专题01 相交线与平行线压轴题三种模型全攻略（教师版）

专题01 相交线与平行线压轴题三种模型全 攻略 类型一、猪脚模型 例、如图，已知直线B D EF ∥∥ ，∠PQ=90°，它的顶点在D 上，两边分别与B、EF 相交于点 P、点Q，射线始终在∠PQ 的内部 (1)求∠1＋∠2 的度数； (2)直接写出∠3 与∠4 的数量关系； (3)若∠PQ 的度数为α，且0°＜α＜180°，其余条件不变，猜想∠3 与∠4 的数量关系(用含α 的 式子表示)；并说明理由 【答】(1) 1+ 2=90°;(2) 3+ 4=270° ∠ ∠ ∠ ∠ ；(3) 3+ 4=360°-α, ∠ ∠ 理由见解析 【解析】(1)∵B∥D，∴∠1=∠P， ∵D∥EF，∴∠2=∠Q， ∵∠PQ=∠P+∠Q=90°，∴∠1+ 2=90° ∠ ； (2) 1+ 3=180° ∵∠ ∠ ，∠4+ 2=180° ∠ ，∴∠1+ 3+ 4+ 2=360° ∠ ∠ ∠ ， 又∵∠1+ 2=90° ∠ ，∴∠3+ 4=270° ∠ ； (3))∵B∥D，∴∠1=∠P， ∵D EF ∥ ，∴∠2=∠Q， ∵∠PQ=∠P+∠Q=α，∴∠1+ 2= ∠ α； 1+ 3=180° ∵∠ ∠ ，∠4+ 2=180° ∠ ，∴∠1+ 3+ 4+ 2=360° ∠ ∠ ∠ ， 又∵∠1+ 2= ∠ α，∴∠3+ 4=360°- ∠ α． 【变式训练1】如图1，E 平分∠D，E 平分∠B，∠E+ E=90° ∠ ． (1)请判断B 与D 的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在(1)的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠ME= ED ∠ ．当直角顶 点E 点移动时，问∠BE 与∠MD 是否存在确定的数量关系？并说明理由； (3)如图3，在(1)的结论下，P 为线段上一定点，点Q 为直线D 上一动点，当点Q 在射线D 上运动时(点除外)，∠PQ+ QP ∠ 与∠B 有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为 ． 【答】(1)平行，理由见解析(2) BE ∠ ＋ ∠MD＝90°，理由见解析(3) B ∠＝∠PQ＋∠QP 【详解】(1)B D ∥；理由如下： E ∵平分∠D，E 平分∠B，∴∠B＝2 E ∠，∠D＝2 E ∠， E ∵∠＋∠E＝90°，∴∠B＋∠D＝180°，∴B D ∥； (2) BE ∠ ＋ ∠MD＝90°；理由如下：过E 作EF B ∥，如图2 所示： B D ∵∥，∴EF B D ∥∥，∴∠BE＝∠EF，∠FE＝∠DE， E ∵∠＝90°，∴∠BE＋∠ED＝90°， ME ∵∠ ＝∠ED，∴∠ED＝ ∠MD，∴∠BE＋ ∠MD＝90°； (3) B ∠＝∠PQ＋∠QP；理由如下：∵B D ∥，∴∠B＋∠D＝180°， PQ ∵∠ ＋∠QP＋∠PQ＝180°， 即( PQ ∠ ＋∠QP)＋∠D＝180°，∴∠B＝∠PQ＋∠QP． 【变式训练2】把一块含60°角的直角三角尺 放在两条 平行线 之间． (1)如图1，若三角形的60°角的顶点 放在 上，且 ，求 的度数； (2)如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点 分别放在 和 上，请你探索并说明 与 间的数量关系； (3)如图3，若把三角尺的直角顶点 放在 上，30°角的顶点 落在 上，请直接写 出 与 的数量关系． 【答】(1)40°；(2)∠EF+∠FG=90°；(3)∠EG+∠FG=300° 【解析】解：(1)∵B∥D， ∠ ∴ 1=∠EGD， ∠ ∵ 2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1， ∴2∠1+60°+∠1=180°， ∠ ∴ 1=40°； (2)过点F 作FP∥B， ∵D∥B，∴FP∥B∥D，∴∠EF=∠EFP，∠FG=∠GFP ∠ ∴ EF+∠FG=∠EFP+∠GFP=∠EFG， ∠ ∵ EFG=90°，∴∠EF+∠FG=90°； (3) ∠EG+∠FG =300°，理由如下： ∵B∥D，∴∠EF+∠FE=180°，即∠EG −30°+∠FG −90°=180°， 整理得：∠EG+∠FG =300°． 【变式训练3】直线B、D 被直线EF 所截，B D ∥，点P 是平面内一动点．设∠PFD= 1 ∠， ∠PEB= 2 ∠，∠FPE= α ∠． (1)若点P 在直线D 上，如图①，∠α=50°，则∠1+ 2= ∠ °； (2)若点P 在直线B、D 之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2 之间的等量关系并给出证明； (3)若点P 在直线D 的下方，如图③，(2)中∠α、∠1、∠2 之间的关系还成立吗？请作出判断 并说明理由． 【答】(1)50；(2)详见解析；(3)详见解析 【详解】解：(1) B D ∵∥，∴∠α=50°，故答为50； (2) α= 1+ 2 ∠ ∠ ∠， 证明：过点P 作PG B ∥， B D ∵∥，∴PG D ∥， 2= 3 ∠ ∠，∠1= 4 ∠， α= 3+ 4= 1+ 2 ∴∠ ∠ ∠ ∠ ∠； (3) α= 2 1 ∠ ∠ ∠ ﹣ ， 证明：过点P 作PG D ∥， B D ∵∥，∴PG B ∥， 2= EPG ∴∠ ∠ ，∠1= 3 ∠， α= EPG3= 21 ∴∠ ∠ ∠ ∠∠． 类型二、铅笔模型 例、(1)问题情境：如图1,B∥D，∠PB＝130°，∠PD＝120°求∠P 的度数 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P 作PE∥B，∴∠PE＋∠PB＝180° ∴∠PE＝180°－∠PB＝180°－130°＝50° ∵B D ∥．∴PE D ∥． ………… 请你帮助小明完成剩余的解答 (2)问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，D∥B，点P 在射线M 上运动，∠DP＝∠α，∠BP＝∠β ①当点P 在、B 两点之间时，∠PD，∠α，∠β 之间有何数量关系？请说明理由 ②当点P 在、B 两点外侧时(点P 与点不重合)，请直接写出∠PD，∠α，∠β 之间的数 量关系 【答】(1)110°;(2) 详见解析 【详解】(1)剩余过程：∴∠PE＋∠PD＝1800， ∴∠PE＝1800—1200＝600，∴∠P＝500＋600＝1100． (2)①∠PD= α+ β ∠ ∠．理由如下：过P 作PQ∥D ． ∵D∥B，∴PQ∥B ，∴ ，同理， ， ∴ ； ②()当P 在B 延长线时，如图4，过P 作PE∥D 交D 于E，同①可知：∠α=∠DPE， ∠β=∠PE，∴∠PD= β α ∠ ∠ ﹣ ； ()当P 在B 延长线时，如图5， 同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠PE，∴∠PD= α β ∠ ∠ ﹣ ． 【变式训练1】(1)如图①， ，则 _________． 如图②， ，则 ___________． 如图③， ，则 ___________． 如图④， ，则 ___________． 从上述结论中你发现了什么规律？请在图②，图③，图④中选一个证明你的结论． (2)如图⑤， ，则 ______________． (3)利用上述结论解决问题：如图已知 ， 和 的平分线相交于 ， ，求 的度数． 【答】(1) ， ， ， (2) ；(3)证明见解析 (3)过 点作 ，则 则 ，又 ，得 ， 故 【详解】(1)(1)如图①,根据M1∥2,可得 如图②,过 作P2∥M1， ∵M1∥3，∴P2∥M1∥3， 如图③,过2作P2∥M1,过3作Q3∥M1， ∵M1∥3，∴Q3∥P2∥M1∥3， 同理可得： 故答为 ， ， ， (2)根据 可得： (3)过 点作 ，则 则 ， 又 ， 得 ，故 【变式训练2】(1)请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： 如图1，B D ∥，求证：∠B+ D= BED ∠ ∠ ． 证明：过点E 引一条直线EF B ∥ B= BEF ∴∠ ∠ ，( ) B D ∵∥，EF B ∥ EF D( ∴ ∥ ) D=________( ∴∠ ) B+ D= BEF+ FED ∴∠ ∠ ∠ ∠ 即∠B+ D= BED ∠ ∠ ． (2)如图2，B D ∥，请写出∠B+ BED+ D=360° ∠ ∠ 的推理过程．________ (3)如图3，B D ∥，请直接写出结果∠B+ BEF+ EFD+ D=________ ∠ ∠ ∠ 【答】 两直线平行，内错角相等； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条 直线也互相平行； ∠FED； 两直线平行，内错角相等； 如图2，过点E 引一条直 线EF B ∥，∵EF B ∥， B+ BEF=180° ∴∠ ∠ ． B D ∵∥，EF B ∥， EF D ∴ ∥， FED+ D=180° ∴∠ ∠ ， B+ BEF+ FED+ D=180°+180°=360° ∴∠ ∠ ∠ ∠ ，即∠B+ BED+ D=360° ∠ ∠ ； 540° 【解析】 【详解】根据平行线的性质及判定即可解答 解：(1)证明：过点E 引一条直线EF∥B， ∴∠B=∠BEF，(两直线平行，内错角相等)， ∵B∥D，EF∥B， ∴EF∥D(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， ∴∠D= FED ∠ (两直线平行，内错角相等)， ∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED． (2)如图，过点E 引一条直线EF∥B， ∵EF∥B，∴∠B+∠BEF=180°． ∵B∥D，EF∥B，∴EF∥D， ∴∠FED+∠D=180°，∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=180°+180°=360°， 即∠B+∠BED+∠D=360° (3)如图，过点E 引一条直线EM∥B，过点F 引一条直线F∥B， ∵EF∥B，∴∠B+∠BEM=180°． ∵B∥D，EM∥B，F∥B，∴EM∥F，F∥D， ∴∠MEF+∠EF=180°，∠FD+∠D=180°， ∴∠B+∠BEM +∠MEF+∠EF +∠FD+∠D =180°+180°+180°=540°， 即∠B+∠BEF+∠EFD+∠D =540° 【变式训练3】问题情境1：如图1，B∥D，P 是BD 内部一点，P 在BD 的右侧，探究∠B， ∠P，∠D 之间的关系？ 小明的思路是：如图2，过P 作PE∥B，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D 之间满足 关系．(直接写出结论) 问题情境2 如图3，B∥D，P 是B，D 内部一点，P 在BD 的左侧，可得∠B，∠P，∠D 之间满足 关系．(直接写出结论) 问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题： 已知B∥D，∠BE 与∠DE 两个角的角平分线相交于点F (1)如图4，若∠E＝80°，求∠BFD 的度数； (2)如图5 中，∠BM＝ ∠BF，∠DM＝ ∠DF，写出∠M 与∠E 之间的数量关系并证明你的 结论． (3)若∠BM＝ ∠BF，∠DM＝ ∠DF，设∠E＝m°，用含有，m°的代数式直接写出∠M＝ ． 【答】问题情境1：∠B+∠BPD+∠D＝360°，∠P＝∠B+∠D；(1)140°；(2) ∠E+∠M＝ 60°(3) 【解析】(1)∵BF、DF 分别是∠BE 和∠DE 的平分线， ∠ ∴ EBF＝ ∠BE，∠EDF＝ ∠DE， 由问题情境1 得：∠BE+∠E+∠DE＝360°， ∠ ∵ E＝80°，∴∠BE+∠DE＝280°， ∠ ∴ EBF+∠EDF＝140°， ∠ ∴ BFD＝360° 80° 140° ﹣ ﹣ ＝140°； (2) ∠E+∠M＝60°，理由是： 设∠BM＝x，∠DM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y， 由问题情境1 得：∠BE+∠E+∠DE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，即 ∠E＝60﹣x﹣y， ∠ ∵ M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y， ∴ ∠E+∠M＝60°； (3)设∠BM＝x，∠DM＝y，则∠FBM＝( 1) ﹣ x，∠EBF＝x，∠FDM＝( 1) ﹣ y，∠EDF＝y， 由问题情境1 得：∠BE+∠E+∠DE＝360°， ∴2x+2y+∠E＝360°，∴x+y＝ ， ∠ ∵ M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴2x+2y+∠E＝∠M+(2 1) ﹣ x+(2 1) ﹣ y+∠E， ∠ ∴ M＝ ；故答为：∠M＝ ． 类型三、拐弯模型 A B C D P 1 2 3 例．已知，直线 ，点 为平面上一点，连接 与 ． (1)如图1，点 在直线 、 之间，当 ， 时，求 ． (2)如图2，点 在直线 、 之间 左侧， 与 的角平分线相交于点 ， 写出 与 之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点 落在 下方， 与 的角平分线相交于点 ， 与 有 何数量关系？并说明理由． 【答】(1) ；(2) ，见详解；(3) ，见详解 【解析】(1)(如图1，过点P 作 ， (2) 如图2，过K 作 ， ， 过点P 作 同理可得 与 的角平分线相交于点K (3) 如图3，过K 作 ， 过点P 作 ，同理可得 与 的角平分线相交于点K ， 【变式训练1】如图，直线EF G ∥，点在EF 上，交G 于点B，若∠F=72°，∠D=58°，点D 在G 上，求∠BD 的度数． 【答】50°． 【详解】∵EF G ∥，∴∠BD+ F=180° ∠ ，∴∠BD=180° 72°=108° ﹣ ，∵∠BD= D+ BD ∠ ∠ ，∴∠BD= BD ∠ D=108° 58°=50° ﹣∠ ﹣ ． 【变式训练2】如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点、B、、D，点P 在直线l3或 上且不与点、B、、D 重合．记∠EP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3． (1)若点P 在图(1)位置时，求证：∠3=∠1+∠2； (2)若点P 在图(2)位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3 之间的关系； (3)若点P 在图(3)位置时，写出∠1、∠2、∠3 之间的关系并给予证明； (4)若点P 在线段D 延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3 之间的关系． 【答】(1)见详解；(2)∠3＝∠2﹣∠1；(3)∠3＝360°﹣∠1﹣∠2；(4)∠3＝360°﹣∠1﹣∠2． 【解析】(1)证明：过P 作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF ∠ ∵ EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2． (2)∠3＝∠2﹣∠1；过P 作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF ∠ ∵ EPF＝∠QPF﹣∠QPE，∴∠EPF＝∠2﹣∠1． (3)∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．过P 作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2， ∠ ∴ EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°， ∠ ∵ EPF＝∠EPQ+∠FPQ；∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°， 即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2； (4)点P 在线段D 延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2． 过P 作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2， ∠ ∴ 1＝∠QPE、∠2＝∠QPF； ∠ ∵ QPE﹣∠QPF=∠EPF； ∠ ∴ 3＝∠1﹣∠2． 【变式训练3】已知：如图，直线∥b，直线与直线、b 分别相交于、D 两点，直线d 与直线、 b 分别相交于、B 两点． (1)如图1，当点P 在线段B 上(不与、B 两点重合)运动时，∠1、∠2、∠3 之间有怎样的大小 关系？请说明理由； (2)如图2，当点P 在线段B 的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3 之间的大小关系为________； (3)如图3，当点P 在线段B 的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3 之间的大小关系为________． 【答】(1) 3= 1+ 2 ∠ ∠ ∠；(2) 1= 2+ 3;(3) 2= 1+ 3 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠． 【详解】(1)解：如图1，过点P 作PE∥，则∠1= PE ∠ ． b ∵∥，PE∥，∴PE b ∥，∴∠2= DPE ∠ ，∴∠3= 1+ 2 ∠ ∠； (2)解：如图2，过点P 作PE b ∥，则∠2= EPD ∠ ， ∵直线∥b，∴∥PE，∴∠1= 3+ EPD ∠ ∠ ，即∠1= 2+ 3 ∠ ∠．故答为∠1= 2+ 3; ∠ ∠ (3)解：如图3，设直线与DP 交于点F， PF ∵∠ 是△PF 的外角，∴∠PF= 1+ 3 ∠ ∠， b ∵∥，∴∠2= PF ∠ ，即∠2= 1+ 3 ∠ ∠．故答为∠2= 1+ 3 ∠ ∠． 课后训练 1．如图，B EF ∥ ，∠BD=90°，试探索图中角α，β，γ 之间的关系． 【答】α+β γ=90° ﹣ ． 【详解】试题解析：过点作M∥B,过点D 作D∥B， ∵B∥EF， ∴B∥M∥D∥EF， ①， ②， 由①②得： 2．如图，要想得到B∥D，则∠1、∠2、∠3 之间应满足怎样的关系呢？请探索． 【答】∠1= 2 ∠＋∠3 【解析】应满足的关系为：∠1= 2 ∠＋∠3， 证明： 如图，延长E 交D 于点F， 1= 2+ 3 ∵∠ ∠ ∠，∠4= 2+ 3 ∠ ∠，∴∠1= 4 ∠，∴B∥D 3．如图，已知直线l1 l ∥2，，B 分别是l1，l2上的点，l3和l1，l2分别交于点，D，P 是线段D 上的动点(点P 不与，D 重合)． (1)若∠1＝150°，∠2＝45°，求∠3 的度数； (2)若∠1＝α，∠2＝β，用α，β 表示∠P＋∠BPD． 【答】(1)75°(2)α－β 【详解】解:(1)过点P 向右作PE l ∥1 l ∵1 l ∥2，∴l1 PE l ∥ ∥2，∴∠1＋∠PE＝180°，∠2＝∠BPE 1 ∵∠＝150°，∠2＝45°，∴∠PE＝180°－∠1＝180°－150°＝30°，∠BPE＝∠2＝45°， 3 ∴∠＝∠PE＋∠BPE＝30°＋45°＝75° (2)由(1)知∠1＋∠PE＝180°，∠2＝∠BPE 1 ∵∠＝α，∠2＝β，∴∠PB＝∠PE＋∠BPE＝180°－∠1＋∠2＝180°－α＋β， P ∴∠＋∠BPD＝180°－∠PB＝180°－(180°－α＋β)＝α－β 4 有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线B，D，然后在平行线间画 了一点E，连接BE，DE 后(如图①)，他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②， ③，④等图形，这时他突然一想，∠B，∠D 与∠BED 之间的度数有没有某种联系呢？接着 小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的 关系． (1)你能探究出图①到图④各图中的∠B，∠D 与∠BED 之间的关系吗？ (2)请从所得的四个关系中，选一个说明它成立的理由． 【答】(1)(1)图①：∠BED＝∠B＋∠D；图②：∠B＋∠BED＋∠D＝360°；图③：∠BED＝∠D－ ∠B；图④：∠BED＝∠B－∠D；(2)证明见解析． 【详解