专题11 三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题11 三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三 角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比 ”、“45°辅助线”、“半个正方 形”等角度拓展延伸，常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三 角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯 性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ .................................................................................................................................................2 模型1 等直内接等直模型............................................................................................................................... 2 模型2 等直+高分线模型.................................................................................................................................8 ...............................................................................................................................................15 模型1 等直内接等直模型 等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为 原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。 条件：已知如图，等腰直角三角形B，∠B=90°，P 为底边B 的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF 为等腰直角三角形（由①②推得）；③E=FB 或E=F；④ ； ⑤ ；⑥ 。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形B，∠B=90°，点 是 的中点 同理可得： ， ，∵B=，∴E=FB； 又 是直角， 是等腰直角三角形，同理：易证 是等腰直角三角形。 ∴E+F=FB+F=B，∴ 。 ，∴SEPF=SEP+SPF=SEP+SPE=SP，∴ 。 ∵E=FB，E=F，∠B=90°；∴ 例1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在 中， ， ， 为边 的中点，点 ， 分别在边 ， 上， ，则四边形 的面积为（ ） ．18 B． ．9 D． 例2．（2024·天津·模拟预测）如图，已知 中， ， ，直角 的顶点P 是 中点，两边 分别交 于点E、F，当 在 内绕顶点P 旋转时（点E 不与、B 重合），给出下列四个结论：① 是等腰三角形；②M 为 中点时， ；③ ； ④ 和 的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（ ）个． ．1 B．2 ．3 D．4 例3．（23-24 九年级上·四川内江·期末）如图，边长为1 的正方形BD 的对角线，BD 相交于点，∠MP 为直 角，使点P 与点重合，直角边PM，P 分别与，B 重合，然后逆时针旋转∠MP，旋转角为θ（0°＜θ＜ 90°），PM，P 分别交B，B 于E，F 两点，连接EF 交B 于点G，则下列结论：①EF＝ E；②S 四边形 EBF：S 正方形BD＝1：4；③BE+BF＝ ；④在旋转过程中，当△BEF 与△F 的面积之和最大时，E＝ ； ⑤G•BD＝E2+F2．其中结论正确的个数是（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 例4．（23-24 八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板 中， ， ， 为 的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点 上，得到 ，将 绕点 旋转，射线 ， 分别与边 ， 交于 ， 两点，如图1 所示． (1)操作发现：如图2，当 ， 分别是 ， 的中点时，试猜想线段 与 的数量关系是________， 位置关系是________． (2)类比探究：如图3，当 ， 不是 ， 的中点，但满足 时，判断 形状，并说明理由． (3)拓展应用：①如图4，将 绕点 继续旋转，射线 ， 分别与 ， 的延长线交于 ， 两点，满足 ， 是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由； ②若在 绕点 旋转的过程中，射线 ， 分别与直线 ， 交于 ， 两点，满足 ，若 ， ，则 ________（用含 ， 的式子表示）． 模型2 等直+高分线模型 等直+高分线模型模型是指在等腰直角三角形过其中一个角所在顶点作另一个底角平分线的垂线。 条件：如图， 中， ， 于 ， 平分 ，且 于 ，与 相交于 点 ， 是 边的中点，连接 与 相交于点 ． 结论：① ；② ；③ 是等腰三角形；④ ；⑤ ． 证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中 ， ， ． 平分 ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． ， ， ， 平分 ， 点 到 的距离等于点 到 的距离， ， ∵ ，∴ ，∵三角形BD 是等腰直角三角形，∴ 。 例1．（23-24 九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在 中， 于D， 平分 ，且 于E，与 相交于点F，是 边的中点，连接 与 相交于点G，以下结论中： ① 是等腰三角形；② ；③ ；④ ． 正确的结论有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 例2．（23-24 八年级上·山东临沂·期中）如图，等腰 中， 于点 D， 的平分线分别交 于E、F 两点，M 为 的中点， 的延长线交 于点，连接 ， 下列结论：① ；② 为等腰三角形；③ ；④ ，其中正确结论有 （ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 例3．（23-24 八年级·浙江杭州·阶段练习）已知：如图， 中， ， 于 ， 平 分 ，且 于 ，与 相交于点 是 边的中点，连结 与 相交于点 ．（1） 说明： ；（2）说明： ；（3）试探索 ， , 之间的数量关系，并证明你的结论． 例4．（23-24 八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角 中， ， ，点 为 上一点， 于点 ，交 于点 ， 于点 ，交 于点 ，连接 ， ． (1)若 ，求证： 垂直平分 ；(2)若点 在线段 上运动． ①请判断 与 的数量关系，并说明理由；②求证： 平分 ． 1．（23-24 山东威海九年级上期中）已知 中， ， ，D 是 边的中点，点 E、F 分别在 、 边上运动，且保持 ．连接 、 、 得到下列结论：① 是等腰 直角三角形；② 面积的最大值是2；③ 的最小值是2．其中正确的结论是（ ） ．②③ B．①② ．①③ D．①②③ 2．（2024·广东汕头·二模）如图，四边形BD 为正方形， 的平分线交B 于点E，将 绕点B 顺 时针旋转90°得到 ，延长E 交F 于点G，连接BG，DG 与相交于点．有下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ）个 ．1 B．2 ．3 D．4 3．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角 中， ， 于点D， 的平 分线分别交 于点E，F，M 为 中点， 延长线交 于点，连接 ，下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ ；⑤ ，其中正 确结论的个数是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 4．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，△B 中，∠B＝45°，D⊥B 于点D，BE 平分∠B，且BE⊥于点E，与 D 交于F，是B 边的中点，连接D 与BE 交于点G，则下列结论：①BF＝；②∠＝∠DGE；③E＜BG； ④S△D＝S 四边形EG；⑤DG•E＝D•EF 中，正确结论的个数是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 5．（2024·湖南长沙·一模）如图，在 中， ， ．点 是 边上的中点，连接 ，将 绕 点逆时针旋转 ，得到 ，延长 交 于点 ，连接 ，过点 作 ， 交 于点 ．现有如下四个结论：① ；② ；③ ；④ 中正确的个数为（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 6．（2024·江苏淮安·三模）如图， 中， ， 于 ， 平分 ，且 于 ，与 相交于点 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ） ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 7．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）如图，在正方形 中，对角线 相交于点，点E 在B 边上，且 ，连接E 交BD 于点G，过点B 作 于点F，连接F 并延长，交B 于点M，过点作 交D 于占， ，现给出下列结论：① ；② ；③ ； ④ ；其中正确的结论有（ ） ．①②③ B．②③④ ．①②④ D．①③④ 8．（2024·黑龙江·二模）如图，等腰直角三角形 中， ， 于 ， 的平分 线分别交 、 于 、 两点， 为 的中点，延长 交 于点 ，连接 ， ．下列结论： ① ；② ；③ 是等边三角形；④ ；⑤四边形 是菱形，正确结 论的序号是 （ ） ．②④⑤ B．①②③④⑤ ．①③④ D．①②④⑤ 9．（23-24 九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知 中， ， ，直角 的顶点P 是 中点，两边 、 分别交 、 于点E、F，当 在 内绕顶点P 旋 转时（点E 不与、B 重合），给出以下四个结论：① ；② 是等腰直角三角形；③ ；④ ；⑤ 与 的面积和无法确定．上述结论中始终正确的有 （ ） ．①②③ B．①②⑤ ．①③⑤ D．②③④ 10（23-24 九年级上·广东河源·期中）如图，在正方形 中， ， 相交于点，E，F 分别 为边 上的动点（点E，F 不与线段 的端点重合）且 ，连接 ．在点 E，F 运动的过程中，有下列四个结论：① 始终是等腰直角三角形；② 面积的最小值是2；③ 至少存在一个 ，使得 的周长是 ；④四边形 的面积始终是4．其中结论正确的 有（ ） ．①②③ B．②③④ ．①②④ D．①②③④ 11．（2024·重庆·中考模拟预测）如图，在等腰直角 ， 是斜边 的中点，点 分别在直 角边 上，且 ， 交 于点 ．则下列结论： （1）图形中全等的三角形只有两对；（2） 的面积等于四边形 的面积的 倍；（3） ；（4） ．其中正确的结论有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 12．（23-24 九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在正方形 中，对角线 相交于点，点 在 边上，且 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，连接 并延长，交 于点 ， 过点作 交 于点 ， ，以下四个结论：① ；②正方形 的面积为 9；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 13．（2024·黑龙江·校考一模）如图，在面积为 的正方形 中， 是对角线 的交点，过点 作射线 分别交 于点 ，且 交于点 ．下列结论： ； ；③四边形 的面积为 ．其中结论正确的序号有（ ） ． B． ． D． 14．（23-24 八年级上·广东茂名·期中）如图所示，在等腰直角∆B 中，点D 为的中点， DF，DE 交B 于E，DF 交B 于F，若E= ，EF=4，则F 的长是 ． 15．（2024 广东九年级模拟（二模））一副三角板按如图1 放置，图2 为简图，D 为B 中点，E、F 分别是 一个三角板与另一个三角板直角边、B 的交点，已知E=2，E=5，连接DE，M 为B 上一点，且满足 ∠ME=2∠DE，EM= ． 16．（23-24 九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形 中， ，对角线 、 交于点，点 E、F 分别为边 、 上的动点（不与端点重合），且 ，连接 、 、 ，则线段 的 最小值为 ． 17．（2024·山东德州·二模）如图，在等腰直角 中， ， 是线段 上一动点（与点 不重合），连接 ，延长 至点 ，使得 ，过点 作 于点 ，交 于点 ． (1)若 ，则 ______；（用含 的式子表示）； (2)求证： ；(3)猜想线段 与 之间的数量关系，并证明． 18．（23-24 江苏泰州八年级上期中）在 中， ， ，将一块三角板的直角顶点放 在斜边 的中点P 处，将此三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线 、 与点D、点E， 图①，②，③是旋转得到的三种图形． (1)观察线段 和 之间有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；(2)观察线段 、 和 之 间有怎样的数量关系，并以图③为例，加以说明；(3)把三角板绕P 点旋转，点E 从点沿射线 方向移动， 是否构成等腰三角形？若能，请直接写出 的度数；若不能，请说明理由． 19．（2023·山东菏泽·二模）【课本再现】(1)如图1，正方形 的对角线相交于点，点又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部分，正方形 可绕点转动，则下列结论正确的是_______（填序号即可）．① ；② ；③ 四边形 的面积总等于 ；④连接 ，总有 ． 【类比迁移】(2)如图2，矩形 的中心是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点E， 与 边 相交于点F，连接 ，矩形 可绕着点旋转，猜想 之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】(3)如图3，在 中， ，直角 的顶点D 在边 的 中点处，它的两条边 和 分别与直线 相交于点E，F， 可绕着点D 旋转，当 时，求线段 的长度．