专题38 最值模型之瓜豆模型（原理）曲线解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题38 最值模型之瓜豆模型（原理）曲线 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 瓜豆模型（圆弧轨迹类）...................................................................................................................1 ...............................................................................................................................................12 模型1 瓜豆模型（圆弧轨迹类） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动 点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的， 即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一 类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点．Q 点轨迹是？ 分析：如图，连接，取中点M，任意时刻，均有△MQ ∽△P，QM：P=Q：P=1：2。 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 模型1-2 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，作Q⊥P 且Q=P，当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ 分析：如图，连结，作M⊥，=M；任意时刻均有△P≌△QM，且MQ=P。 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 O P Q A M A Q P O 模型1-3 如图，△PQ 是直角三角形，∠PQ=90°且P=k Q，当P 在圆运动时，Q 点轨迹是？ 分析：如图，连结，作M⊥，:M=k:1；任意时刻均有△P∽△QM，且相似比为k。 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 模型1-4 为了便于区分动点P、Q，可称P 为“主动点”，Q 为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PQ 是定值）；②主动点、从动 点到定点的距离之比是定量（P：Q 是定值）。 α A Q P O α α O P Q M A 分析：如图，连结，作∠M=∠PQ，:M=P：Q；任意时刻均有△P∽△QM。 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆，则动点P 是以圆心，B 半径的圆或圆弧。 P P A B O P P P A B P （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB=90°，则动点P 是以B 为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB 为定值，则动点P 的轨迹为圆弧。 例1（2024·河南南阳·三模）如图，点 ， 半径为2， ， ，点 是 上的动点， 点 是 的中点，则 的最小值为（ ） ．15 B．2 ．25 D．3 【答】 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接 交 于 ，连接 ，由题 意得出 是 的中位线，则 ，从而得到当 最小值， 最小，即当 运动到 时， 最小，此时 也为最小，求出 的长即可得出答． 【详解】解：如图，连接 交 于 ，连接 ， ∵ ， ，∴ ， ，∴ ， ， ∵点 是 的中点，∴ ，∴ 是 的中位线，∴ ， ∴当 最小值， 最小，∴当 运动到 时， 最小，此时 也为最小， ∵ ，∴ 的最小值为 ，故选：． 例2．（2023·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系 中，半径为2 的 与x 轴的正半轴交于点， 点B 是 上一动点，点为弦 的中点，直线 与x 轴、y 轴分别交于点D、E，则点到直线 的最小距离为（ ） ．1 B． ． D． 【答】 【分析】先确定 点的轨迹是 ，则到直线 的最小距离为 ，根据相似得到边长的数量关系，列 方程直接求解即可． 【详解】解：连接 ，如图， ∵点为弦 的中点，∴ ，∴ ，∴点在以 为直径的圆上（点、除外）， 以 为直径作 ，过P 点作直线 于，交 于M、， 当 时， ，则 ，当 时， ，解得 ，则 ， ∴ ，∴ ，∵ 的半径为2，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， 即 ，解得 ，∴ ， ． ∴点到直线 的最小距离为 ．故选：． 【点睛】此题考查圆与三角形的综合，解题关键是先确定 点的轨迹是圆，则到直线 的最小距离为 ，根据相似列方程直接求解即可． 例3．（2023 春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形 为正方形，P 是以边 为直径的 上一动点，连接 ，以 为边作等边三角形 ，连接 ，若 ，则线段 的最大值为 ． 【答】 / 【分析】连接 、 ，将 绕点B 逆时针旋转 得到 ，连接 ，通过证明 ，得出 ，从而得出点Q 在以点 为圆心， 为半径的圆上运动；则当 点， ，P 三点在同一直线上时， 取最大值，易证 为等边三角形，求出 ，即可 求出 ． 【详解】解：连接 、 ，将 绕点B 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ∵ 绕点B 逆时针旋转 得到 ，∴ ， ， ∵ 为等边三角形，∴ ， ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ，∴ ， ∵ ，四边形 为正方形，∴ ，则 ， ∴ ，∴点Q 在以点 为圆心， 为半径的圆上运动； ∴当点， ，P 三点在同一直线上时， 取最大值， 在 中，根据勾股定理可得： ， ∵ ， ， ∴ 为等边三角形，∴ ， ∴ ，故答为： ． 【点睛】本题主要考查看瓜豆模型——圆生圆模型，解题的关键是确定从动点Q 的运动轨迹，以及熟练掌 握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． 例4．（23-24 九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系 中，点的坐标是 ，点B 是 上一点， 的半径为2，将 绕点顺时针方向旋转 得 ，连接 ，则线段 的最小值为 （ ） ． B． ．5 D．6 【答】 【分析】把 绕点顺时针方向旋转 得 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ， 以点 为圆心作 ，使 的半径为2， 点B 是 上一点，则点 是 上一点，当点 三点共 线，即点 在 上时， 最小． 【详解】解：如图，把 绕点顺时针方向旋转 得 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，以点 为圆心作 ，使 的半径为2， ， ， ， ， ， ， 过 作 于点 ， ， 在 中， ， 点B 是 上一点，则点 是 上一点， ， 当点 三点共线，即点 在 上时， 最小， ，故线段 的最小值为 ．故选：． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题的关键是作出 正确的辅助线，运用数形结合的思想方法． 例5．（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形BD 的边长为2，以点为圆心，1 为半径作圆，E 是⊙上的任意一点，将线段DE 绕点D 顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结F， 则F 的最小值是 ． 【答】 【分析】通过证 可得 ，由勾股定理可得 ，根据三角形三边 关系求F 的最小值即可； 【详解】解：如图，取D 中点G，连接E、GF、G， ∵ED⊥DF，∴∠EDF=90°，∵四边形BD 是正方形，∴∠GD=90°， ∠ ∵ GDF+∠FD=90°，∠FD+∠DE=90°，∴∠GDF=∠DE， ∵ ，∴ ，∴ ， 又E=1，解得 ，由勾股定理可得， ， 由三边的关系可得，F 的最小值为：G-GF= ；故答为： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，掌握相似三角形的判定 与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键 例6．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ， ，点 是 上一动点，连接 ，以 为斜边在 的上方作Rt ，且使 ，连接 ，则 长的最大值为 ． 【答】 / 【分析】作 ，使得 ， ，则 ， ， ，由 ，推出 ，即 （定长），由点 是定点， 是定长，点 在半径 为1 的 上，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作 ，使得 ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 （定长）， 点 是定点， 是定长， 点 在半径为1 的 上， ， 的最大值为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 例7．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ， ，平面上 有一点P， ，连接 ， ，取 的中点G．连接 ，在 绕点的旋转过程中，则 的最大值 是（ ） ．3 B．4 ． D．5 【答】 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的 确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取 的中点 ，连接 ， ，证明 在以 为圆心， 为半径的圆上，即可得到答． 【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ∵ 为 的中点， ，∴ ，∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上， 当，Q，G 三点共线时， 最大， ， ∵ ， ， ，∴ ，∴ ， ∴ ，即 的最大值为．故选 例8．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系 中，对于图形 与图形 给出如下定义： 为图形 上任意一点，将图形 绕点 顺时针旋转 得到 ，将所有 组成的图形记作 ，称 是图形 关于图形 的“关联图形”．(1)已知 ， ， ，其中 ． 若 ，请在图中画出 点 关于线段 的“关联图形”； 若点 关于线段 的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出 的取值范围；(2)对于平面上一条长度为 的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形” 上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为 ，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出 的取值范围 （用含 和的式子表示）． 【答】(1)①见详解；② 或 (2) 【分析】（） 根据新定义找出关键点 的旋转 后连接 即可； 同上理分情况讨论即可； （ ）画出分析图，如图所示，线段 的长度为 ，圆 的半径为，易得 且相似比为 ，再移动图形即可求出 ；本题考查了旋转的性质，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，熟练 掌握以上知识的应用是解题的关键． 【详解】（1）解： 如图所示：线段 即为所求； 如图：当 时，点 关于线段 的“关联图形”与 轴恰有公共点， ∴ 时，点 关于线段 的“关联图形”与 轴有公共点； 当 时，点 关于线段 的“关联图形”与 轴恰有公共点， ∴ 时，点 关于线段 的“关联图形”与 轴有公共点； 综上所述： 或 ； （2）如图，画出分析图，如图所示，线段 的长度为 ，圆 的半径为， 点 分别绕点 顺时针旋转 得到 ，分析可知 且相似比为 ， 可得圆 的半径均为 ，随意转动图，可得 ． 1．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段 ，点 为 的中点，动点 到点 的距离是1，连接 ， 线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 长度的最大值是（ ） ．3 B．4 ． D． 【答】D 【分析】以 为斜边向上作等腰直角 ，连接 ， ．利用相似三角形的性质证明 ，推出 点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，根据 ，可得结论． 【详解】解：以 为斜边向上作等腰直角 ，连接 ， ． ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ∴ ，同理 ， ， ， ， ， ， ， 点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， ， ，故线段 长度的最大值为 ．故选：D． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，点与圆的位置关系， 三角形三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压 轴题． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图， 中， ， ，点D 是 的中点，P 是 以为圆心，以 为半径的圆上的动点，连接 ，则 的最大值为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定 ，分别确定点的运动轨迹为阿氏圆， 点的运动轨迹为阿氏圆 ，，由此可知，当 最最小时， 的值最大，进行求解即可 【详解】解：固定 ，则 ，∴点的运动轨迹为阿氏圆， 设 ，则 ， ，则 ， ∵ ， ，∴点的运动轨迹为阿氏圆 ，∴ ， ∴ ，∴当 最小时， 的值最大， ，∴ ，故选：D． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点和点 的动直线，b，其夹角 ，点M 是 中点，连接 ，则 的最小值是（ ） ．4 B． ． D． 【答】 【分析】作 的外接圆 ，连接 ，取 的中点Q，连接 ，证明 是等边三角 形，求出 ，得到点M 在以Q 为圆心，4 为半径的圆上运动，画出 ，当M 在 与 的 交点时，连接 交 于M，此时 有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：作 的外接圆 ，连接 ，取 的中点Q，连接 ， ∵ ， ，∴ 是等边三角形，∵ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴点M 在以Q 为圆心，4 为半径的圆上运动，画出 ， 当M 在 与 的交点时，连接 交 于M，此时 有最小值， ∵ 是等边三角形， ，∴ ， ∵ ， ，∴ ．∴ 的最小值是 ，故选：． 【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性 质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键． 4．（23-24 九年级上·江苏连云港·阶段练习）等边 的边长为 ， 是 上一点， ，把 绕 点 旋转一周， 点的对应点为 ，连接 ， 的中点为 ，连接 ．则 长度的最小值是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形中位线的性质及三边关系，取 中点 ，连接 ，利用等边三角形的性质和勾股定理求出 ，根据三角形中位线 定理得到 ，再利用三角形三边关系 即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵ ，把 统点 旋转一周，∴ ， 等边 的边长为 ，点 是 中点，∴ ， ， ∴ ， ∵点 是 的中点，∴ ，又∵ ，∴ ， 在 中， ，∴ 的最小值为 ，故选： ． 5．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ， ，平面上有 一点P， ，连接 ， ，取 的中点G．连接 ，在 绕点的旋转过程中，则 的最大值是 （ ） ．3 B．4 ． D．5 【答】 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的 确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取 的中点 ，连接 ， ，证明 在以 为圆心， 为半径的圆上，即可得到答． 【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ∵ 为 的中点， ，∴ ，∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上， 当，Q，G 三点共线时， 最大， ， ∵ ， ， ，∴ ，∴ ， ∴ ，即 的最大值为．故选 6．（2024·河南郑州·三模）如图，点M 是等边三角形 边 的中点，P 是三角形内一点，连接 ， 将线段 以为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有 关定义以及和性质等知识，得到点Q 的运动路线是解答的关键．连接 ， ，将线段 绕着点逆时 针旋转 得到线段 ，连接 ， ，由旋转性质可推导 ， 是等边三角 形，则 ， ，根据圆的定义可得点Q 在以为圆心，1 为半径的圆上运动，进而可知当 M、Q、共线时， 最小，最小值为 ，根据等边三角形的性质求得 值即可求解． 【详解】解：连接 ， ，将线段 绕着点逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ， 由旋转性质得 ， ， ，即 ， ∴ ， 是等边三角形，∴ ， ， 则点Q 在以为圆心，1 为半径的圆上运动， ∵ ，∴当M、Q、共线时， 最小，最小值为 ， ∵点M 是等边三角形 边 的中点， ，∴ ， ， ∴ ，即 ，∴ 的最小值为 ，故答为： ． 7．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值 为 ． 【答】 【分析】连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ，由 的运动轨迹是以 为圆 心，为半径的半圆，可得： 的运动轨迹是以 为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任 一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当 、 、 三点共 线时， 的值最小，可求 ，从而可求解． 【详解】解，如图，连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ， 的运动轨迹是以 为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以 为圆心，为半径的半圆， 如图，当 、 、 三点共线时， 的值最小， 四边形 是正方形， ， ， 是 的中点， ， ， 由旋转得： ， ， ， 的值最小为 ．故答： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性 质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 8．（2024 年成都市树德实验中学西区中考数学诊断试题）如图， ， ，点 是线 段 上一个动点，连接 ，将线段 沿直线 进行翻折，点 落在点 处，连接 ，以 为斜 边在直线 的左侧或者下方构造等腰直角三角形 ，则点 从 运动到 的过程中，线段 的最 小值是