专题07 三角形中的重要模型-等积模型（解析版）

专题07 三角形中的重要模型-等积模型 三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的 思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三 角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应 试题分析，方便掌握。 模型1 等积变换基础模型 1）等底等高的两个三角形面积相等； 如图1，当AB // ，则 ； 反之，如果 ，则可知直线AB // 。 图1 图2 图3 2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如图2，当点D 是B 边上的动点时，则S△BD∶S△D＝BD∶D。 如图3，当点D 是B 边上的动点，BE⊥D，F⊥D 时，则S△BD∶S△D＝BE∶F。 例1．（山东省临沂市2023-2024 学年八年级月考）如图， 是 边 的中线，点E 在 上， ， 的面积是3，则 的面积是（ ） ．4 B．3 ．2 D．1 【答】D 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出 ． 【详解】解：∵ 是 边 的中线， 的面积是3，∴ ， ∵ ，∴ ，故选：D． 【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分 成面积相等的两部分． 例2．（河北省石家庄市2023-2024 学年八年级月考）如图， 是 的边 上的中线， 是 的边 上的中线， 是 的边 上的中线，若 的面积是32，则阴影部分的面积是（ ） ．9 B．12 ．18 D．20 【答】B 【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵ 是 的边 上的中线，∴ ， ∵ 是 的边 上的中线，∴ ， 又∵ 是 的边 上的中线，则 是 的边 上的中线， ∴ ， ， 则 ，故选：B． 【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键． 例3．（湖北十堰五校联考2023-2024 学年八年级月考）如图，点 为 的重心， ， ， 分别为 ， ， 的中点，具有性质： ．已知 的面积为2，则 的 面积为 ． 【答】12 【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答． 【详解】解： ， 的面积为2， 的面积为4， 的面积为 ， 点 为 的中点， 的面积 的面积， 的面积为 ，故答为：12． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比 等于底之比是解题的关键． 例4．（浙江省杭州市2023-2024 学年八年级上学期10 月月考数学试题）如图， 是 的一条中线， E 为 边上一点且 ， 相交于F，四边形 的面积为6，则 的面积是 ． 【答】144 【分析】连接 , 设 则 根据 为 边上中线，可得 ；根据 ，可得 进而， 的面积可表 示为 和 由此建立方程 解出的值即可得到 的面积 【详解】解：连接 ，如图所示：设 则 ∵ 为 边上中线， ∵ ， ， ， 即 解得: ，故答为: 144 【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面 积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题 例5．（2023 春·江西萍乡·八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积． 如图1， 是 边 上的中线，则 ． 理由：因为 是 边 上的中线，所以 ． 又因为 ， ，所以 ． 所以三角形中线等分三角形的面积． 基本应用： 在如图2 至图4 中， 的面积为． (1)如图2，延长 的边 到点D，使 ，连接 ．若 的面积为 ，则 （用 含的代数式表示）； (2)如图3，延长 的边 到点D，延长边 到点E，使 ， ，连接 ．若 的 面积为 ，则 （用含的代数式表示）； (3)在图3 的基础上延长 到点F，使 ，连接 ， ，得到 （如图4）．若阴影部分的面 积为 ，则 （用含的代数式表示）； 拓展应用： (4)如图5，点D 是 的边 上任意一点，点E，F 分别是线段 ， 的中点，且 的面积为 ，则 的面积为 （用含的代数式表示），并写出理由． 【答】(1) (2)2 (3)6 (4)2，见解析 【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答； （2）连接 ，运用“等底同高的三角形面积相等”得出 ，即可得解； （3）由（2）结论即可得出 ，从而得解； （4）点E 是线段 的中点，可得 ， ． ．点F 是线段 的中点， 可得 ．从而可得答． 【详解】（1）解：如图2， 延长 的边 到点 ，使 ， 为 的中线， 即 ； （2）如图3，连接 ， 延长 的边 到点 ，延长边 到点 ，使 ， ， ， ， ，即 ； （3）由（2）得 ， 同理： ， ， ； （4） ，理由如下：理由：∵点E 是线段 的中点， ∴ ， ．∴ ． ∵点F 是线段 的中点，∴ ．∴ ． 【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并 适当添加辅助线是解答此题的关键． 例6．（2023 春·上海·九年级期中）解答下列各题 (1)如图1，已知直线 ，点 、 在直线 上，点 、 在直线 上，当点 在直线 上移动时，总有 ______与 的面积相等． (2)解答下题．①如图2，在 中，已知 ，且 边上的高为5，若过 作 ，连接 、 ，则 的面积为______． ②如图3， 、 、 三点在同一直线上， ，垂足为 ．若 ， ， ， ，求 的面积． (3)如图4，在四边形 中， 与 不平行， ，且 ，过点 画一条直线平分四 边形 的面积（简单说明理由）． 【答】(1) (2)①15；② (3)图见解析，理由见解析 【分析】（1）根据 ，可得 和 同底等高，即可求解； （2）①先求出 ，再由 ，可得△B 和△BE 是同底等高的两个三角形，即可求解； ②先求出 = ，再由 ， ，可得∥BF，从而得到 ，即可求解；（3）过点B 作BE∥交D 延长线于点E，连接E，取DE 的中点F，作直线F，则 直线F 即为所求，可得 ，从而得到 ，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ，∴ 和 同底等高，则 与 的面积相等； （2）解：①∵ ，且 边上的高为5，∴ ， ∵ ，∴△B 和△BE 是同底等高的两个三角形，∴ ； ②∵ ， ， ，∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴∠EBG=120°， ∴∠EBF=60°，∴∠EBF=∠B，∴∥BF，∴ ； （3）解： 如图，过点B 作BE∥交D 延长线于点E，连接E，取DE 的中点F，作直线F，则直线F 即为所 求，理由如下： ∵BE∥，∴△B 和△E 的公共边上的高也相等， ∴ ，∴ ， ∴ ，∵ ， ∴所以面积等分线必与D 相交，取DE 中点F，则直线F 即为要求作的四边形BD 的面积等分线． 【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题 的关键． 模型2 蝴蝶（风筝）模型 蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则 四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系 如图1，结论：① 或 ；② 。 梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系 如图2，结论：① ；② ；③梯形 的对应份数为 。 例1．在四边形BD 中，和BD 互相垂直并相交于点，四个小三角形的面积如图所示．则阴影部分三角形B 的面积为 ． 【答】45 【详解】设阴影部分面积为x。 根据蝴蝶（风筝）定理： 即：20：x=16：36 解得：x=45 估阴影部分的面积为45 例2、如图，S△B＝24 平方厘米，S△D＝16 平方厘米，S△BD＝25 平方厘米，则S△B为 平方厘米。 【答】9 平方厘米 【解析】在四边形BD 中，根据蝴蝶（风筝）模型得：D：B＝S△D：S△B＝16：24＝2：3， 则S△B＝ S△BD＝ ×25＝15（平方厘米），则S△B＝S△B—S△B＝24—15＝9（平方厘米） 例3、如下图，梯形 的 平行于 ，对角线 ， 交于 ，已知 与 的面积分 别为 平方厘米与 平方厘米，那么梯形 的面积是________平方厘米． 35 25 O A B C D 【答】144 平方厘米 【解析】根据梯形蝴蝶定理， ，可得 ， 再根据梯形蝴蝶定理， ，所以 (平方厘米)． 那么梯形 的面积为 (平方厘米)． 例4、如图，梯形 中， 、 的面积分别为 和 ，则梯形 的面积为 ． O D C B A 【答】75 【解析】根据梯形蝴蝶定理， ，所以 ， ， ， ． 例5、梯形BD 中，对角线，BD 交于点，B 垂直，并且已知＝6 厘米，B＝10 厘米，则三角形D 的面积是 平方厘米。 【答】24 平方厘米 【解析】在梯形BD 中，根据蝴蝶定理得：S D △＝S B △ 在直角三角形B 中，根据勾股定理得：B2＝B2—2＝102—62＝64＝82，所以B＝8 所以S D △＝S B △＝6×8÷2＝24（平方厘米） 例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，则中间的四边形GQS 的面积为 。 【答】17 【解析】如下图，连接EF、G 和 在平行四边形BEF 中，根据蝴蝶模型得：S BP △＝S EPF △ ＝6， 在平行四边形EFG 中，S EQF △ ＝S GQ △ ＝13—6＝7； 在平行四边形D 中，S DT △＝S T △＝5， 在平行四边形G 中，S GS △＝S S △＝15—5＝10， 所以S 四边形GQS＝S GQ △ ＋S S △＝7＋10＝17 模型3 燕尾（定理）模型 条件：如图，在 中，E 分别是 上的点， 在 上一点，结论：S1 S2 S3 S4 S1+S3 S2+S4 BE E。 例1、如图，△B 中，M、分别是B、边上的三等分点，M、B 相交于点，已知△BM 的面积为2，则四边形M 的面积为 。 【答】8 【解析】如图，连接 由“燕尾定理”可得： , 所以可得 所以 ,所以四边形M 的面积为8 例2．（2023·山东·八年级专题练习）如图，在△B 中，已知点P、Q 分别在边、B 上，BP 与Q 相交于点，若 △BQ、△B、△P 的面积分别为1、2、3，则△PQ 的面积为（ ） ．22 B．225 ．23 D．235 【答】B 【分析】连接，根据△BQ、△B、△P 的面积分别为1、2、3，求出S△PQ=15，设S△P=x，S△Q=y，仍然利用 △BQ、△B、△P 的面积分别为1、2、3，列出关于x、y 的方程组，解得x、y 的值，然后利用S△QP=S△P+S△Q- S△PQ即可求出答． 【详解】连接， BQ ∵△ 、△B、△P 的面积分别为1、2、3， ∴ ， ，∴S△PQ=15， 设S△P=x，S△Q=y，则 ，解得 ， S△QP=S△P+S△Q-S△PQ=15+9-15=225．故选B． 【点睛】本题考查三角形面积的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握三角形关于面积的相关知识与运算 例3．如下图，三角形 中， ，且三角形 的面积是，则三角形 的面积为 ． 【答】19 【详解】连接BG， 份 根据燕尾定理， ， 得 (份)， (份)，则 (份)，因此 , 同理连接、得 , ,所以 三角形G 的面积是1，所以三角形B 的面积是19 例4．（2023 江苏淮安九年级月考）已知 的面积是60，请完成下列问题： (1)如图1，若 是 的 边上的中线，则 的面积______ 的面积．（填“>”“<”“=”） (2)如图2，若 、 分别是 的 、 边上的中线，求四边形 的面积可以用如下方法， 连接 ，由 得： ，同理： ，设 ， ，则 ， 由题意得： ， ，可列方程组为： ，解得_____ _，则可得四边形 的面积为______．(3)如图3， ， ，则四边形 的 面积为______．(4)如图4，D，F 是 的三等分点，E，G 是 的三等分点， 与 交于，且 ，则四边形 的面积为______． 【答】(1)= (2) ，20 (3)11 (4) 【分析】（1）过点作 于点，根据中线的定义得出 ，再根据三角形的面积公式得出 ，即可得出结论； （2）用加减消元法求解该二元一次方程组，根据 ，即可求解； （3）连接 ，根据题意得出 ， ，则 ， ，设 ， ，则 ， ，列出方 程组求解， 最后根据 即可求解； （4）连接 ，根据题意得出 ， ，用和（3）一样的方法即可求解． 【详解】（1）解：过点作 于点， ∵ 是 的 边上的中线，∴ ， ∵ ，∴ ，故答为：=； （2）解： ， 得： ，解得： ， 把 代入①得： ，解得： ， ∴原方程组的解为 ，∴ ，故答为： ，20； （3）解：连接 ，∵ ， ， ∴ ， ， ∵ 的面积是60，∴ ， ， 设 ， ，则 ， ， ，解得： ，∴ ；故答为：11； （4）解：连接 ，∵D，F 是 的三等分点，E，G 是 的三等分点， ∴ ， ，∴ ， ， ∵ 的面积是60，∴ ， ， 设 ， ，则 ， ， ，解得： ，∴ ；故答为： ． 【点睛】本题考查了三角形综合，解二元一次方程组，解题的关键是掌握同高三角形面积比等于底的比． 模型4 鸟头定理（共角定理）模型 图1 图2 共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在 中， 分别是 上的点(如图1)或 在 的延长线上， 在 上(如图2)，则 例1、如图，在三角形B 中，D、E 是B,上得点，且D：B=2:5，E：=4：7，三角形DE 的面积是16 平方厘 米，则B 的面积为 。 【答】70 平方厘米 【解析】①观察：图中存在鸟头模型]假设：设三角形B 的面积为 转化：由鸟头模型比例关系有：16：=（4×2）：（5×7），得=70。 即三角形B 的面积是70 平方厘米。 例2．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）阅读理解 如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等 于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比， 例：在图1 中，点D，E 分别在B 和上，△DE 和△B 是共角三角形，则 证明：分别过点E，作EG⊥B 于点G，F⊥B 于点F，得到图2， ∵∠GE=∠F，又∵∠=∠，∴△GE∽△F，∴ 又 即 任务：（1）如图3，已知∠B+∠DE=180°，请你参照材料的证明方法，求证： （2）在（1）的条件下，若 则E= ． 【答】（1）见解析；（2）6 【分析】（1）过点作G⊥B 于G，过点E 作EF⊥D 交D 延长线于F，可得∠EF=∠G=90°，再由 ∠B+∠DE=180°，∠DE+∠EF=180°，推出∠G=∠EF，即可证明△G∽△EF，得到 ，再由 ， ，得到 ． （2）根据 ， ，可得 ，由此求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点作G⊥B 于G，过点E 作EF⊥D 交D 延长线于F， ∴∠EF=∠G=90°， ∵∠B+∠DE=180°，∠DE+∠EF=180°， ∴∠G=∠EF，∴△G∽△EF，∴ ， ∵ ， ，∴ ； （2）∵ ， ，∴ ， ∵ ∴ 故答为：6． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解题关键在于能够准确读懂题意作出辅助线构造相似三角形． 例3．（2023·重庆·九年级专题练习）问题提出：如图1，D、E 分别在△B 的边B、上，连接DE，已知线段 D＝，DB＝b，E＝，E＝d，则S△DE，S△B 和，b，，d 之间会有怎样的数量关系呢？ 问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若 DE∥B，则∠DE＝∠B，且∠＝∠，所以△DE∽△B，可得比例式： 而根据相似三角形面积之比等 于相似比的平方．可得 ．根据上述这两个式子，可以推出： ． （2）如图3，若∠DE＝∠，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由． 探究二：回到最初的问题，若图1 中没有相似的条件，是否仍存在结论： ？方法回顾： 两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以 解决．如图4，D 在△B 的边上，做⊥B 于，可得： ．借用这个结论，请你解决最 初的问题． 延伸探究：（1）如图5，D、E 分别在△B 的边B、反向延长线上，连接DE，已知线段D＝，B＝b，E＝， ＝d，则 ．（2）如图6，E 在△B 的边上，D 在B 反向延长线上，连接DE，已知线段D＝，B ＝b，E＝，＝d， ． 结论应用：如图7，在平行四边形BD 中，G 是B 边上的中点，延长G 到E，连接DE 交B 的延长线于F， 若B＝5，G＝4，E＝2，▱BD 的面积为30，则△EF 的面积是 ． 【答】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1） ;（2） ；结论应用： 【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可； 探究二，过D、B 点分别作 ,垂足分别为M、，然后按照探究一中方法证明即可； 延伸探究：（1）过D、B 点分别作 ,垂足分别为M、，然后按照探究一中方法证明即可； （2）过D、B 点分别作 ,垂足分别为M、，然后按照探究一中方法证明即可； 结论应用：取D 的中点M，连接GM 并延长交DE 于点，连接DG，可得 ,根据题意，进而得出 ,根据M=DM, ,可得F=D，根据E=2，G=4， ，可得F=2EF，进而可得 ED=5EF，即可得出 ． 【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠DE＝∠，∠＝∠， ∴ ,∴ ，∴ ； 探究二：过D、B 点分别作 ,垂足分别为M、， ∵ ，∴ ,∴ , ； 延伸探究：（1）过D、B 点分别作 ,垂足分别为M、， ∵ ，∴ ,∴ , ； （2）过D、B 点分别作 ,垂足分别为M、， ∵ ，∴ ,∴ , ; 结论应用：取D 的中点M，连接GM 并延长交DE 于点，连接DG， ∴M=DM， ，∵E=2，G=4，∴ , ∵M=DM, ,∴