专题10 三角形中的重要模型-垂美四边形与378、578模型（原卷版）

专题10 三角形中的重要模型-垂美四边形与378、578 模型 模型1、垂美四边形模型 规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形 图1 图2 图3 条件：如图1，已知四边形BD，对角线、BD 交于点，且⊥BD； 结论：①B2+D2＝D2+B2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。 【变形1】 条件：如图2，在矩形BD 中，P 为D 边上有一点，连接P、BP； 结论：DP2+BP2=P2+P2 【变形2】 条件：如图3，在矩形BD 中，P 为矩形内部任意一点，连接P、BP，P，DP；结论：P2+P2=DP2+BP2 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的 “垂美”四边形BD，对角线、BD 交于点．若D=3，B=5，则 ____________． 例2．（2023 秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形 的对角线 ， 互相垂直，若 ， ， 则 的长为（ ） ．25 B．3 ．4 D． 例3．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形 的两条对角线互相垂直，、BD 是方程 的两个解，则四边形 的面积是（ ） ．60 B．30 ．16 D．32 例4．（2023·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P 是矩形BD 所在平面内任意一点，则有以 下重要结论：P2+P2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明． 应用新知：如图3，在△B 中，＝4，B＝6，D 是△B 内一点，且D＝2，∠DB＝90°，则B 的最小值为_____． 例5．（2022·山东济宁·统考一模）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对 角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________． (2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点） ， ， ，请你直接写出一个以格点为顶点， ， 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 的顶点M 的坐标为________； (3)如图（2），将 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°，得到 ，连接 ， ， ．求 证： ，即四边形 是勾股四边形； (4)若将图（2）中 绕顶点B 按顺时针方向旋转度 ，得到 ，连接 ， ，则 ________°，四边形 是勾股四边形． 例6．（2022 秋·江西抚州·九年级校考阶段练习） (1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形 ②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号） (2)【概念理解】如图2，在四边形 中， ， ，问四边形 是垂美四边形吗？请说 明理由．(3)【性质探究】如图1，垂美四边形 的两对角线交于点 ，试探究 ， ， ， 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(4)【性质应用】如图3，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，连接 ， ， ，已知 ， ， 求 ． 模型2、378 和578 模型 当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因 为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8 的等 边三角形。 条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8 和5，7，8 时； 结论：①这两个三角形的面积分别为6❑ √3、10❑ √3；②3、8 与5、8 夹角都是60°。 例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8 的三角形的最大角和最小角的和是（ ）． ．90° B．150° ．135° D．120° 例2．（2022·江苏·八年级专题练习）已知在△B 中，B＝8，＝7，B＝3，则∠B＝（ ）． ．45° B．37° ．60° D．90° 例3．（2023·广东·八年级专题练习）如图，△B 的边B＝8，B＝5，＝7，试过作D 垂直B 于点D 并求出D 的长度． 例4．（2023·成都市·八年级专题练习）在△B 中，B＝16，＝14，B＝6，则△B 的面积为（ ） ．24 B．56 ．48 D．112 例5．（2023·广西柳州·校考一模）已知△B 的三边长分别为5，7，8，△DEF 的三边分别为5，2x，3x 5 ﹣， 若两个三角形全等，则x=__． 例6．（2023·重庆·八年级专题练习）△B 中，B＝8，＝7，∠B＝60°，则△B 的面积为 ． 课后专项训练 1．（2023 春·成都市八年级课时练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的 “垂美”四边形BD，点E 为对角线BD 上任意一点，连接E、E． 若B=5，B=3，则E2-E2等于( ) ．7 B．9 ．16 D．25 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E 是矩形 内任意一点，连接 ，则下列结论 正确的是（ ） ． B． ． D． 3．（2023·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形 的两条对角线互相垂直， ， 则四边形 的面积最大值是（ ） ．16 B．32 ．36 D．64 3．（2023·山东八年级课时练习）已知在△B 中，B＝7，＝8，B＝5，则∠＝（ ）． ．45° B．37° ．60° D．90° 4．（2023·湖北武汉·八年级统考期末）已知△B 的边长分别为5，7，8，则△B 的面积是（ ） ．20 B．10 ．10 D．28 6．（2023·江苏南通·九年级校考期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形 BD 的对角线、BD 满足＋BD＝12，则当＝ 时，四边形BD 的面积最大． 7．（2022 秋·上海·九年级校考期中）如图，已知四边形 的对角线 、 互相垂直于点 ， ， ， ，那么 ． 8．（2023·山东·校考三模）如果，在 中， ， ，斜边 的两个端点分别在相 互垂真的射 线 ， 上滑动，下列结论：①若 ，两点关于 对称，则 ② ，两点距离的最大 值为4：③四边形 的面积为 ；④斜边 的中点D 运动路径的长度是 ．其中正确结论的序 号是_______________ 9．（2023 春·浙江湖州·八年级统考期末）定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对 垂四边形” 中，对角线 与 交于点， ．若点E、F、G、分别是边 、 、 、 的中点，且四边形 是“对垂四边形”，则四边形 的面积是 ． 10、当两个三角形的边长分别为3，7，8 和5，7，8 时，则这两个三角形的面积之和是 ． 11．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，△B 中，∠B＝60°，B＝8，B＝5，E 点在B 上，若E＝2，则E 的 长等于 ． 12．（2023 春·四川绵阳·八年级统考期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示 的“垂美”四边形 ，对角线 、 交于点 ．若 ， ，则 ． 13．（2022 春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做 “垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形BD，对角线，BD 交于点． （1）若 ， ， ，则 ；（2）若 ， ，则 ； （3）若 ， ， ， ，则m，，，d 之间的数量关系是 ． 14．（2023·山西太原·八年级校考阶段练习）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图1，四边形BD 的对角线、BD 交于点，已知B＝D，B＝D，判断：四边形BD____垂美 四边形（填“是”或“否”）； (2)性质探究：如图2，四边形BD 的对角线、BD 交于点，⊥BD． ①若＝1，B＝5，＝7，D＝2，则B2+D2＝____；D2+B2＝____． ②猜想B、B、D、D 这四条边的数量关系，并给出证明． (3)解决问题：如图3，△B 中，∠B＝90°，⊥G 且＝G＝4，B⊥E 且E＝B＝5，连结E、BG、GE，则GE＝ ____． 15．（2022 春·广东韶关·八年级统考期末）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)尺规作图：以已知线段 为对角线作一个垂美四边形 ，使其对角线交于点；（不写作法，保留 作图痕迹） (2)已知四边形 是垂美四边形，且 ，则它的面积为________； (3)如图，四边形 是垂美四边形， ，探究、b、、d 的数量关系； (4)如图，已知D、E 分别是 中边 的中点， ，请运用上题的结论，求 的长． 16．（2023 春·浙江·八年级专题练习）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，已知四边形 是垂美四边形．①若 ，则它的面积为_____________； ②若 ，探究 的数量关系．(2)如图2，已知 分别是 中 边 的中点， ， ，请运用②中的结论，直接写出 的长为_______________ ____． 17．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）若四边形对角线互相垂直，那么我们定义这种四边形为“对垂”四 边形． 特征辨析 (1)下列4 个图中，四边形 不是“对垂”四边形的是（ ） 归纳探究(2)如图1， 于，动点P，Q 都从点出发，点P 沿 运动到B，点Q 沿 运动到． ①当 ， ， ， 时，则 ___________， _________ __，据此结合（1）中相关图形试猜想“对垂”四边形 两组对边 与 之间的数量关系： ___________（用等式表示）； ②在“对垂”四边形 中，当①中的条件都不存在时，①中所猜想的数量关系还成立吗？若成立， 请予以证明；若不成立，请说明理由． 拓展应用(3)如图2，四边形 和四边形 均为正方形，点B 恰好在 的延长线上，且已知 ， ，求 的长． 18．（2022 秋·天津·九年级校考期末）如图，四边形 两条对角线 互相垂直，且 ． 设 ， (1)用含 的式子表示： _____________； (2)当 四边形的面积为 时，求 的长； 19．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形BD 中，⊥BD，垂足为，求证：B2+D2＝D2+B2． （2）解决问题：已知B＝5，B＝4，分别以△B 的边B 和B 向外作等腰Rt BQ △ 和等腰Rt BP △ ． ①如图2，当∠B＝90°，连接PQ，求PQ； ②如图3，当∠B≠90°，点M、分别是、P 中点连接M．若M＝ ，则S△B＝ ． 20．（2023·广东九年级课时练习）小明学习了特殊的四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另 外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______． (2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形BD 的面积S 与两条对角线、BD 之间的数量关系：______． (3)问题解决：如图2，分别以 的直角边和斜边B 为边向外作正方形FG 和正方形BDE，连结 BG、E 交于点，E 交B 于点M，连结GE．①求证：四边形BGE 为垂美四边形； ②已知 ， ，则四边形BGE 的面积为______．