．直线 过抛物线的顶点 ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ． ①当 取得最大值时，求 的值和 的最大值； ②当 是等腰三角形时，求点 的坐标． 【答】(1) ；(2)①当 时， 有最大值，最大值为 ；② 或 或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出 ，进而求出直线 的解析式为 ，则 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，进一步求出 ，由此即可利用二次 函数的性质求出答；②设直线 与x 轴交于，先证明 是等腰直角三角形，得到 ；再分如图3-1 所示，当 时， 如图3-2 所示，当 时， 如图3-3 所示，当 时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于 和 两点， ∴抛物线对称轴为直线 ， 在 中，当 时， ， ∴抛物线顶点P 的坐标为 ， 设抛物线解析式为 ， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为 （2）解：①∵抛物线解析式为 ，点是抛物线与y 轴的交点， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， ∴ ， ∴ ， ∴直线 的解析式为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴当 时， 有最大值，最大值为 ； ②设直线 与x 轴交于， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ； 如图3-1 所示，当 时， 过点作 于G，则 ∴点G 为 的中点， 由（2）得 ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴ ； 如图3-2 所示，当 时，则 是等腰直角三角形， ∴ ，即 ， ∴点E 的纵坐标为5， ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴ 如图3-3 所示，当 时，过点作 于G， 同理可证 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 综上所述，点E 的坐标为 或 或 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次 函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3 小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图 1，杯体B 是抛物线的一部分，抛物线的顶点在y 轴上，杯口直径 ，且点，B 关于 y 轴对称，杯脚高 ，杯高 ，杯底M 在x 轴上． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求杯体B 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）． （2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方，如图2，杯体 所在抛物线形状不变， 杯口直径 ，杯脚高不变，杯深 与杯高 之比为06，求 的长． 【答】（1） ；（2） 【分析】 （1）确定B 点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可； （2）利用杯深 D′ 与杯高 D′ 之比为06，求出D′ ，接着利用抛物线解析式求出B'或'横坐 标即可完成求解． 【详解】 解：（1）设 ， ∵杯口直径 B=4 ，杯高 D=8 ， ∴ 将 ， 代入，得 ， ． （2） ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ， 当 时， ， 或 ， ， 即杯口直径 的长为 ． 【点睛】 本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等 内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等． 4．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ，抛物线的顶点 在直线 上，与 轴的交点为 ，其中点 的坐标为 ．直 线 与直线 相交于点 ． (1)如图2，若抛物线经过原点 ． ①求该抛物线的函数表达式；②求 的值． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)连接 与 能否相等？若能，求符合条件的点 的横坐标；若不能，试说 明理由． 【答】(1)① ；② ；(2)能，或 或 或 ． 【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解； ②过点 作 于点 ．设直线 为 ，把 代入，得 ， 解得 ，直线 为 ．同理，直线 为 ．联立两直线解析 式得出 ，根据 ，由平行线分线段成比例即可求解； （2）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．①如图2-1，当 时， 存在 ．记 ，则 ．过点 作 轴于点 ，则 ．在 中， ，进而得出点 的横 坐标为6．②如图2-2，当 时，存在 ．记 ．过点 作 轴于点 ，则 ．在 中， ，得出点 的横坐标为 ．③如图 ，当 时，存在 ．记 ．过点 作 轴于点 ，则 ．在 中， ，得出点 的横坐标为 ．④如图2-4，当 时，存在 ．记 ．过点 作 轴于点 ，则 ．在 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 中， ，得出点 的横坐标为 ． 【详解】（1）解：①∵ ， ∴顶点 的横坐标为1． ∴当 时， ， ∴点 的坐标是 ． 设抛物线的函数表达式为 ，把 代入， 得 ， 解得 ． ∴该抛物线的函数表达式为 ， 即 ． ②如图1，过点 作 于点 ． 设直线 为 ，把 代入，得 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得 ， ∴直线 为 ． 同理，直线 为 ． 由 解得 ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． （2）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ． ①如图 ，当 时，存在 ． 记 ，则 ． ∵ 为 的外角， ∴ ． ∵ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ． ∴ ． ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ． 在 中， ， ∴ ，解得 ． ∴点 的横坐标为6． ②如图2-2，当 时，存在 ． 记 ． ∵ 为 的外角， ∴ ． ∴ ∴ ． ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在 中， ， ∴ ，解得 ． ∴点 的横坐标为 ． ③如图2-3，当 时，存在 ．记 ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在 中， ， ∴ ，解得 ． ∴点 的横坐标为 ． ④如图2-4，当 时，存在 ．记 ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ． 在 中， ， ∴ ，解得 ． ∴点 的横坐标为 ． 综上，点 的横坐标为 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握 以上知识，分类讨论是解题的关键． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 5 如图1，隧道截面由抛物线的一部分ED 和矩形BD 构成，矩形的一边B 为12 米，另一 边B 为2 米．以B 所在的直线为x 轴，线段B 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系 xy，规定一个单位长度代表1 米．E（0，8）是抛物线的顶点． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3 中粗线段 所示，点 ， 在x 轴上，M 与矩形 的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段 ， ， ，M 长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点 ， 在抛物线ED 上．设点 的横坐标 为 ，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18 的栅栏，有如图3 所示的修建“ ”型或“ ”型栅型 两种设计方，请你从中选择一种，求出该方下矩形 面积的最大值，及取最大值时点 的横坐标的取值范围（ 在 右侧）． 【答】(1)y＝ x2＋8 (2)（ⅰ）l＝ m2＋2m＋24，l 的最大值为26；（ⅱ）方一： ＋9≤P1横坐标≤ 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ；方二： ＋ ≤P1横坐标≤ 【分析】（1）通过分析点坐标，利用待定系数法求函数解析式； （2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－ m2＋8），然后列出函数关系 式，利用二次函数的性质分析最值； （ⅱ）设P2P1＝，分别表示出方一和方二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从 而利用数形结合思想确定取值范围． (1)由题意可得：（－6，2），D（6，2）， 又∵E（0，8）是抛物线的顶点， 设抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8，将（－6，2）代入， （－6）2＋8＝2，解得：＝ ， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝ x2＋8； (2)（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛 物线ED 上， P ∴ 2的坐标为（m， m2＋8）， P ∴ 1P2＝P3P4＝M＝ m2＋8，P2P3＝2m， l ∴＝3（ m2＋8）＋2m＝ m2＋2m＋24＝ （m－2）2＋26， ∵ ＜0，∴当m＝2 时，l 有最大值为26， 即栅栏总长l 与m 之间的函数表达式为l＝ m2＋2m＋24，l 的最大值为26； （ⅱ）方一：设P2P1＝，则P2P3＝18－3， ∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3）＝－32＋18＝－3（－3）2＋27， ∵－3＜0， ∴当＝3 时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1＝3，P2P3＝9，令 x2＋8＝3，解得：x＝ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴此时P1的横坐标的取值范围为 ＋9≤P1横坐标≤ ， 方二：设P2P1＝，则P2P3＝9－， ∴矩形P1P2P3P4面积为（9－）＝－2＋9＝－（－ ）2＋ ， ∵－1＜0，∴当＝ 时，矩形面积有最大值为 ， 此时P2P1＝ ，P2P3＝ ，令 x2＋8＝ ，解得：x＝ ， ∴此时P1的横坐标的取值范围为 ＋ ≤P1横坐标≤ ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键 点的坐标，利用数形结合思想解题是关键． 6．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在 中， ，D 为 上一点， ，动点P 以每秒1 个单位的速度从点出发，在三角形边上沿 匀速运动， 到达点时停止，以 为边作正方形 设点P 的运动时间为 ，正方形 的而积为 S，探究S 与t 的关系 (1)初步感知：如图1，当点P 由点运动到点B 时， ①当 时， _______． ②S 关于t 的函数解析式为_______． (2)当点P 由点B 运动到点时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2 所示的 图象请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (3)延伸探究：若存在3 个时刻 （ ）对应的正方形 的面积均相等． ① _______； ②当 时，求正方形 的面积． 【答】(1) 3 ①；② ；(2) ， ；(3) 4 ①；② 【分析】（1）①先求出 ，再利用勾股定理求出 ，最后根据正方形面积公式 求解即可；②仿照（1）①先求出 ，进而求出 ，则 ； （2）先由函数图象可得当点P 运动到B 点时， ，由此求出当 时， ， 可设S 关于t 的函数解析式为 ，利用待定系数法求出 ，进而 求出当 时，求得t 的值即可得答； （3）①根据题意可得可知函数 可以看作是由函数 向右平移四个单 位得到的，设 是函数 上的两点，则 ， 是函数 上的两点，由此可得 ， 则 ，根据题意可以看作 ，则 ；②由 （3）①可得 ，再由 ，得到 ，继而得答． 【详解】（1）解：∵动点P 以每秒1 个单位的速度从点出发，在三角形边上沿 匀速运动， ∴当 时，点P 在 上，且 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 故答为：3； ②∵动点P 以每秒1 个单位的速度从点出发，在 匀速运动， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ； （2）解：由图2 可知当点P 运动到B 点时， ， ∴ ， 解得 ， ∴当 时， ， 由图2 可知，对应的二次函数的顶点坐标为 ， ∴可设S 关于t 的函数解析式为 ， 把 代入 中得： ， 解得 ， ∴S 关于t 的函数解析式为 ， 在 中，当 时，解得 或 ， ∴ ； （3）解：①∵点P 在 上运动时， ，点P 在 上运动时 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴可知函数 可以看作是由函数 向右平移四个单位得到的， 设 是函数 上的两点，则 ， 是函数 上的两点， ∴ ， ∴ ， ∵存在3 个时刻 （ ）对应的正方形 的面积均相等． ∴可以看作 ， ∴ ， 故答为：4； ②由（3）①可得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理 等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 7 在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋经过点（－1，0）和点B（0， 3），顶点为，点D 在其对称轴上，且位于点下方，将线段D 绕点D 按顺时针方向旋转 90°，点落在抛物线上的点P 处． (1)求抛物线的解析式； (2)求点P 的坐标； (3)将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点 M，使得MP＋ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) (3)存在， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先求出抛物线的对称轴，再设点 的坐标为 ，则 ，根据旋转 的性质可得 ，从而可得 ，将点 代入抛物线的解析 式求出 的值，由此即可得； （3）先根据点坐标的平移规律求出点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， 从而可得 与 轴的交点即为所求的点 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式， 由此即可得出答． (1)解：将点 代入 得： ， 解得 ， 则抛物线的解析式为 ． (2)解：抛物线 的对称轴为直线 ，其顶点 的坐标为 ， 设点 的坐标为 ，则 ， 由旋转的性质得： ， ，即 ， 将点 代入 得： ， 解得 或 （舍去）， 当 时， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 所以点 的坐标为 ． (3)解：抛物线 的顶点 的坐标为 ， 则将其先向左平移1 个单位长度，再向下平移4 个单位长度恰好落在原点 ， 这时点 落在点 的位置，且 ， ，即 ，恰好在对称轴直线 上， 如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， 则 ，