专题09 三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型（解析版）

专题09 三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型 赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题， 相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久 远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂学中数 学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能 量，它就是数学育里的不老神话。广受数学师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 模型1、弦图模型 （1）内弦图模型：如图1，在正方形BD 中，E⊥BF 于点E，BF⊥G 于点F，G⊥D 于点G，D⊥E 于点， 则有结论：△BE≌△BF≌△DG≌△D；S 正方形BD=4S△EB+S 正方形EFG。 图1 图2 图3 （2）外弦图模型：如图2，在正方形BD 中，E，F，G，分别是正方形BD 各边上的点，且四边形EFG 是正方形，则有结论：△E≌△BEF≌△FG≌△DG；S 正方形BD=4S△EB+S 正方形EFG。 （3）内外组合型弦图模型：如图3，2S 正方形EFG= S 正方形BD+S 正方形PQM 例1．（2023 秋·湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标其原 型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面 积是16，直角三角形的直角边长分别为，b，且 ，那么图中小正方形的面积是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【答】 【分析】根据大正方形的面积即可求得 ，利用勾股定理可以得到 ，然后根据 求得即可求得 的值，结合 即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是16，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵小正方形的边长为： ， ∴ ．故选 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理应用，熟记完全平方公式的灵活应用是解题关键． 例2．（2022·安徽安庆·八年级期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其 为“赵爽弦图”，如图，大正方形 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若 ， ，则 的面积为（ ） ．24 B．6 ． D． 【答】 【分析】由已知得出D＝E＝B，进而利用图形面积的割补关系解得即可． 【详解】解：如图： ∵∠DE＝∠ED，∴D＝E＝B，∴∠EF＝∠BF， ∵F⊥BE，∴EF＝BF＝ BE，∴GE＝，∵∠GEM＝∠M，∠MGE＝∠M， ∴△GEM≌△M（S），∴S△M＝S△GEM，∴S△DE＝S△D+S△DGE， ∵D＝ ，D＝2，D2＝D2+2，∴＝4，D＝8，∴DG＝GE＝4， ．故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 例3．（2023·山西八年级期末）如图，图1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的 直角三角形围成的，若 ，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到 图2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】由题意∠B 为直角，D=6，利用勾股定理求得BD 的长，进一步求得风车的外围周长． 【详解】解：依题意∠B 为直角，D=6，∴D=6+6=12， 由勾股定理得，BD2=B2+D2，∴BD2=122+52=169，所以BD=13， 所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D． 【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如 果两条直角边分别为和b，斜边为，那么2+b2=2． 例4．（2022·杭州九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为 “赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形BD，正方形 EFG，正方形MKT 的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（） ．S1＝2 B．S2＝3 ．S3＝6 D．S1+S3＝8 【答】D 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形BD，EFG，MKT 是正方形，得出 ， ， 再根据三个正方形面积公式列式相加： ，求出 的值，从而可以计算结论即可． 【解析】解： 八个直角三角形全等，四边形BD，EFG，MKT 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据 已知得出 是解决问题的关键． 例5．（2023·广东·九年级专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了 “赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2 方式摆放围成正 方形 ，记空隙处正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ，则下列四个判断：① ② ；③若 ，则 ；④若点是线段 的中点，则 ，其中正确的序号是 【答】①②③ 【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为 ，较长直角边为 ，斜边为，则小正方形的边 长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，由正方形 面积公式，勾股定理逐项进行判断即可． 【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为 ，较长直角边为 ，斜边为，则小正方形的边 长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ， ∴ ， ， ．∴ ． ∴ ．故①正确； ∵ ，∴ ． ∴ ．∴ ．故②正确； ∵ ， ，∴ ．即 ．∴ ．∴ ．故③正确； ∵点是线段 的中点，∴ ．即 ．∴ ． ∴ ．∴ ．故④不正确；故答是①②③． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边 为 ，较长直角边为 ，斜边为，用 表示出相关线段的长度，从而解决问题． 模型2 勾股树模型 例1．（2022·福建·八年级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，如果正方形 、 、 、 的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形 的面积是___． 【答】30 【分析】根据勾股定理可得：正方形 的面积 正方形 的面积 正方形 的面积，正方形 的面积 正 方形 的面积 正方形 的面积，从而得到正方形 的面积 正方形 的面积 正方形 的面积，即可求 解． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，正方形 的面积 正方形 的面积 正方形 的面积 ， 同理，正方形 的面积 正方形 的面积 正方形 的面积 ， 正方形 的面积 正方形 的面积 正方形 的面积 ．故答为：30 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边 的平方是解题的关键． 例2．（2022·浙江·乐清市八年级期中）如图，在四边形BD 中， ，分别以B，B，D，D 为一 边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S 甲，S 乙，S 丙，S 丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】连接，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解． 【详解】解：连接， 由勾股定理得B2+B2=2，D2+D2=2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4 个正方形的面积之间的关系． 例3．（2022·河南八年级期末）如图，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为斜边作等腰直 角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，…按照此规律继续下 去，则 的值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出 ，写出部分 的值，根据数的变化找出变化规律“ ”（≥3），依此规律即可得出结论． 【详解】解：在图中标上字母 ，如图所示． ∵正方形 的边长为2， 为等腰直角三角形， ∴ ， ，∴ ． 观察，发现规律： ， ， ， S，…， ∴ ．当 时， ，故选：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律 “ ”，解决该题目时，写出部分 的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 例4．（2023 春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再 以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好 似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理 作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023 代勾股树中所有正方形的面积为 ． 【答】2024 【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为 ，再一次求出第二代、第三代勾股树中 所有三角形的面积，总结出一般规律，即可进行解答． 【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为和b，斜边长为， 根据勾股定理可得： ， ∵ ,∴第一代勾股树中所有正方形的面积为 ； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为 ； 第三代勾股树中所有正方形的面积为 ； 第代勾股树中所有正方形的面积为 ； ∴第2023 代勾股树中所有正方形的面积为2024．故答为：2024． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是仔细观察图形，根据勾股定理总结出变化的一般规律． 例5．（2023·浙江八年级期中）如图，以 的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面 积分别为 、 ， 的面积 ．若 ， ，则 的值为 ________ ． 【答】12 【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得 的值． 【详解】解：设Rt△B 的三边分别为、b、，则 ， 观察图形可得： ，即 ， ∵ ，∴ = ，∴ =4+8=12，故答为：12． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键． 例6．（2022 春·浙江温州·九年级校考开学考试）如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股 树”．如图2，在Rt△B 中， ，以其三边为边分别向外作正方形，延长E，DB 分别交GF，于点， K，连接K 交G 于点M，若 ，则 为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】先证明 ，设 ，则 ，根据 ，面积比等 于相似比的平方可得 ，根据 ，表示出 ，又 ，根据 可得 ，解一元二次方程即可求得 的值，即 的值． 【详解】解：∵四边形 ， 是正方形 ， ， 设 ，则 ， 即 即 解得 或 （舍）即 故选B 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，正切，掌握相似三角形 的性质与判定是解题的关键． 例7．（2023·贵州遵义·统考二模）如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定 理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2 中， ，分别以 的三条边为边向外 作正方形，连接 ， 、 ，交 于点Q ，若 ， ，则四边形 的面积是 ． 【答】 / 【分析】先利用含30 度角的直角三角形的性质求得 ，再证明 求得 ，再利用梯形和三 角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在 中，∵ ， ， ， ∴ ，则 ， ∵四边形 是正方形，∴ ， ， ∴ ，∴ ，即 ，解得 ， ∴四边形 的面积为 ． 【点睛】本题考查正方形的性质、含30 度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、 梯形和三角形的面积公式等知识，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解答的关键． 例8．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国 家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代 数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【实践操作】（1）请叙述勾股定理；（2）验证勾股定理，人们已经找到了400 多种方法，请从下列几种 常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件） 【探索发现】（3）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三 角形，这三个图形中面积关系满足 的有 个； （4）如图7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图（图中阴影部分）的面积分别 为 、 ，直角三角形面积为 ，请判断 、 、 的关系并说明理由． 【答】（1）在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；（2）证明 见解析；（3）3；（4） 【分析】（1）根据勾股定理的定义描述，即可得到答； （2）结合图2，根据大正方形面积等于四个三角形面积和小正方形面积之和的关系计算，即可得到答； （3）设面积为 的正方形边长为，面积为 的正方形边长为b，面积为 的正方形边长为；根据题意得： ，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； （4）结合题意，首先分别以为直径的半圆面积、以b 为直径的半圆面积、非阴影部分去除三角形后的面积， 再根据阴影部分面积（ + ）=以为直径的半圆面积+以b 为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角形后的 面积，结合勾股定理，即可得到答． 【详解】（1）勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平 方； （2）如图2 大正方形面积为： 小正方形面积为： 四个直角三角形面积之和为： ∵大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和 ∴ ∴ ，满足直角三角形勾股定理； （3）设面积为 的正方形边长为，面积为 的正方形边长为b，面积为 的正方形边长为； 根据题意得： 如图4： ， ， ∴ ； 如图5： ， ， ∵ ∴ ； 如图6： ， ， ∵ ∴ ； ∴三个图形中面积关系满足 的有3 个 故答为：3； （4）以为直径的半圆面积为： 以b 为直径的半圆面积为： 非阴影部分去除三角形后的面积为： ∵阴影部分面积（ + ）=以为直径的半圆面积+以b 为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角形后的面积 ∴ 结合（1）的结论： ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定 理的性质，从而完成求解． 课后专项训练 1．（2022·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3 个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4 个正方形，图（3）在 图（2）的基础上增加了8 个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的 正方形的个数是（ ） ．12 B．32 ．64 D．128 【答】 【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4 个正方形，图（3）比图（2）多出8 个正 方形，图（4）比图（3）多出16 个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律． 【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4 个正方形， 图（3）比图（2）多出8 个正方形， ； 图（4）比图（3）多出16 个正方形， ； 图（5）比图（4）多出32 个正方形， ； 照此规律，图（）比图（-1）多出正方形的个数为： 故图（6）比图（5）多出正方形的个数为： ；故答为：． 【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些 部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规 律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 2．（2022·浙江初三期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记 载．如图， 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 的方式放置 在最大正方形内．若图 中阴影部分的面积为 ，且 ，则 的长为（ ） 图1 图2 ． B． ． D． 【答】B 【分析】设＝，B＝b，B＝根据勾股定理得到2＝2＋b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即 可求解． 【解析】如图2： 设＝，B＝b，B＝，则＋b＝8，2＝2＋b2，G＝−b，DG＝−， 则阴影部分的面积S＝G•DG＝（−b）（−）＝2， ∵（＋b）2＝2＋b2＋2b＝64，∴b＝32− ，∴S＝2−（＋b）＋b＝2−8＋32− ＝2， 解得1＝6，2＝10（舍去）．故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，b，斜边长为，那么2＋b2＝2． 3．（2023·浙江·杭州八年级阶段练习）如图，Rt△B 中，∠B＝90°，分别以△B 的三边为边作正方形BDE， 正方形BFG，正方形，交F 于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGF 的面积为S1， 四边形的面积为S2，若S1 S ﹣2＝12，S△B＝4，则正方形BFG 的面积为（ ） ．16 B．18 ．20 D．22 【答】 【分析】设B＝，＝b，B＝，由正方形面积和三角形面积得S 正方形BFG﹣S 正方形＝16，即2﹣b2＝16，再由勾 股定理得2﹣b2＝2，则2＝16，求出＝4，求出b＝2，则2＝b2+2＝20，即可求解． 【详解】解：设B＝，＝b，B＝，∵S1＝S 正方形BFG﹣S△B﹣S△，S2＝S 正方形﹣S△， ∴S1﹣S2＝S 正方形BFG﹣S△B﹣S△﹣S 正方形+S△＝S 正方形BFG 4 ﹣﹣S 正方形＝12， ∴S 正方形BFG﹣S 正方形＝16，即2﹣b2＝16， ∵Rt△B 中，∠B＝90°，∴2﹣b2＝2，∴2＝16，∴＝4（负值已舍去）， ∴S△B＝ b＝2b＝4，∴b＝2，∴2＝b2+2＝16+22＝20， ∴正方形BFG 的面积为20，故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，设参数表示三角形的边长，根据已知条件求得2﹣b2＝16 是解题的关键． 4．（2023 春·湖北黄冈·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代 数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ．若 ，大正方形的面积为 ，则 的长为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积即可解答． 【详解】解：∵三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ，∴四个三角形的面积为 ， ∵ ，大正方形的面