专题01 相交线与平行线压轴题三种模型全攻略（学生版）

专题01 相交线与平行线压轴题三种模型全 攻略 类型一、猪脚模型 例、如图，已知直线B D EF ∥∥ ，∠PQ=90°，它的顶点在D 上，两边分别与B、EF 相交于点 P、点Q，射线始终在∠PQ 的内部 (1)求∠1＋∠2 的度数； (2)直接写出∠3 与∠4 的数量关系； (3)若∠PQ 的度数为α，且0°＜α＜180°，其余条件不变，猜想∠3 与∠4 的数量关系(用含α 的 式子表示)；并说明理由 【变式训练1】如图1，E 平分∠D，E 平分∠B，∠E+ E=90° ∠ ． (1)请判断B 与D 的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在(1)的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠ME= ED ∠ ．当直角顶 点E 点移动时，问∠BE 与∠MD 是否存在确定的数量关系？并说明理由； (3)如图3，在(1)的结论下，P 为线段上一定点，点Q 为直线D 上一动点，当点Q 在射线D 上运动时(点除外)，∠PQ+ QP ∠ 与∠B 有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为 ． 【变式训练2】把一块含60°角的直角三角尺 放在两条 平行线 之间． (1)如图1，若三角形的60°角的顶点 放在 上，且 ，求 的度数； (2)如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点 分别放在 和 上，请你探索并说明 与 间的数量关系； (3)如图3，若把三角尺的直角顶点 放在 上，30°角的顶点 落在 上，请直接写 出 与 的数量关系． 【变式训练3】直线B、D 被直线EF 所截，B D ∥，点P 是平面内一动点．设∠PFD= 1 ∠， ∠PEB= 2 ∠，∠FPE= α ∠． (1)若点P 在直线D 上，如图①，∠α=50°，则∠1+ 2= ∠ °； (2)若点P 在直线B、D 之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2 之间的等量关系并给出证明； (3)若点P 在直线D 的下方，如图③，(2)中∠α、∠1、∠2 之间的关系还成立吗？请作出判断 并说明理由． 类型二、铅笔模型 例、(1)问题情境：如图1,B∥D，∠PB＝130°，∠PD＝120°求∠P 的度数 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P 作PE∥B，∴∠PE＋∠PB＝180° ∴∠PE＝180°－∠PB＝180°－130°＝50° ∵B D ∥．∴PE D ∥． ………… 请你帮助小明完成剩余的解答 (2)问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，D∥B，点P 在射线M 上运动，∠DP＝∠α，∠BP＝∠β ①当点P 在、B 两点之间时，∠PD，∠α，∠β 之间有何数量关系？请说明理由 ②当点P 在、B 两点外侧时(点P 与点不重合)，请直接写出∠PD，∠α，∠β 之间的数 量关系 【变式训练1】(1)如图①， ，则 _________． 如图②， ，则 ___________． 如图③， ，则 ___________． 如图④， ，则 ___________． 从上述结论中你发现了什么规律？请在图②，图③，图④中选一个证明你的结论． (2)如图⑤， ，则 ______________． (3)利用上述结论解决问题：如图已知 ， 和 的平分线相交于 ， ，求 的度数． 【变式训练2】(1)请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： 如图1，B D ∥，求证：∠B+ D= BED ∠ ∠ ． 证明：过点E 引一条直线EF B ∥ B= BEF ∴∠ ∠ ，( ) B D ∵∥，EF B ∥ EF D( ∴ ∥ ) D=________( ∴∠ ) B+ D= BEF+ FED ∴∠ ∠ ∠ ∠ 即∠B+ D= BED ∠ ∠ ． (2)如图2，B D ∥，请写出∠B+ BED+ D=360° ∠ ∠ 的推理过程．________ (3)如图3，B D ∥，请直接写出结果∠B+ BEF+ EFD+ D=________ ∠ ∠ ∠ 【变式训练3】问题情境1：如图1，B∥D，P 是BD 内部一点，P 在BD 的右侧，探究∠B， ∠P，∠D 之间的关系？ 小明的思路是：如图2，过P 作PE∥B，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D 之间满足 关系．(直接写出结论) 问题情境2 如图3，B∥D，P 是B，D 内部一点，P 在BD 的左侧，可得∠B，∠P，∠D 之间满足 关系．(直接写出结论) 问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题： 已知B∥D，∠BE 与∠DE 两个角的角平分线相交于点F (1)如图4，若∠E＝80°，求∠BFD 的度数； (2)如图5 中，∠BM＝ ∠BF，∠DM＝ ∠DF，写出∠M 与∠E 之间的数量关系并证明你的 结论． (3)若∠BM＝ ∠BF，∠DM＝ ∠DF，设∠E＝m°，用含有，m°的代数式直接写出∠M＝ ． 类型三、拐弯模型 A B C D P 1 2 3 例．已知，直线 ，点 为平面上一点，连接 与 ． (1)如图1，点 在直线 、 之间，当 ， 时，求 ． (2)如图2，点 在直线 、 之间 左侧， 与 的角平分线相交于点 ， 写出 与 之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点 落在 下方， 与 的角平分线相交于点 ， 与 有 何数量关系？并说明理由． 【变式训练1】如图，直线EF G ∥，点在EF 上，交G 于点B，若∠F=72°，∠D=58°，点D 在G 上，求∠BD 的度数． 【变式训练2】如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点、B、、D，点P 在直线l3或 上且不与点、B、、D 重合．记∠EP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3． (1)若点P 在图(1)位置时，求证：∠3=∠1+∠2； (2)若点P 在图(2)位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3 之间的关系； (3)若点P 在图(3)位置时，写出∠1、∠2、∠3 之间的关系并给予证明； (4)若点P 在线段D 延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3 之间的关系． 【变式训练3】已知：如图，直线∥b，直线与直线、b 分别相交于、D 两点，直线d 与直线、 b 分别相交于、B 两点． (1)如图1，当点P 在线段B 上(不与、B 两点重合)运动时，∠1、∠2、∠3 之间有怎样的大小 关系？请说明理由； (2)如图2，当点P 在线段B 的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3 之间的大小关系为________； (3)如图3，当点P 在线段B 的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3 之间的大小关系为________． 课后训练 1．如图，B EF ∥ ，∠BD=90°，试探索图中角α，β，γ 之间的关系． 2．如图，要想得到B∥D，则∠1、∠2、∠3 之间应满足怎样的关系呢？请探索． 3．如图，已知直线l1 l ∥2，，B 分别是l1，l2上的点，l3和l1，l2分别交于点，D，P 是线段D 上的动点(点P 不与，D 重合)． (1)若∠1＝150°，∠2＝45°，求∠3 的度数； (2)若∠1＝α，∠2＝β，用α，β 表示∠P＋∠BPD． 4 有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线B，D，然后在平行线间画 了一点E，连接BE，DE 后(如图①)，他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②， ③，④等图形，这时他突然一想，∠B，∠D 与∠BED 之间的度数有没有某种联系呢？接着 小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的 关系． (1)你能探究出图①到图④各图中的∠B，∠D 与∠BED 之间的关系吗？ (2)请从所得的四个关系中，选一个说明它成立的理由． 5．已知 ，点 为平面内的一点， ． (1)当点 在如图①的位置时，求 与 的数量关系． 解： ．(根据如图填射线 的画法) 因为 ， 所以 ( )． 所以 (两直线平行，内错角相等)； (请继续完成接下去的说理过程) (2)当点 在如图②的位置时， 与 的数量关系是 (直接写出答)； (3)在(2)的条件下，如图③，过点 作 ，垂足为点 ， 与 的平分线 分别交射线 于点 、 ，回答下列问题(直接写出答)：图中与 相等的角是 ， 度． 6．已知直线l1∥l2，l3和11，l2分别交于，D 两点，点，B 分别在线l1，l2上，且位于l3的左 侧，点P 在直线l3上，且不和点，D 重合． (1)如图1，有一动点P 在线段D 之间运动时，试确定∠1、∠2、∠3 之间的关系，并给出证 明． (2)如图2，当动点P 在射线D 上运动时，上述的结论是否成立？若不成立，请写出∠1、 ∠2、∠3 的关系并证明． 7 如图，已知直线l1 l ∥2，直线l3和直线l1、l2交于点和D，点P 是直线D 上的一个动点． (1)如果点P 运动到、D 之间时，试探究∠P，∠PB，∠PBD 之间的关系，并说明理由． (2)若点P 在、D 两点的外侧运动时(P 点与点、D 不重合)，∠P，∠PB，∠PBD 之间 的关系是 否发生改变？请说明理由． 8．(1)探究：如图1，B D EF，试说明 ． (2)应用：如图2，B D，点 在 、 之间， 与 交于点 ， 与 交于点 ．若 ， ，则 的大小是多少？ (3)拓展：如图3，直线 在直线 、 之间，且B D EF，点 、 分别在直线 、 上，点 是直线 上的一个动点，且不在直线 上，连接 、 ．若 ，则 度(请直接写出答)． 9．已知M ，点B 在直线M、之间，B⊥B 于点B． (1)如图1，请直接写出∠和∠之间的数量关系： ． (2)如图2，∠和∠满足怎样的数量关系？请说明理由． (3)如图3，E 平分∠MB，平分∠B，E 与交于点G，则∠G 的度数为 ．