专题38 最值模型之瓜豆模型（原理）曲线解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题38 最值模型之瓜豆模型（原理）曲线 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 瓜豆模型（圆弧轨迹类）...................................................................................................................1 ...............................................................................................................................................12 模型1 瓜豆模型（圆弧轨迹类） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动 点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的， 即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一 类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点．Q 点轨迹是？ 分析：如图，连接，取中点M，任意时刻，均有△MQ ∽△P，QM：P=Q：P=1：2。 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 模型1-2 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，作Q⊥P 且Q=P，当点P 在圆上运动时，Q 点轨迹是？ 分析：如图，连结，作M⊥，=M；任意时刻均有△P≌△QM，且MQ=P。 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 O P Q A M A Q P O 模型1-3 如图，△PQ 是直角三角形，∠PQ=90°且P=k Q，当P 在圆运动时，Q 点轨迹是？ 分析：如图，连结，作M⊥，:M=k:1；任意时刻均有△P∽△QM，且相似比为k。 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 模型1-4 为了便于区分动点P、Q，可称P 为“主动点”，Q 为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PQ 是定值）；②主动点、从动 点到定点的距离之比是定量（P：Q 是定值）。 α A Q P O α α O P Q M A 分析：如图，连结，作∠M=∠PQ，:M=P：Q；任意时刻均有△P∽△QM。 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆，则动点P 是以圆心，B 半径的圆或圆弧。 P P A B O P P P A B P （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB=90°，则动点P 是以B 为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB 为定值，则动点P 的轨迹为圆弧。 例1（2024·河南南阳·三模）如图，点 ， 半径为2， ， ，点 是 上的动点， 点 是 的中点，则 的最小值为（ ） ．15 B．2 ．25 D．3 例2．（2023·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系 中，半径为2 的 与x 轴的正半轴交于点， 点B 是 上一动点，点为弦 的中点，直线 与x 轴、y 轴分别交于点D、E，则点到直线 的最小距离为（ ） ．1 B． ． D． 例3．（2023 春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形 为正方形，P 是以边 为直径的 上一动点，连接 ，以 为边作等边三角形 ，连接 ，若 ，则线段 的最大值为 ． 例4．（23-24 九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系 中，点的坐标是 ，点B 是 上一点， 的半径为2，将 绕点顺时针方向旋转 得 ，连接 ，则线段 的最小值为 （ ） ． B． ．5 D．6 例5．（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形BD 的边长为2，以点为圆心，1 为半径作圆，E 是⊙上的任意一点，将线段DE 绕点D 顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结F， 则F 的最小值是 ． 例6．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ， ，点 是 上一动点，连接 ，以 为斜边在 的上方作Rt ，且使 ，连接 ，则 长的最大值为 ． 例7．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ， ，平面上 有一点P， ，连接 ， ，取 的中点G．连接 ，在 绕点的旋转过程中，则 的最大值 是（ ） ．3 B．4 ． D．5 例8．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系 中，对于图形 与图形 给出如下定义： 为图形 上任意一点，将图形 绕点 顺时针旋转 得到 ，将所有 组成的图形记作 ，称 是图形 关于图形 的“关联图形”．(1)已知 ， ， ，其中 ． 若 ，请在图中画出 点 关于线段 的“关联图形”； 若点 关于线段 的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出 的取值范围；(2)对于平面上一条长度为 的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形” 上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为 ，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出 的取值范围 （用含 和的式子表示）． 1．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段 ，点 为 的中点，动点 到点 的距离是1，连接 ， 线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 长度的最大值是（ ） ．3 B．4 ． D． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图， 中， ， ，点D 是 的中点，P 是 以为圆心，以 为半径的圆上的动点，连接 ，则 的最大值为（ ） ． B． ． D． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点和点 的动直线，b，其夹角 ，点M 是 中点，连接 ，则 的最小值是（ ） ．4 B． ． D． 4．（23-24 九年级上·江苏连云港·阶段练习）等边 的边长为 ， 是 上一点， ，把 绕 点 旋转一周， 点的对应点为 ，连接 ， 的中点为 ，连接 ．则 长度的最小值是（ ） ． B． ． D． 5．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ， ，平面上有 一点P， ，连接 ， ，取 的中点G．连接 ，在 绕点的旋转过程中，则 的最大值是 （ ） ．3 B．4 ． D．5 6．（2024·河南郑州·三模）如图，点M 是等边三角形 边 的中点，P 是三角形内一点，连接 ， 将线段 以为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ． 7．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值 为 ． 8．（2024 年成都市树德实验中学西区中考数学诊断试题）如图， ， ，点 是线 段 上一个动点，连接 ，将线段 沿直线 进行翻折，点 落在点 处，连接 ，以 为斜 边在直线 的左侧或者下方构造等腰直角三角形 ，则点 从 运动到 的过程中，线段 的最 小值是 ，当 从点 运动到点 时，点 的运动总路径长是 ． 9（2023·深圳外国语学校中考模拟预测）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，以点为圆心，2 为半径作圆， E 是 A  上的任意一点，将线段DE 绕点D 顺时针方向旋转90并缩短到原来的一半，得到线段DF ，连接 AF ，则AF 的最小值是 ． 10．（24-25 九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形 中， ， ， 是矩形 左侧 一点，连接 、 ，且 ，连接 ， 为 的中点，连接CE，则CE的最大值为 ． 11．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形 的边长为5，以 为圆心，2 为半径作 ，点 为 上的动点，连接 ，并将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，在点 运动的过程中， 长度 的最大值是 ． 12（23-24 九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是 上任意一点，点 在 外，已知 ， 是等边三角形，则 的面积的最大值为 13．（2024·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝3，B＝6，BD＝2，以点B 为圆 心，BD 长为半径作圆，点E 为 上的动点，连结E，作F⊥E，垂足为，点F 在直线B 的上方，且满足 ，连结BF．当点E 与点D 重合时，BF 的值为 ．点E 在 上运动过程中，BF 存在最大值 为 ． 14．（23-24 九年级·重庆·阶段练习）如图， 4 AB ，O 为AB 的中点， O  的半径为1，点P 是 O  上一 动点，以PB 为直角边的等腰直角三角形PBC （点P 、B 、C 按逆时针方向排列），则线段AC 的长的取 值范围为 ． 15．（2024·浙江·一模）如图，在矩形 中， ， 是线段 上一动点，点 ， 绕点 逆时 针旋转 得到点 ， ，若在运动过程中 的度数最大值恰好为 ，则 的长度为 ． 16．（23-24 九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）问题提出：如图①，在矩形 中， ， ， 是 上一动点，则 的最小值为_________ （2）问题探究：如图②，在正方形 中， ，点 是平面上一点，且 ，连接 ，在 上 方作正方形 ，求 的最大值． （3）问题解决：为迎接2021 年9 月在西安举办的第14 届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正 方形区域 进行设计改造，方使大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角 为健身运动 区域，直角顶点E 设计在草坪区域扇形 的弧 上．设计铺设 和 这两条不同造价鹅卵石路， 已知 米， 米， ， ，若铺设 路段造价为每米200 元，铺设 路段的造价为每米100 元，请求出铺设 和 两条路段的总费用的最小值． 17．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①， 的半径为2，点 是 外的一个定点， ．点 在 上，作点 关于点 的对称点 ，连接 、 ．当点 在 上运动一周时，试探究点 的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长 至点 ，使 ，连接 ，通过证明 ，可推出点 的运动路径是以点 为圆心、2 为半径 的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长 至点 ，使 ，连接 ． 1°当点 在直线 外时， 证明过程缺失 2°当点 在直线 上时，易知 ． 综上，点 的运动路径是以点 为圆心、2 为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形 中，点 分别为边 的中点，连接 ，点 是 中点， 点 是线段 上的任意一点， ．点 是平面内一点， ，连接 ．作点 关于点 的对称点 ，连接 ． （1）当点 是线段 中点时，点 的运动路径长为________________． （2）当点 在线段 上运动时，连接 ．设线段 长度的最大值为 ，最小值为 ，则 _____ ___________． 18．（2024·吉林·二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图，已知 半径是，点 是 上的一个动点，点 是平面内一点， ，求证：线段 的最大值为 ． 【问题解决】经过分析，如图 ，小明将 延长交 于点 ，并猜想此时 最大，为了验证这个猜 想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明 如图 ， 在 上任意取一点 点 不与点 重合， 连结 、 ， 证明过程缺失 则 ，则此时， 最大， 最大值为 ． 【问题延申】如图， 在 中， ， ， ， 点 是边 上的一个动点， 连 结 ， 过点 作 于点 ， 连结 ， 则线段 的最小值是 ． 【拓展提升】如图 ，某景区有一片油菜花地，形状由 和以 为直径的半圆两部分构成， 已知 米， ， ， 为了方便游客游览， 该景区计划对油菜花地进行改造，根据设 计要求，在半圆上确定一点 ，沿 修建小路，并在 中点 处修建一个凉亭，沿 修建仿古长 廊，由于仿古长廊造价很高、为了控制成本，景区要求仿古长廊 的长度尽可能短，若不考虑其他因素， 则仿古长廊 最短为 米．(结果保留根号)