专题37 最值模型之瓜豆模型（原理）直线解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题37 最值模型之瓜豆模型（原理）直线 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 瓜豆原理（模型）（直线轨迹）.......................................................................................................1 ............................................................................................................................................... 11 模型1 瓜豆原理（模型）（直线轨迹） 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的 轨迹相同。 只要满足： 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定 角 3、两动点到定点的距离比值是定 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹 长度的比和它们到定点的距离比相同。 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在 直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 模型1）如图，P 是直线B 上一动点，是直线B 外一定点，连接P，取P 中点Q，当点P 在直线上运动时， 则Q 点轨迹也是一条直线。 P Q A B C N C B A Q P M 证明：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中， 因为P=2Q，所以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 模型2）如图，在△PQ 中P=Q，∠PQ= 为定值，当点P 在直线B 上运动时，则Q 点轨迹也是一条直线。 证明：在B 上任取一点P1，作三角形△P1Q1，且满足∠P1Q1= ，Q1=P1，连结Q1Q 交B 于点， ∵P=Q，Q1=P1，∠P1Q1=∠PQ= ， ，∴∠PP1=∠QQ1， ∠ ∵ MP=∠MQ，∴∠MQ=∠PQ= ，即Q 点所在直线与B 的夹角为定值，故Q 点轨迹是一条直线． 当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）； ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线） 为其他已知轨迹的线段求最值。 例1．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形 的边 ，E 为 上一点，且 ，F 为 边上的一个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则 的最小值为（ ） ． B． ．3 D． 例2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图， 是边长为2 的等边三角形，点E 为中线BD上的动点．连 接CE，将CE绕点顺时针旋转60°得到CF．连接 ，则 ，连接 ，则 周长的最小值 是 ． 例3．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形 为矩形，对角线 与 相交于点 ，点 在边 上，连接 ，过 做 ，垂足为 ，连接 ，若 ， ，则 的最小值 为 ． 例4．（2023·安徽·合肥三模）如图，在Rt△B 纸片中，∠B＝90°，＝4，B＝3，点D，E 分别在B，B 边上， 连接DE，将△BDE 沿DE 翻折，使点B 落在点F 的位置，连接F，若四边形BEFD 是菱形，则F 的长的最 小值为（ ） ． B． ． D． 例5．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形 中， ， ，点P 在线段 上运动（含 B，两点），连接 ，以点为中心，将线段 逆时针旋转 到 ，连接 ，则线段 的最小值为 例6．（2024·重庆模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， 是直线 上的一个动点，将 绕点 逆时针旋转 ，得到点 ，连接 ，则 最小值为______． 例7．（2024·广东·九年级校考期中）如图， 中， ， ， ，点E 是边 上一点，将 绕点B 顺时针旋转 到 ，连接 ，则 长的最小值是（ ） ．2 B．25 ． D． 1．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形 中， ， ， ， 是边 上一 点，且 ， 是边 上的一个动点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 、 ， 则 的最小值是（ ） ．4 B． ． D． 2．（2024·湖南长沙·一模）如图，矩形 中， ，F 是 上一点，E 为 上一点，且 ，连接 ，将 绕着点E 顺时针旋转 到 的位置，则 的最小值为 ． 3．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在矩形 中， ， ，点 为矩形对角线 上一动点， 连接 ，以 为边向上作正方形 ，对角线 交于点 ，连接 ，则线段 的最小值为 4．（2023 上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知 ，B 为 上一点， 于，四 边形 为正方形，P 为射线 上一动点，连接 ，将 绕点顺时针方向旋转 得 ，连接 ， 若 ，则 的最小值为 ． 5．（2023 上·陕西渭南·九年级统考期中）如图，在矩形 中， ，点 为边 的中点，连接 ．点 是边 上一动点，点 为边 的中点，连接 ．当 时， 的最小值是 ． 6．（2023 上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点是y 轴上 一动点，设其坐标为 ，线段 绕点逆时针旋转 至线段 ，则点B 的坐标为 ，连接 ，则 的最小值是 ． 7．（2024·山东校考一模）如图，正方形 中， ，点E 为边 上一动点，将点绕点E 顺时针 旋转 得到点F，则 的最小值为__________． 8．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，在矩形 中， ， ，点 为边 上的动点，连 接 ，过点 作 ，且 ，连接 ，则线段 长度的最小值为______． 9．（23-24 八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点 在直线上， 于点 ， ，点 在直线上运 动，以 为边作等边 ，连接 ，则 的最小值为 ． 10．（2024·四川达州·三模）如图，在等腰 中， ， ，点 是 边上 一动点，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， ，则 的最小值是 ． 11．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形 中， ，点 ， 为直线 上的两个动点，且 ，将线段 关于 翻折得线段 ，连接 ．当线段 的长度最小时， 的度 数为 度． 12．（23-24 八年级下·辽宁沈阳·期中）如图， 中， ， ， ，D 是 线段 上一个动点，以 为边在 外作等边 ．若F 是 的中点，连接 ，则 的最小 值为 ． 13．（2024 九年级下·江苏·专题练习）等边 边长为6，D 是 中点，E 在 上运动，连接 ，在 下方作等边 ，则 周长的最小值为 ． 14．（23-24 九年级下·湖北武汉·阶段练习）在等腰△B 中，＝B，D 是B 延长线上一点，E 是线段B 上一点， 连接DE 交于点F． (1)如图1，求证： ；(2)如图2，若∠＝90°，DF＝EF，DF：E＝5：3，DF＝2，求D 的长； (3)如图3，若∠1＝60°，B＝2D＝6，E 在直线B 上运动，以DE 为斜边向上构造直角△DTE，且∠E＝30°， 请直接写出T 的最小值是 ． 15．（2023·山东临沂·二模）如图，矩形 中， ， ，点E 在线段 上运动，将 绕 点顺时针旋转得到 ，旋转角等于 ，连接 ． (1)当点E 在 上时，作 ，垂足为M，求证： ；(2)连接 ，点E 从点B 运动到点的过 程中，试探究 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 16．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点 依次在直线上，点 固定不动，且 ， 分别以 为边在直线同侧作正方形 、正方形 ， ，直角边 恒过点 ，直 角边 恒过点 ．(1)如图，若 ， ，求点 与点 之间的距离；(2)如图，若 ， 当点 在点 之间运动时，求 的最大值；(3)如图 ，若 ，当点 在点 之间运动时， 点 随之运动，连接 ，点 是 的中点，连接 ，则 的最小值为_______． 17．（23-24 九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】数学课上张老师在讲完正方形的性质之后提出了一个 问题：四边形 是边长为3 的正方形，点E 是边 上的一动点，连接 ，以 为一边作正方形 （点，E，F，G 按顺时针方向排列），连接 ， ． (1)如图1，求点G 到 的距离，请写出解答过程； 【类比分析】爱动脑的数学兴趣小组在研讨的过程中，也提出了一个问题： (2)如图2，当 经过点D 时，求 的长，请写出解答过程； 【学以致用】看到同学们兴致勃勃的样子，张老师说：“角相等可以是三角形全等的条件，也能推导出相 似”，于是给同学们留了一道思考题： (3)求代数式 的最小值．经过小组研讨，组长小明进行了整理，给出了部分解题思路； 解题思路：如图3，作等腰直角 ，使 ，连接 ， ， ，则点，D， 三点共线， 由 ， ，可得 ， 由 ， ，可得 ，……请完成“……”部分的解答过程． 18．（2024·山东济南·一模）【问题情境】：（1）如图1，四边形 是正方形，点 是 边上的一 个动点，以 为边在 的右侧作正方形 ，连接 ，则 与 的数量关系是______． 【类比探究】：（2）如图2，四边形 是矩形， ，点 是 边上的一个动点，以 为边在 的右侧作矩形 ，且 ，连接 ．判断线段 与 有怎样的数量关系： ______，并说明理由： 【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，求 的最小值．