专题12 三角形中的重要模型之面积模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题12 三角形中的重要模型之面积模型 三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的 思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三 角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应 试题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 等积变换基础模型............................................................................................................................... 1 模型2 蝴蝶（风筝）模型............................................................................................................................... 9 模型3 燕尾（定理）模型............................................................................................................................. 13 模型4 鸟头定理（共角定理）模型.............................................................................................................18 模型5 金字塔与沙漏模型............................................................................................................................. 23 ...............................................................................................................................................27 模型1 等积变换基础模型 模型1）等底等高的两个三角形面积相等； 如图1，当AB // ，则 ； 反之，如果 ，则可知直线AB // 。 图1 图2 图3 模型2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如图2，当点D 是B 边上的动点时，则S△BD∶S△D＝BD∶D。 如图3，当点D 是B 边上的动点，BE⊥D，F⊥D 时，则S△BD∶S△D＝BE∶F。 证明：模型1）如图1，过点作E⊥D、过点B 作BF⊥D。∵AB // ，∴E=BF。 ∵ ； ；∴ 。反之同理可证。 模型2）如图2，过点作⊥B。 ∵ ； ；∴S△BD∶S△D＝BD∶D。 如图3，过点作F⊥D、过点B 作BE⊥D。 ∵ ； ；∴S△BD∶S△D＝BE∶F。 例1．（24-25 八年级上·山东德州·阶段练习）如图，若点D 是边 上的点，且 ，则 与 的面积之比为（ ） ． B． ． D． 例2．（23-24 八年级下·河北沧州·期中）如图， ， 分别是 的边AB，CD上的点， 与DE相 交于点 ， 与CE相交于点 ，若 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，则阴 影部是的面积为 ． 例3．（2024·上海浦东新·一模）如图，在 中 为 中点， 为 的角平 分线， 的面积记为 ， 的面积记为 ，则 ． 例4．（23-24 七年级下·江苏镇江·期中）【探究】如图1， 是 中 边上的中线， 与 的面积相等吗？请说明理由， 【应用】如图2，点、B、分别是 、 、 的中点，且 ，则图2 中阴影部分的面积为 ； 【拓展】（1）如图3， 中，延长 至点F，使得 ，延长 至点D，使得 ，延 长 至点E，使得 ，连接 、 、 ，如果 ，那么 为 ． （2）如图4， 中， ， ，点D、E 是 、 边上的中点， 、 交于点F．若 的面积为S，则四边形 面积为 （用含S 的代数式表示）；四边形 的面积存在最大值， 这个值为 ． 例5．（23-24 八年级下·浙江宁波·期中）规律：如图1，直线 ， ， 为直线 上的点， ， 为直 线 上的点．如果 ， ， 为三个定点，点 在直线 上移动，那么无论点 移动到何位置， 与 的面积始终相等，其理由是 ___． 应用：（1）如图 ， 、 、 三点在同一条直线上， 与 都是等边三角形，连结 ， ． 若 ， ，求 的面积．（2）如图，已知 ， ， ， 是矩形 边上的点，且 ， ，连结 交 于点 ，连结MC交 于点 ，连结 交 于点 ，连结 ， 若四边形 的面积等于，求四边形 的面积． 模型2 蝴蝶（风筝）模型 蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则 四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 1）任意四边形的蝴蝶定理： 如图1，结论：① 或 ；② 。 证明：由基础模型2）知： ； ；即故 ；即 。 由基础模型2）知： ；即 。 2）梯形蝴蝶定理： 如图2，结论：① ；② 。 证明：∵四边形BD 为梯形，∴D//B，∴易证 ，∴ 。 同理可证得： 。 例1．（23-24 八年级上·浙江·阶段练习）如图，任意四边形 中， 和 相交于点，把 、 、 、 的面积分别记作 、 、 、 ，则下列各式成立的是（ ） ． B． ． D． 例2．（23-24 九年级上·上海松江·期中）如图，已知在梯形 中， ， ，如果对角 线 与 相交于点， 、 、 、 的面积分别记作 、 、 、 ，那么下列 结论中，不正确的是（ ） ． B． ． D． 例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，梯形 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别 为 ，则梯形的面积为 ． 例4．（2024·山西·校考一模）阅读与探究 请阅读下列材料，完成相应的任务： 凸四边形的性质研究 如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做 凸四边形．凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成 的两对对顶三角形的面积之积相等． 例如，在图1 中，凸四边形 的对角线 ， 相交于点 ，且 ， ， ， ， 的面积分别为 ，则有 ，证明过程如下： 任务：（1）请将材料中的证明过程补充完整；（2）如图2，任意凸四边形 的对角线 相交于 点 ，分别记 ， ， ， 的面积为 ，求证 ；（3）如图3， 在四边形 中，对角线 相交于点 ， ， ， ，则四边形 的面积为____________． 模型3 燕尾（定理）模型 条件：如图，在 中，E 分别是 上的点， 在 上一点。 结论：S1 S2 S3 S4 （S1+S3）（S2+S4） BE E。 证明：由基础模型2）知： ； ；故 ； 即S1 S2 S3 S4 （S1+S3）（S2+S4） BE E。 例1．（23-24 七年级下·江苏宿迁·期末）（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． （经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的 比，如图1， 的边 上有一点 ，请证明： ； （结论应用）（2）如图2， 的面积为1， ，求 的面积； （拓展延伸）（3）如图3， 的边 上有一点 ， 为 上任意一点，请利用上述结论，证明： ； （迁移应用）（4）如图4， 中，M 是 的三等分点 ，是 的中点，若 的面 积是1，请直接写出四边形 的面积： ． 例2．（23-24 七年级下·宁夏银川·期末）【问题情境】如图1， 是 的中线， 与 的 面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1 中作边 上的高 ，根据中线的定义可知 ．因为高 相同，所以 ，于是 ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】如图2，点D 在 的边 上，点P 在 上． 若 是 的中线，请判断 与 的大小关系，并说明理由． 若 ，则 ： ______． (2)【拓展延伸】如图3，分别延长四边形 的各边，使得，B，，D 分别为 的中点， 依次连接E，F，G，得四边形 ．直接写出 ， 与 之间的等量关系；_______． 例3．（23-24 七年级下·浙江杭州·期中）已知 是ΔABC的 边上一点，连结 ，此时有结论 ，请解答下列问题：（1）当 是 边上的中点时， 的面积 的面积（填“>”“<” 或“=”）． （2）如图1，点 分别为 边上的点，连结 交于点 ，若 、 、 的 面积分别为5，8，10，则 的面积是 （直接写出结论）． （3）如图2，若点 分别是ΔABC的 边上的中点，且 ，求四边形 的面积．可 以用如下方法：连结 ，由 得 ，同理： ，设 ， ，则 ， ，由题意得 ， ，可列方程组为： ， 解得 ，可得四边形 的面积为20．解答下面问题： 如图3， 是 的三等分点， 是 的三等分点， 与 交于 ，且 ，请计算四边 形 的面积，并说明理由． 模型4 鸟头定理（共角定理）模型 共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 图1 图2 （等角型）条件：如图1，在三角形B 中，D、E 分别是B，上的点，结论： 。 （互补型）条件：如图2，已知∠B+∠DE=180°，结论： 。 证明：（等角型）如图1，分别过点E，作EG⊥B 于点G，F⊥B 于点F， ∠ ∵ GE=∠F，又∵∠=∠，∴△GE∽△F，∴ 。 又 即 。 （互补型）如图2，过点作G⊥B 于G，过点E 作EF⊥D 交D 延长线于F， ∠ ∴ EF=∠G=90°， ∵∠B+∠DE=180°，∠DE+∠EF=180°， ∠ ∴ G=∠EF，∴△G∽△EF，∴ ，∵ ， ， ∴ ； 例1、如图，在三角形B 中，D、E 是B,上的点，且D：B=2:5，E：=4：7，三角形DE 的面积是16 平方厘 米，则B 的面积为 。 例2．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）阅读理解 如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等 于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比， 例：在图1 中，点D，E 分别在B 和上，△DE 和△B 是共角三角形，则 证明：分别过点E，作EG⊥B 于点G，F⊥B 于点F，得到图2， ∠ ∵ GE=∠F，又∵∠=∠，∴△GE∽△F，∴ 又 即 任务：（1）如图3，已知∠B+∠DE=180°，请你参照材料的证明方法，求证： （2）在（1）的条件下，若 则E= ． 例3．（2023·重庆·九年级专题练习）问题提出：如图1，D、E 分别在△B 的边B、上，连接DE，已知线段 D＝，DB＝b，E＝，E＝d，则S△DE，S△B 和，b，，d 之间会有怎样的数量关系呢？ 问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若 DE∥B，则∠DE＝∠B，且∠＝∠，所以△DE∽△B，可得比例式： 而根据相似三角形面积之比等 于相似比的平方．可得 ．根据上述这两个式子，可以推出： ． （2）如图3，若∠DE＝∠，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由． 探究二：回到最初的问题，若图1 中没有相似的条件，是否仍存在结论： ？方法回顾： 两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以 解决．如图4，D 在△B 的边上，做⊥B 于，可得： ．借用这个结论，请你解决最 初的问题． 延伸探究：（1）如图5，D、E 分别在△B 的边B、反向延长线上，连接DE，已知线段D＝，B＝b，E＝， ＝d，则 ．（2）如图6，E 在△B 的边上，D 在B 反向延长线上，连接DE，已知线段D＝，B ＝b，E＝，＝d， ． 结论应用：如图7，在平行四边形BD 中，G 是B 边上的中点，延长G 到E，连接DE 交B 的延长线于F， 若B＝5，G＝4，E＝2，▱BD 的面积为30，则△EF 的面积是 ． 模型5 金字塔与沙漏模型 金字塔模型 沙漏模型 条件：如图所示，DE//B；结论：① ；② 。 证明：∵DE//B；易证： ； ； ； ∴ ； 。 例1．（2023 秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，已知点D、E 分别是 边上的点，且 ，面积比为 ， 交 于点F．则 （ ） ． B． ． D． 例2．（2023·江苏扬州·二模）如图，D、E 分别是 的边 、 上的点，且 ， 、 相交于点0，若 的面积与 的面积的比为 ，则 等于（ ） ． B． ． D． 例3．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图， 中， ， 与 相交于点 ．如果 ，那么 等于（ ） ． B． ． D． 例4．（2023 春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图， 是等边三角形，被一矩形所截， 被截成 三等分， ，若图中阴影部分的面积是6，则四边形 的面积为（ ） ．8 B．9 ．10 D．11 1．（2024·贵州·校考一模）如图，梯形 被对角线分成4 个小三角形，已知 与 的面积分 别为 和 ．那么梯形的面积是（ ） ． ．144 B．140 ．160 D．无法确定 2．（24-25 八年级上·山东德州·阶段练习）如图所示， 中，点 、 、 分别在三边上， 是 的中点， 、 、 交于一点 ， ， ， ，则 的面积是（ ） ．25 B．30 ．35 D．40 3．（22-23 七年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形 中，E、F、G、依次是 ， ， ， 中 点，是四边形内部一点，若四边形 、四边形 、四边形 的面积分别为8、11、13，四边 形 面积为（ ） ．10 B．11 ．12 D．13 4．（24-25 八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，若 的面积为，且点，B，分别是 的 中点，则求阴影部分的面积（用含的式子表示），（ ） ． B． ． D． 5．（24-25 八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在 中， 是 的平分线，延长 至E，使 ，连接 ， 的面积为10， 的面积是13，则 的值为（ ） ． B． ．3 D．2 6．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在 中， 是 边上的高线， 是 边上的中线，若 ，则 的面积是（ ） ．4 B．3 ．2 D．1 7．（2023·江苏·模拟预测）如图所示的格是正方形格，，B，，D 是格线交点，与BD 相交于点，则 的面积与 的面积的比为（ ） ．1：2 B． ．1：4 D． 8．（23-24 八年级上·天津河东·期中）如图， 的两条中线 ， 相交于点 ，已知 的面积 为 ， 的面积为 ，则四边形 的面积为（ ） ． B．3 ． D． 9．（2024·甘肃酒泉·二模）如图，在平行四边形 中，如果点 为CD的中点， 与BD相交于点 ，若已知 ，那么 等于（ ） ．4 B．8 ．12 D．16 10．（23-24 九年级·重庆·课后作业）如图， 为半圆的直径，弦 相交于点P，如果 ，那么 等于（ ） ．16∶9 B．3∶4 ．4∶3 D．9∶16 11．（22-23 七年级下·江苏南京·期末）如图，在 中，D 是边 的中点，E、F 分别是边 上的三 等分点，连接 分别交 于G、点，若 的面积为90，则四边形 的面积为 ． 12．（2024·上海·校考一模）如图，梯形 中， ， ，点 在 的延长线上， 与 相交于点 ，与 边相交于点 ．如果 ，那么 与 的面积之比等于 ． 13．如图1，点D 在 边 上，我们知道若 ，则 ；反之亦然．如图2， 是 的中线，点F 在边 上， 相交于点，若 ，则 ． 14．（23-24 九年级上·福建泉州·阶段练习）已知 中， 是 边上的中线，点G 为 重心， ，若 的面积为12，则 的面积是 ． 15．（2024·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形EFG 内接于 （矩形各顶点在三角形边上）， E，F 在 上，，G 分别在 ， 上，且 于点D，交 于点．(1)求证： (2) 若 ， ，设 ，则当x 取何值时，矩形 的面积最大？最大面积是多少？ 16．（23-24 八年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线 ，直线，b 的距离为，则三角形 的面积为 ． (1)【问题探究】如图2，若点平移到点D，求证： ； (2)【深化拓展】如图3，记 、 、 、 ，根据图形特征，试证明： ； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形 中，点E 是线段 上的一点， 与 相交于点，已知 ，且 ，求四边形 的面积． 17．（23-24 八年级下·山东青岛·期末）问题解决：如图1， 中， 为 边上的中线，则 _ _____ 问题探究：（1）如图2， 分别是 的中线， 与 相等吗？ 解： 中，由问题解决的结论可得， ， ∴ ∴ 即 （2）图2 中，仿照（1）的方法，试说明 （3）如图3， ， ， 分别是 的中线，则 ______ ， ______ ， ______ 问题拓展：（1）如图4， 分别为四边形 的边 的中点，请直接写出阴影部分的面积与 四边形 的面积之间的数量关系： ______ （2）如图5， 分别为四边形 的边 的中点；请直接写出阴影部分的 面积与四边形 的面积之间的数量关系： ______ 18．（24-25 九年级上·广东深圳·期中）阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角 形是共角三角形，这个角称为对应角．根据上述定义，判