专题09 三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型（原卷版）

专题09 三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型 赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题， 相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久 远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂学中数 学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能 量，它就是数学育里的不老神话。广受数学师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 模型1、弦图模型 （1）内弦图模型：如图1，在正方形BD 中，E⊥BF 于点E，BF⊥G 于点F，G⊥D 于点G，D⊥E 于点， 则有结论：△BE≌△BF≌△DG≌△D；S 正方形BD=4S△EB+S 正方形EFG。 图1 图2 图3 （2）外弦图模型：如图2，在正方形BD 中，E，F，G，分别是正方形BD 各边上的点，且四边形EFG 是正方形，则有结论：△E≌△BEF≌△FG≌△DG；S 正方形BD=4S△EB+S 正方形EFG。 （3）内外组合型弦图模型：如图3，2S 正方形EFG= S 正方形BD+S 正方形PQM 例1．（2023 秋·湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标其原 型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面 积是16，直角三角形的直角边长分别为，b，且 ，那么图中小正方形的面积是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 例2．（2022·安徽安庆·八年级期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其 为“赵爽弦图”，如图，大正方形 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若 ， ，则 的面积为（ ） ．24 B．6 ． D． 例3．（2023·山西八年级期末）如图，图1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的 直角三角形围成的，若 ，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到 图2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） ． B． ． D． 例4．（2022·杭州九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为 “赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形BD，正方形 EFG，正方形MKT 的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（） ．S1＝2 B．S2＝3 ．S3＝6 D．S1+S3＝8 例5．（2023·广东·九年级专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了 “赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2 方式摆放围成正 方形 ，记空隙处正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ，则下列四个判断：① ② ；③若 ，则 ；④若点是线段 的中点，则 ，其中正确的序号是 模型2 勾股树模型 例1．（2022·福建·八年级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，如果正方形 、 、 、 的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形 的面积是___． 例2．（2022·浙江·乐清市八年级期中）如图，在四边形BD 中， ，分别以B，B，D，D 为一 边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S 甲，S 乙，S 丙，S 丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） ． B． ． D． 例3．（2022·河南八年级期末）如图，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为斜边作等腰直 角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，…按照此规律继续下 去，则 的值为（ ） ． B． ． D． 例4．（2023 春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再 以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好 似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理 作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023 代勾股树中所有正方形的面积为 ． 例5．（2023·浙江八年级期中）如图，以 的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面 积分别为 、 ， 的面积 ．若 ， ，则 的值为 ________ ． 例6．（2022 春·浙江温州·九年级校考开学考试）如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股 树”．如图2，在Rt△B 中， ，以其三边为边分别向外作正方形，延长E，DB 分别交GF，于 点，K，连接K 交G 于点M，若 ，则 为（ ） ． B． ． D． 例7．（2023·贵州遵义·统考二模）如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定 理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2 中， ，分别以 的三条边为边向外 作正方形，连接 ， 、 ，交 于点Q ，若 ， ，则四边形 的面积是 ． 例8．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国 家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代 数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【实践操作】（1）请叙述勾股定理；（2）验证勾股定理，人们已经找到了400 多种方法，请从下列几种 常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件） 【探索发现】（3）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三 角形，这三个图形中面积关系满足 的有 个； （4）如图7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图（图中阴影部分）的面积分别 为 、 ，直角三角形面积为 ，请判断 、 、 的关系并说明理由． 课后专项训练 1．（2022·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3 个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4 个正方形，图（3）在 图（2）的基础上增加了8 个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的 正方形的个数是（ ） ．12 B．32 ．64 D．128 2．（2022·浙江初三期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记 载．如图， 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 的方式放置 在最大正方形内．若图 中阴影部分的面积为 ，且 ，则 的长为（ ） 图1 图2 ． B． ． D． 3．（2023·浙江·杭州八年级阶段练习）如图，Rt△B 中，∠B＝90°，分别以△B 的三边为边作正方形BDE， 正方形BFG，正方形，交F 于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGF 的面积为S1， 四边形的面积为S2，若S1 S ﹣2＝12，S△B＝4，则正方形BFG 的面积为（ ） ．16 B．18 ．20 D．22 4．（2023 春·湖北黄冈·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代 数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ．若 ，大正方形的面积为 ，则 的长为（ ） ． B． ． D． 5（2022·四川成都·模拟预测）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有 记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜 边上的两顶点旋转得到图2．则图2 中阴影部分面积等于（ ） ．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 ．最大正方形与直角三角形的面积和 D．较小两个正方形重叠部分的面积 6．（2023 春·广东潮州·九年级校考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着 中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一 个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形 的面积的大小为（ ） ．144 B．100 ．49 D．25 7．（2023 春·湖北武汉·八年级统考期末）大约公元222 年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时 介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形 ，中空的 部分是小正方形 ，连接 相交于点， 与 相交于点P，若 ，则直角三角形的 边 与 之比是（ ） ． B． ． D． 8．（2023 春·江苏泰州·七年级统考期末）大约在公元222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2： 为 等边三角形， 、 、 围成的 也是等边三角形．已知点 、 、 分别是 、 、 的 中点，若 的面积为14，则 的面积是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 9．（2023·河北石家庄·校考二模）如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定 理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2 中， ，分别以 的三条边为边向 外作正方形，连接 ， ， 交 于点Q．若 ， ，则四边形 的面积是 （ ） ． B． ． D． 10．（2023·江苏扬州·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”， 后人称之为“赵爽弦图”，它是由4 个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角 边长为、b，斜边长为，若 ，则每个直角三角形的面积为 ． 11．（2022 秋·四川成都·八年级校考期中）“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣． 年 希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究． 如图2，在 中， ，分别以 的三条边为边向外作正方形，连接 分别 与 相交于点 ．若 ，则 的值为 12．（2022 春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）如图①，在Rt△B 中∠B=90°，分别以、B、 B 为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题： （1）S1、S2、S3满足的数量关系是 ． （2）现将△BF 向上翻折，如图②，若阴影部分的S 甲=6、S 乙=5、S 丙=4，则 = ． 13．（2023·湖北孝感·统考三模）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形 的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名． 假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾 股树中正方形的个数为 ． 14．（2022·山东临沂·统考二模）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有 独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆 方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形BD 的面积为1，如果把它的各边分别延长一 倍得到正方形1B11D1（如图1），则正方形的面积为 ；再把正方形1B11D1的各边分别延长一倍得到正 方形2B22D2（如图2），如此进行下去，得到的正方形BD 的面积为 （用含的式子表示，为正整数）． 15．（2023·浙江台州·八年级校考期中）如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的 正方形，且相互联通，已知∠B＝90°，＝6，B＝8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水． （1）如图2 摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为 ； （2）如图3 摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心（正方形两条对角线的交点），则Ⅱ中有水部分的面积为 ． 16．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它 为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中 ， ，连接 ，若 与 的面积相等，则 ． 17．（2023·江苏徐州·统考二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 与 正方形 ．连接 ，若 平分 ，且正方形 的面积为2，则正方形 的面积为 ． 18．（2023·陕西渭南·统考二模）魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾 自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形 、四边形 和四边形 都是正方形， 交 于E，若 ， ，则 的长为 ． 19．（2022·宁夏吴忠·统考一模）2002 年8 月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家 赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图 1），且大正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角 形按如图2 的形式摆放，则图2 中最大的正方形的面积为31．试求图1 中小正方形的面积是为 ． 20．（2023·山东济宁·统考二模）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉 斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证 明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为： 如果直角三角形的两条直角边分别为 ， ，斜边为，那么 ． (1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图 形中面积关系满足 的有______个； (2)如图5 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图（图中阴影部分）的面积分别为 ， ，直角三角形面积为 ，请判断 ， ， 的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这 一过程就可以得到如图6 所示的“勾股树”．在如图所示的勾股树的某部分图形中，设大正方形 的边长为定值 ，四个小正方形 ， ， ， 的边长分别为 ， ，， ，已知 ， 则当 变化时，回答下列问题：（结果可用含 的式子表示） ① ；② 与的关系为 ， 与 的关系为______． 21．（2022·湖南·八年级课时练习）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为b，斜边 长为，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围 轮廓（粗线）的周长24， ，求该飞镖状图的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼 接，记图中正方形BD，正方形EFG，正方形MKT 的面积分别为 ，若 ，求 ． 22．（2023·广东深圳·校联考三模）中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给 出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾． 年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制 作了会标，该图有 个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理． 问题发现：如图①，若直角三角形的直角边 ，斜边 ，则中间小正方形的边长 ______， 连接 ， 的面积为______． 知识迁移：如图②， 是正方形 内一点，连接 ， ， ，当 ， 时， 的面积为______． 拓展延伸：如图③，已知 ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交射线 ， 分别于 ， 两点．（1）已知 为线段 上一个动点，连接 ，过点 作 ，垂足为点 ；在 上取一 点 ，使 ；过点 作 交 于点 ，试判断三条线段 ， ， 之间的数量关系， 并说明理由．（2）在（1）的条件下，若 为射线 上一个动点， 为射线 上一点；当 ， 时，直接写出线段 的长．