专题12 平行线的证明压轴题的三种考法（解析版）

专题12 平行线的证明压轴题的三种考法 类型一、三角形折叠问题 例1．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于 ”．在三角形纸片中，点D，E 分别 在边 上，将 沿 折叠，点落在点 的位置． (1)如图1，当点落在边 上时，若 ，则 ＝ ，可以发现 与 的数量关系是 ； (2)如图2，当点落在 内部时，且 ， ，求 的度数； (3)如图3，当点落在 外部时，若设 的度数为x， 的度数为y，请求出 与x，y 之间的数量关系． 【答】(1) ，互余 (2) (3) 【分析】（1）根据平角定义求出 ，再利用折叠性质即可求出 ，然后利用三角形内角和进行计算即可； （2）根据平角定义求出 ， ，然后利用折叠性质可得 ，然后利用三角 形内角和进行计算即可； （3）根据平角定义求出 ，再利用折叠性质即可求出 ，然后利用三角形内角和进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， 由折叠得： ∴ ， ∵ ， ∴ 与 的数量关系是互余． （2）解：∵ ， ∴ ， 由折叠得： ∴ ， ∴ 的度数为 ； （3）解：如图： ∵ ， ∴ ， 由折叠得： ， ∴ ， ∴ 与x，y 之间的数量关系： ． 【点睛】本题考擦汗折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键． 例2．在 中， 平分 交 于点 ， 交 于点 ，P 是边 上的动点（不与 重合），连接 ，将 沿 翻折得 ，记 ． (1)如图1，点 与点 重合时，用含 的式子表示 ； (2)当点 与点 不重合时， ①如图2，若 平分 交 于点 ，猜想 之间存在的等 量关系，并说明你的理由； ②若 ，请直接写出 的大小（用含 的式子表示）． 【答】(1) (2)① ；理由见解析；② 或 【分析】（1）根据角平分线的性质得出 ，根据平行线的性质得出 ，即可得出 ，根据直角三角形性质得出 ，根据折叠得出 ，根据 求出结果即可； （1）①在 上截取 ，连接 ，证明 ，得出 ，证明 为等腰直角三角形，得出 ，证明 ，得出 ，求出 即可； ②分两种情况，当点P 在点E 的左侧时，当点P 在点E 的右侧时，分别画出图形，求出 结果即可． 【详解】（1）解：∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 根据折叠可知， ， ∴ ． （2）解：① ；理由如下： 在 上截取 ，连接 ，如图所示： ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， 根据折叠可知， ， ， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ②当点P 在点E 的左侧时，如图所示： ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， 根据折叠可知， ， ， ∴ ； 当点P 在点E 的右侧时，如图所示： ∵ ， ， ∴ ， 根据折叠可知， ， ， ∴ ； 综上分析可知， 或 ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余， 角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，构造全等 三角形，注意分类讨论． 【变式训练1】（1）如图1，把三角形纸片 折叠，使个顶点重合于点 ．这时， __________ ； （2）如果三角形纸片 折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图 ，那么(1)中的结 论是否仍然成立？请说明理由； （3）折叠后如图所示，直接写出 、 、 、 、 、 之间的数量关系______ _； （4）折叠后如图 ，直接写出 、 、 、 、 、 之间的数量关系：_______； 【答】（1） ；（2）成立，详见解析；（3） ； （4） ． 【分析】（1）根据折叠性质和三角形内角和即可； （2）根据折叠性质和三角形内角和即可； （3）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可； （4）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可． 【详解】（1）由折叠性质可知： ， ， ， ∴ ， ， ， ∵ ∴ ， ∴ ， 故答为： ， （2）由由折叠性质可知： ， ， ， ∴ ， ， ， ∵ ， ， ， ， ∴ ， 同理： ， ， ∴ ， （3）根据(2)可知： ， ， 如图3，∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ， （4）根据（2）（3）可知： ， ， ， ∴ ， ∴ ， 故答为： 【点睛】此题考查了翻折、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式训练2】（1）如图，把 沿 折叠，使点 落在点 处，试探究 、 与 的关系； （2）如图2，若 ， ，作 的平分线 ，与 的外角平分线 交于点 ，求 的度数； （3）如图3，若点 落在 内部，作 ， 的平分线交于点 ，此时 ， ， 满足怎样的数量关系？并给出证明过程． 【答】（1） （2） （3） ，证明见解析 【分析】（1）由折叠的性质可知 ， ，再根据平角的定义 得到 ， ，根据三角形外角的性 质可得 ，即可得出结论； （2）根据（1）的结论求出 ，再由角平分线的定义和三角形外角的性质推出 即可； （3）先推出 ， ，再由三角形外角的性质推出 ， 利用角平分线的定义和三角形内角和定理推出 ，即可得到结论． 【详解】（1）解： ，理由如下： 由折叠的性质可知 ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， 的平分线 ，与 的外角平分线 交于点 ， ， ， ， ， 又 ， ， ； （3）解： ，理由如下； 由折叠的性质可知 ， ， ， ， ， ， ， ， 的平分线交于点 ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角 的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键． 【变式训练3】有一张正方形纸片BD，点E 是边B 上一定点，在边D 上取点F，沿着EF 折叠，点落在点′处，在边B 上取一点G，沿EG 折叠，点B 落在点B′处． (1)如图1，当点B 落在直线′E 上时，猜想两折痕的夹角∠FEG 的度数并说明理由． (2)当∠′EB = ′ ∠B′EB 时，设∠′EB = ′ x． ①试用含x 的代数式表示∠FEG 的度数． ②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG 的度数；若不可能，请说明理 由． 【答】(1) ，理由见解析 (2)①当点B′落在∠′EG 内部时，∠FEG=90°+ ；当点B′落在∠′EF 内部时，∠FEG=90°− ；②EB′可能平分∠FEG，当点B′落在∠′EG 内部时，∠FEG=108°； 当点B′落在∠′EF 内部时，∠FEG=( )°． 【分析】（1）由折叠的性质结合平角的性质即可求解； （2）①分当点B′落在∠′EG 内部和点B′落在∠′EF 内部时两种情况讨论求解即可； ②分点B′落在∠′EG 内部和点B′落在∠′EF 内部时两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∠FEG=90°． 由折叠可知∠EF=∠′EF，∠BEG=∠B′EG． 又∵∠EF+∠′EF+∠BEG+∠B′EG=180°， ∴∠′EF+∠B′EG=90°，∠FEG=90°； （2）解：由折叠可知∠EF=∠′EF，∠BEG=∠B′EG． ①（）如图，当点B′落在∠′EG 内部时， ∵∠′EB = ′ x，∠′EB = ′ ∠B′EB， ∴∠B′EB=3x． ∴∠E =180°− ′ ∠′EB=180°−(∠B′EB+∠′EB )=180°−4 ′ x， ∴∠BEG= ∠BEB = ′ ，∠EF= ∠E =90°−2 ′ x， ∴∠FEG=180°−∠BEG−∠EF=90°+ ． （ⅱ）如图2，当点B′落在∠′EF 内部时， ∵∠′EB = ′ x，∠′EB = ′ ∠B′EB， ∴∠B′EB=3x， ∴∠E =180°− ′ ∠′EB=180°−(∠B′EB−∠′EB )=180°−2 ′ x， ∴∠BEG= ∠BEB = ′ ，∠EF= ∠E =90°− ′ x． ∴∠FEG=180°−∠BEG−∠EF=90°− ． 综上所述，当点B′落在∠′EG 内部时，∠FEG=90°+ ； 当点B′落在∠′EF 内部时，∠FEG=90°− ． ②EB′可能平分∠FEG，理由如下： （）当点B′落在∠′EG 内部时，∠FEG=90°+ ． ∵EB′平分∠FEG，∴∠B′EG= ∠FEG=45°+ ． 又∵∠B′EG= ∠BEB = ′ ， 45°+ ∴ = ，解得x=36°． 此时∠FEG=90°+ =108°． （ⅱ）当点B′落在∠′EF 内部时，∠FEG=90°− ． ∵EB′平分∠FEG，∴∠B′EG= ∠FEG=45°− ． 又∵∠B′EG= ∠BEB = ′ ，∴45°− = ，解得x=( )°． 此时∠FEG=90°− =( )°． 综上所述，当点B′落在∠′EG 内部时，∠FEG=108°； 当点B′落在∠′EF 内部时，∠FEG=( )°． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所 学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题． 类型二、三角形内角和定理与外角和定理 例．在 中， ， 平分 ，点F 为射线 上一点（不与点E 重合）， 且 于点D． (1)如图1，如果点F 在线段 上，且 ， ，则 ______． (2)如果点F 在 的外部，分别作出 和 的角平分线，交于点K，请在图2 中补全图形，探究 、 、 三者之间的数量关系，并说明理由： (3)如图3，若点 与点 重合， 、 分别平分 和 的外角 ，连接 ，过点 作 交 延长线于点 ， 交 的延长线于点 ，若 ，且 ，求 的度数． 【答】(1) (2)画图见解析， ，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求出 ，进而得到 ， ，根据 得 到 ，即可求出 ； （2）根据题意先画出图形，根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到 ，再由三角形内角和定理 得到 ，则 ，据此即 可得到答； （3）根据 得到 ，得到 ，从而求出 ，进而求出 ，结合 ，得到 ．根据 ，得到 ，求出 ．从 而分别求出 ， ， ，再求出 ，根据 四边形内角和为 即可求出 ． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 是 的角平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ； （2）解： ，理由如下： 在 中， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 和 的角平分线交于点K， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：设 ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 、 分别平分 和 的外角 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ，∴ ． ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴在四边形 中， （四边形内角和可以看做 是两个三角形的内角和）． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，三角形角平分线，综合性较强， 第（3）步难度较大．熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键． 【变式训练1】如图1， 是 中 边上的高，点D 是 上一点，连接 交 于 点F， ． (1)求证： ； (2)若 ，求证： ； (3)如图2，在（2）的条件下，延长 至点G，连接 ， ，若 ， ，求线段 的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定） 【答】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先根据 高的意义得出， ，再结合已知条件可得到 ，据此得出结论； （2）首先根据 高的意义及（1）的结论可得出 ，然后再结合已知条 件可得出 ，据此可证明 和 全等，进而可得出结论； （3）首先根据四边形 的面积 的面积 面积可得出 ，过点 作 交 的延长线于点 ，再证 和 全等，从而得 ，由 （2）可知 ，据此可得 ，然后根据 可求出 的长，进而可得 出 的长． 【详解】（1）证明： 是 中 边上的高， ， ， ， ， ， 即： ； （2）证明：由（1）知： ， ， ， ， ， 又∵ ， ， 即： ， ， 即： ， ∵ ， ， 在 和 中， ， ， ； （3）解：∵ 是 中 边上的高， ， ， ， ∵ ， ， ， 即： ， ， 由（2）知： ， ， ， 过点 作 交 的延长线于点 ， 则 ， 由（1）知： ， ， ， 由（2）知： ， 即： ， 在 和 中， ， ， ， 由（2）知： ， ， ， ∵ ， ， 即： ， ， ． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算公式等，解答此题 的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解全等三角形的性质，难点是在解答 （3）时，过点 作 交 的延长线于点 ，从而构成全等三角形． 【变式训练2】综合与探究： (1)如图1， ， 分别是 的两个内角 ， 的平分线，说明 的理由． 【深入探究】 (2)①如图2， ， 分别是 的两个外角 ， 的平分线， 与 之 间的等量关系是 ； ②如图3， ， 分别是 的一个内角 和一个外角 的平分线， ， 交于点 ，探究 与 之间的等量关系，并说明理由． 【拓展应用】 (3)请用以上结论解决下列问题：如图4，在 中， ， 分别平分 ， ， ， ， 分别在 ， ， 的延长线上， ， 分别平分 ， ， ， 分别平分 ， ．若 ，则 的度数是 ． 【答】(1)见解析 (2)① ；② ，理由见解析 (3) ． 【分析】（1）利用角平分线的定义得出 ，再利用三角形内角 和定理即可求解； （2）①利用三角形内角和定理可得 ， ，利用角平分线的定义可得 ， ， 从而得到 ，化简即可求解； ②利用三角形的外角性质可得 ， ，从而得到 ，化简即可求解； （3）由（1）知： ，即可求出 ，利用三角形内角和定理可得 ，再利用角平分线的性质可得 ，利用三角形内角和定理可得 ，再由（2）②可知 ，求解即可． 【详解】（1）解： 、 分别是 、 的平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：① 与 之间的等量关系是： ，理由如下： 、 分别是 的两个外角 、 的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ② 与 之间的等量关系是： ，理由如下： 、 分别是 的一个内角 和一个外角 的平分线， ， ， ， ， ． （3）解：由（1）知： ， ， ， ， ， 、 分别平分 、 ， ， ． 由（2）②知： ， ， 【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关 键是熟记三角形外角性质，内角和定理，角平分线的定义． 类型三、平行线性质与判定 例．如图①，已知 ，一条直线分别交 、 于点E、F， ， ，点Q 在 上，连接 ． (1)已知 ，求 的度数； (2)求证： 平分 ． (3)在（1）的条件下，若 ，将 绕着点F 顺时针旋转，如图②，若当边 转至线段 上时停止转动，记旋转角为 ，请求出当 为多少度时， 与 某一边平行？ (4)在（3）的条件下，直接写出 与 之间的关系． 【答】(1) (2)见解析 (3) 或 或 或 (4) 与 相差 ． 【分析】（1）由 ，得 ，又 ，得证 ； （2）由（1） ，由 ，得 ， ， 由等角的余角相等，得 ，命题得证； （3）由 分别与 的三边分别平行，分情况讨论处理； （4）在（3）的各种情况下，分别计算 与 的度数，可得结论 与 相差 ． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 平分 ． （3）解：① 与 的边 平行时，如下图1 及图4， 如图1，∵ , ∴ , 又 , ∴ , ； 如图4， , ； ② 与 的边 平行时，如下图2， ， ， ∴ ； ③ 与 的边 平行时，如下图3， , ∴ ， 综上，旋转角为 或 或 或 ． （4）解： 时， ， ； 时， ， ； 时， ， ； 时， ， ； 综上， 与 相差 ． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，周角的定义，熟 练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式训练1】如图， ，点P 在直线 上，作 ，交 于点M，点 F 是直线 上的一个动点，连接 ， 于点E， 平分 ． (1)若点F 在点E 左侧且 ，求 的度数； (2)当点 在线段 （不与点M，E 重合）上时，设 ，直接写出 的度数 （用含 的代数式表示）； (3)将射线 从（1）中的位置开始以每秒 的速度绕点P 逆时针旋转至 的位置，转 动的时间为t 秒，求当t 为何值时， 为直角三角形． 【答】(1)9° (2) (3) 为 秒或 秒 【分析】（1）平行线的性质得到 ，三角形内角和，得到 ，角平分线得到 ，垂直得到 ，进而求出 的度数，利用 ，进行求解即可； （2）根据题意，画出图形，同法（1）求出 ， 的度数，利用 ，进行求解即可； （3）分 和 ，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： ， ． 在 中， ， ． 平分 ， ． ， ， ， ． （2）解：如图， ， ． 在 中， ， ． 平分 ， ． ， ， ， ． （3） ， 当 为直角三角形时，存在两种情况： 情况一：当 时， 初始状态时 ， 旋转过的度数为 ． 转动的时间为 （秒）． 情况二：当 时， ． 初始状态时 ， 旋转过的度数为 ． 转动的时间为 （秒）． 综上：当为 秒或 秒时， 为直角三角形． 【点睛】本题考查平行线的性质，与角平分线和高线有关的三角形的内角和．解题的关键 时熟练掌握相关性质和定义，利用数形结合的思想进行求解． 【变式训练2】【基础巩固】（1）如图1，已知 ，求证： ； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形 中， ，点E 是线段 上一点． ， ，求 的度数； 【拓展提高】（3）如图3，在四边形 中， ，点E 是线段 上一点，若 平分 ， ． ①试求出 的度数； ②已知 ， ，点G 是直线 上的一个动点，连接 并延长． 21 若 恰好平分 ，当 与四边形 中一边所在直线垂直时， _______ _； 22 如图4，若 是 的平分线，与 的延长线交于点F，与 交于点P，且 ，则 ________ （用含 的代数式表示）． 【答】（1）见解析（2）40°（3）①90°②21：15°或60°或120°，22： 【