第5章 相交线与平行线压轴题考点训练（教师版）

第五章 相交线与平行线压轴题考点训练 1．如图，//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3 的度数是( ) ．115° B．110° ．105° D．100° 【答】 【详解】解：过 作 ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 2．①如图1，B D，则∠＋∠E＋∠＝180°；②如图2，B D，则∠E＝∠＋∠；③如图3，B D，则∠＋∠E－∠1＝180°；④如图4，B D，则∠＝∠＋∠P．以上结论正确的个数是( ) ．①②③④ B．①②③ ．②③④ D．①②④ 【答】 【详解】解：①过点E 作直线 ， ∵ ，∴ ，∴∠＋∠1＝180°，∠2＋∠＝180°， ∠ ∴ ＋∠＋∠E＝360°，故①错误； ②过点E 作直线 ， ∵ ，∴ ，∴∠＝∠1，∠2＝∠， ∠ ∴ E＝∠＋∠，即∠E＝∠＋∠，故②正确； ③过点E 作直线 ， ∵ ，∴ ，∴∠＋∠3＝180°，∠1＝∠2， ∠ ∴ ＋∠E－∠2＝180°，即∠＋∠E－∠1＝180°，故③正确； ④如图，过点P 作直线 ， ∵ ，∴ ，∴∠1=∠FP，∠=∠FP， ∠ ∵ FP=∠FP+∠P，∴∠1＝∠＋∠P，∵B∥D，∴∠＝∠1，即∠＝∠+∠P，故④正确． 综上所述，正确的小题有②③④．故选：． 3．如图，在 中， ， ， 是线段 上一个动点，连接 ，把 沿 折叠，点 落在同一平面内的点 处，当 平行于 的边时， 的大小为______． 【答】67°或118° 【详解】根据题意可分类讨论：①如图，当 时， ∵ ，∴ ． ∴ ． 根据折叠可知 ，∴ ； ②如图，当 时， ∵ ，∴ ．∴ ． 根据折叠可知 ， ∴ ． 故答为： 或 ． 4．如图，已知 ， ， ，则 ________度． 【答】110 【详解】过E 作一条直线 ∵ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ 又∵ ，∴ ． 故答为：110． 5．如图，已知B⊥E，DE⊥E，∠2＋∠3＝180°．若∠1＝66°，B 平分∠BD，则∠＝______°． 【答】57 【详解】解：∵B 平分∠BD，∴∠B=∠DB= ， ∵B⊥E，DE⊥E，∴B∥DE，∴∠3+∠DB=180°， ∠ ∵ 2＋∠3＝180°，∴∠DB=∠2，∴∥BD，∴∠DB=∠1=66°， ∠ ∴ DB=∠2= ，∴∠=∠B-∠2=90°-33°=57°． 故答为：57． 6．如图，在Rt△B，∠B＝90°，∠B＝50°．将Rt△B 在平面内绕点逆时针旋转到△B′′的位置， 连接′．若B∥′，则旋转角的度数为_____°． 【答】100 【详解】解：∵ ，∴ ∴ 由旋转的性质可得 ∴ ∴ 故答为：100． 7．如图，直线分别与直线 ， 交于点，B， ， ，若直线， 保持不 动，将直线 绕点逆时针旋转，使得 ，则旋转的最小角度是______． 【答】 【详解】解：过点作 ， ∵ ，∴ ， ∴ ． 8．如图，在 中， ， ，点D 在B 上，将 沿直线D 翻折后， 点落在点E 处，连结DE，如果 ，那么 ______°． 【答】70 【详解】解：由翻折性质可得 ≌ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， 在 中， ． 故答为：70． 9．已知：B∥D．点E 在D 上，点F，在B 上，点G 在B，D 之间，连接FG，E，GE， ∠GFB=∠E． (1)如图1，求证：GF∥E； (2)如图2，若∠GE=α，FM 平分∠FG，EM 平分∠GE，试问∠M 与α 之间有怎样的数量关系 (用含α 的式子表示∠M)？请写出你的猜想，并加以证明． 【答】(1)证明见解析过程；(2)∠FME=90°- ，证明见解析过程． 【解析】(1)证明：∵B∥D，∴∠E=∠EB， ∠ ∵ GFB=∠E，∴∠GFB=∠EB，∴GF∥E； (2)解：∠FME=90°- ，理由如下： 如图2，过点M 作MQ∥B，过点G 作GP∥B， ∵B∥D，∴MQ∥D，∴∠FM=∠FMQ，∠QME=∠ME， ∠ ∴ FME=∠FMQ+∠QME=∠FM+∠ME， 同理，∠FGE=∠FGP+∠PGE=∠FG+∠GE， ∵FM 平分∠FG，EM 平分∠GE， ∠ ∴ FG=2∠FM，∠GE=2∠ME，∴∠FGE=2∠FME， 由(1)知，GF∥E，∴∠FGE+∠GE=180°， ∠ ∵ GE=α，∴∠FGE=180°-α，∴2∠FME=180°-α，∴∠FME=90°- ． 10．已知：如图1，直线B//D， 分别交 ， 于 ， 两点， ， 的平 分线相交于点 ． (1)求 的度数； (2)如图2， ， 的平分线相交于点 ，请写出 与 之间的等量关系， 并说明理由； (3)在图2 中作 ， 的平分线相交于点 ，作 ， 的平分线相 交于点 ，依此类推，作 ， 的平分线相交于点 ，请直接写出 的度数． 【答】(1)90°；(2)∠M1= ∠M．证明见解析；(3)( )2021×90° 【解析】(1)解：如图1 中， ∵B∥D，∴∠EF+∠FE=180°， ∠ ∵ EF，∠FE 的平分线相交于点M，∴∠MEF= ∠EF，∠EFM= ∠FE， ∠ ∴ MEF+∠MFE= (∠EF+∠FE)=90°，∴∠M=180°-90°=90°； (2)结论：∠M1= ∠M．理由：如图2 中，过点M1作M1∥B． ∵B∥D，M1∥B，∴M1∥D， ∠ ∵ EM，∠FM 的平分线相交于点M1， ∠ ∴ EM1= ∠EM，∠FM1= ∠FM， ∠ ∵ EM1=∠EM1，∠M1F=∠FM1 ∠ ∴ EM1F=∠EM1+∠FM1= (∠EM+∠FM)= ×90°=45°；所以∠EM1F= ∠M． (3)由(2)可知，∠M1= ×90°， 同法可知，∠M2= ∠M1= ∠M，•••，∠M=( )×90°， 当=2021 时，∠M2021=( )2021×90°． 11．平面内有直线B 和直线D，点E 是平面内任意一点，连接E、E，∠E＝60°． (1)若直线B∥D； 如图1，当点E 在两条平行线之间时，直接写出∠BE 与∠DE 的数量关系 ； 如图2，当点E 在两条平行线外部时，直接写出∠BE 与∠DE 的数量关系 ； (2)若直线B 与D 相交于点，且∠＝60°，如图3，当点E 在∠内部，且∠E＝45°，猜想∠BE 与∠DE 的数量关系，并证明； (3)我们小学学习过三角形的内角和等于180°，若直线B 与D 相交于点，且∠＝60°，如图 4，当点E 在∠外部，且∠E＝45°，分别作射线M 平分∠BE、作射线平分∠DE，反向延长M 与交于点P，求∠P 的度数？ 【答】(1) ∠ ① BE+∠DE＝60°；②∠DE﹣∠BE＝60°；(2)∠BE+∠DE＝105°，见解析； (3)525° 【解析】(1)解：①∠BE+∠DE＝60°，理由如下： 如图1，过点E 作EF∥B， ∠ ∴ BE＝∠EF， ∵B//D，∴EF//D，∴∠DE＝∠EF， ∠ ∵ E＝60°，∴∠BE+∠DE＝∠EF+∠EF＝∠E＝60°； 故答为：∠BE+∠DE＝60°． ∠ ② DE﹣∠BE＝60°，理由如下： 如图2，过点E 作EF//B， ∠ ∴ BE＝∠EF， ∵B//D，∴EF//D，∴∠DE＝∠EF， ∠ ∵ E＝60°，∴∠DE﹣∠BE＝∠EF﹣∠EF＝∠E＝60°． 故答为：∠DE﹣∠BE＝60°． (2)猜想：∠BE+∠DE＝105°，理由如下： 如图3，连接E， ∠ ∵ BE 是△E 的外角，∠DE 是△E 的外角，∴∠BE＝∠E+∠E，∠DE＝∠E+∠E， ∠ ∵ ＝60°，∠E＝45°， ∠ ∴ BE+∠DE＝∠E+∠E+∠E+∠E＝∠+∠E＝60°+45°＝105°； (3)如图4，设与E 相交于点G， 设∠GE＝∠G＝x°，则∠G＝180°﹣x°， ∠ ∵ BE 是△EG 的外角，∠E＝45°，∴∠BE＝∠E+∠GE＝45°+x°， ∵M 平分∠BE，∴∠BM＝∠EM＝ ∠BE＝225°+ x°，∴∠PG＝∠BM＝225°+ x°， ∠ ∵ DE 是△G 的外角，∠＝60°，∴∠DE＝∠G+∠＝x°+60°， ∵平分∠DE，∴∠D＝∠E＝ ∠DE＝ x°+30°， ∠ ∵ PG+∠G+∠E+∠P＝360°， ∠ ∴ P＝360°﹣∠PG﹣∠G﹣∠E ＝360° ( ﹣225°+ x°) ( ﹣180°﹣x°) ( ﹣ x°+30°)＝1275°， ∠ ∴ P＝180°﹣∠P＝525°． 12．已知，如图1，直线 ，E 为直线 上方一点，连接 ， 与 交 于P 点． (1)若 ，则 _________ (2)如图1 所示，作 的平分线交 于点F，点M 为 上一点， 的平分线交 于点，过点作 交 的延长线于点G， ，且 ， 求 的度数． (3)如图2，在(2)的条件下， ，将 绕点F 顺时针旋转，速度为每秒钟 ， 记旋转中的 为 ，同时 绕着点D 顺时针旋转，速度为每秒钟 ，记旋 转中的 为 ，当 旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t(秒)，则 当 其中一条边与 的边DF′互相垂直时，直接写出t 的值． 【答】(1)40；(2) =70°；(3)t 的值为10． 【解析】(1)解：∵ ， ，∴∠EPB=∠DE=70°， ∠ ∵ BE 是△BEP 的外角， ，∴∠E=∠BE-∠EPB=110°-70°=40°， 故答为：40； (2)解：∵ ，∴∠GFB=∠FBE，∠DF=∠PFD ∵F 平分 ，∴∠GF=∠FP，∴∠GFB=2∠FB=2∠FD+2∠DFP ∵DF 平分 ，∴∠FD=∠FDE=∠PFD，∴∠EPB=∠PD=2∠PDF=2∠PFD ∠ ∵ EBF 为△EBP 的外角，∴∠EBF=∠E+∠EPB=∠E+2∠PFD， ∴2∠FD+2∠DFP=∠E+2∠PFD， ∠ ∴ E=2∠DF， ∵ ， ∴4∠DF=3∠DF+20°，∴∠DF=20°， ∵ ，∴∠FG=90°，∴∠G+∠GF=90°， ∠ ∴ G+∠PF=∠G+∠FD+∠PFD=90°， ∠ ∴ G+∠PFD=90°-∠FD=90°-20°-70°，∴ =70°； (3)当 时，∠FP=∠FD+∠DFP=45°，∴∠GF=∠FP=45°，∴∠G=45°， 当 其中一条边与 的边DF′互相垂直，分三种情况， 当G′′⊥DF′时，F′交D 与S，F′∥F′D，∠FS=∠DF′，∠DF′=25°+5t，∠FS=45°+3°t， ∴25°+5t =45°+3°t，解得t=10, 当GF⊥F′D 时，GF 交D 于R，交DF′于Q，∠DF′=25°+5t，∠RG=∠GF=3t-90°， ∠QRD+∠QDR=90°即3t-90°+180°-(25+5t)=90°，解得t=-125＜0 舍去， 当′F⊥DF′，′F 交D 于U，交DF′于V，∠DF′=25°+5°t，∠UF=∠F′=3°t-90°-45°， ∠ ∵ VUD+∠UDV=90°， ∴180°-(25°+5°t)+3°t-90°-45°=90°，解得t=-35＜0 舍去， 综合t 的值为10． 13．如图①．已知 ，点 为平面内一点， 于点 ，过点 作 于点 ，设 ． (1)若 ，求 的度数； (2)如图②，若点 、 在 上，连接 、 、 ，使得 平分 、 平分 ，求 的度数； (3)如图③，在(2)问的条件下，若 平分 ，且 ，求 的度数． 【答】(1)30°；(2)45°；(3)975° 【详解】解：(1)延长 ，交 于点 ，如图， ， ， ． ． ， ． ， ． ； (2)延长 ，交 于点 ，如图， ， ， ． ． ， ． ， ． ． 平分 ， ． ， ． 平分 ， ． ； (3) ， ． 平分 ， ． ， ． ， ． ． 由(2)知： ． ， ． ． ．解得： ． ． ． 14．已知：直线B、R 被直线UV 所截，直线UV 交直线B 于点B，交直线R 于点D， ∠BU+∠DV＝180°． (1)如图1，求证：B∥D； (2)如图2，BE∥DF，∠MEB＝∠BE+5°，∠FDR＝35°，求∠MEB 的度数； (3)如图3，在(2)的条件下，点在直线B 上，分别连接E、ED，MG∥E，连接ME，∠GME＝ ∠GEM，∠EBD＝2∠EG，EB 平分∠DE，M⊥UV 于点，若∠ED＝ ∠DB，求∠GM 的度数． 【答】(1)见详解；(2)∠MEB＝40°，(3)∠GM=80° 【详解】(1)证明：∵∠BU+∠BD=180°，∠BU+∠DV＝180°． ∠ ∴ BU=180°-∠BD，∠DV＝180°-∠BU，∴∠BD=∠DV，∴B∥D； (2)解：∵B∥D；∴∠BD=∠RDB，∴∠BE+∠EBD=∠FDB+∠FDR， ∵BE∥DF，∴∠EBD=∠FDB，∴∠BE=∠FDR， ∠ ∵ FDR＝35°，∴∠BE=∠FDR=35°，∴∠MEB＝∠BE+5°=35°+5°=40°， (3)解：设ME 交B 于S，∵MG∥E，∴∠ES=∠GMS=∠GES，设∠ES=y°, ∠ ∵ EBD＝2∠EG ∠ ∴ EG=∠ES+∠GES=2∠ES=2y°，∴∠EBD =4∠ES=4y°, ∠ ∵ ED＝ ∠DB， 设∠ED=x°，∴∠DB=7x°， ∵B∥D，∴∠BD+∠DB=180°，即∠GBE+∠EBD+∠DB=180°，∴35+4y+7x=180， ∠ ∵ BDE=∠BD-∠ED=7x-x=6x，∴∠BED=180°-∠EBD-∠EDB=180°-4y°-6x°， ∵EB 平分∠DE，∴∠EB=∠BED， ∠ ∵ EB=∠ES+∠SEB=y°+40°，∴y°+40°=180°-4y°-6x°，∴ ，解得 ， ∠ ∴ EBD=4y°=40°=∠MEB，∴ME∥UV， ∵M⊥UV，∴M⊥ME，∴∠SM=90°，， ∠ ∵ SMG=∠ES=10°，∴∠GM=90°-∠SMG=90°-10°=80°． 15．已知M ，点B 为平面内一点， 于B． (1)如图1，直接写出 和 之间的数量关系． (2)如图2，过点B 作 于点D，求证： ． (3)如图3，在(2)问的条件下，点E、F 在 上，连接 、 、 ， 平分 ， 平分 ，若 ，求 的度数． 【答】(1) ；(2)见解析；(3) 【解析】(1)解：如图， ， ， ， ， ； (2)解：如图， 过点 作 ， ， ，即 ， 又 ， ， ， ， ， ， ； (3)解：如图， 过点B 作 ， 平分 ， 平分 ， ， ， 由(2)可得 ， ， 设 ， ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ，可得 ，① 由 可得 ，② 由①②联立方程组，解得 ， ， ． 16．已知 ，点 、 分别是 、 上的点，点 在 、 之间，连接 、 ． (1)如图1，若 ，求 的度数． (2)在(1)的条件下，分别作 和 的平分线交于点 ，求 的度数． (3)如图2，若点 是 下方一点， 平分 ， 平分 ，已知 ． 则判断以下两个结论是否正确，并证明你认为正确的结论．① 为定值；② 为定值． 【答】(1) (2) (3)②是正确的，证明见解析 【详解】(1)如图所示，过点 作 ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ (2)如图所示，过点 作 ，过点 作 ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ， ∴ (3)如图所示，∵ ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴②中 的值为定值 故②是正确的