专题07 三角形中的重要模型-等积模型（原卷版）

专题07 三角形中的重要模型-等积模型 三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的 思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三 角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应 试题分析，方便掌握。 模型1 等积变换基础模型 1）等底等高的两个三角形面积相等； 如图1，当AB // ，则 ； 反之，如果 ，则可知直线AB // 。 图1 图2 图3 2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如图2，当点D 是B 边上的动点时，则S△BD∶S△D＝BD∶D。 如图3，当点D 是B 边上的动点，BE⊥D，F⊥D 时，则S△BD∶S△D＝BE∶F。 例1．（山东省临沂市2023-2024 学年八年级月考）如图， 是 边 的中线，点E 在 上， ， 的面积是3，则 的面积是（ ） ．4 B．3 ．2 D．1 例2．（河北省石家庄市2023-2024 学年八年级月考）如图， 是 的边 上的中线， 是 的边 上的中线， 是 的边 上的中线，若 的面积是32，则阴影部分的面积是（ ） ．9 B．12 ．18 D．20 例3．（湖北十堰五校联考2023-2024 学年八年级月考）如图，点 为 的重心， ， ， 分别为 ， ， 的中点，具有性质： ．已知 的面积为2，则 的 面积为 ． 例4．（浙江省杭州市2023-2024 学年八年级上学期10 月月考数学试题）如图， 是 的一条中线， E 为 边上一点且 ， 相交于F，四边形 的面积为6，则 的面积是 ． 例5．（2023 春·江西萍乡·八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积． 如图1， 是 边 上的中线，则 ． 理由：因为 是 边 上的中线，所以 ． 又因为 ， ，所以 ． 所以三角形中线等分三角形的面积． 基本应用：在如图2 至图4 中， 的面积为． (1)如图2，延长 的边 到点D，使 ，连接 ．若 的面积为 ，则 （用 含的代数式表示）； (2)如图3，延长 的边 到点D，延长边 到点E，使 ， ，连接 ．若 的 面积为 ，则 （用含的代数式表示）； (3)在图3 的基础上延长 到点F，使 ，连接 ， ，得到 （如图4）．若阴影部分的面 积为 ，则 （用含的代数式表示）； 拓展应用： (4)如图5，点D 是 的边 上任意一点，点E，F 分别是线段 ， 的中点，且 的面积为 ，则 的面积为 （用含的代数式表示），并写出理由． 例6．（2023 春·上海·九年级期中）解答下列各题 (1)如图1，已知直线 ，点 、 在直线 上，点 、 在直线 上，当点 在直线 上移动时，总有 ______与 的面积相等． (2)解答下题．①如图2，在 中，已知 ，且 边上的高为5，若过 作 ，连接 、 ，则 的面积为______． ②如图3， 、 、 三点在同一直线上， ，垂足为 ．若 ， ， ， ，求 的面积． (3)如图4，在四边形 中， 与 不平行， ，且 ，过点 画一条直线平分四 边形 的面积（简单说明理由）． 模型2 蝴蝶（风筝）模型 蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则 四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系 如图1，结论：① 或 ；② 。 梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系 如图2，结论：① ；② ；③梯形 的对应份数为 。 例1．在四边形BD 中，和BD 互相垂直并相交于点，四个小三角形的面积如图所示．则阴影部分三角形B 的面积为 ． 例2、如图，S△B＝24 平方厘米，S△D＝16 平方厘米，S△BD＝25 平方厘米，则S△B为 平方厘米。 例3、如下图，梯形 的 平行于 ，对角线 ， 交于 ，已知 与 的面积分 别为 平方厘米与 平方厘米，那么梯形 的面积是________平方厘米． 35 25 O A B C D 例4、如图，梯形 中， 、 的面积分别为 和 ，则梯形 的面积为 ． O D C B A 例5、梯形BD 中，对角线，BD 交于点，B 垂直，并且已知＝6 厘米，B＝10 厘米，则三角形D 的面积是 平方厘米。 例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，则中间的四边形GQS 的面积为 。 模型3 燕尾（定理）模型 条件：如图，在 中，E 分别是 上的点， 在 上一点，结论：S1 S2 S3 S4 S1+S3 S2+S4 BE E。 例1、如图，△B 中，M、分别是B、边上的三等分点，M、B 相交于点，已知△BM 的面积为2，则四边形M 的面积为 。 例2．（2023·山东·八年级专题练习）如图，在△B 中，已知点P、Q 分别在边、B 上，BP 与Q 相交于点，若 △BQ、△B、△P 的面积分别为1、2、3，则△PQ 的面积为（ ） ．22 B．225 ．23 D．235 例3．如下图，三角形 中， ，且三角形 的面积是，则三角形 的面积为 ． 例4．（2023 江苏淮安九年级月考）已知 的面积是60，请完成下列问题： (1)如图1，若 是 的 边上的中线，则 的面积______ 的面积．（填“>”“<”“=”） (2)如图2，若 、 分别是 的 、 边上的中线，求四边形 的面积可以用如下方法， 连接 ，由 得： ，同理： ，设 ， ，则 ， 由题意得： ， ，可列方程组为： ，解得_____ _，则可得四边形 的面积为______．(3)如图3， ， ，则四边形 的 面积为______．(4)如图4，D，F 是 的三等分点，E，G 是 的三等分点， 与 交于，且 ，则四边形 的面积为______． 模型4 鸟头定理（共角定理）模型 图1 图2 共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在 中， 分别是 上的点(如图1)或 在 的延长线上， 在 上(如图2)，则 例1、如图，在三角形B 中，D、E 是B,上得点，且D：B=2:5，E：=4：7，三角形DE 的面积是16 平方厘 米，则B 的面积为 。 例2．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）阅读理解 如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等 于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比， 例：在图1 中，点D，E 分别在B 和上，△DE 和△B 是共角三角形，则 证明：分别过点E，作EG⊥B 于点G，F⊥B 于点F，得到图2， ∵∠GE=∠F，又∵∠=∠，∴△GE∽△F，∴ 又 即 任务：（1）如图3，已知∠B+∠DE=180°，请你参照材料的证明方法，求证： （2）在（1）的条件下，若 则E= ． 例3．（2023·重庆·九年级专题练习）问题提出：如图1，D、E 分别在△B 的边B、上，连接DE，已知线段 D＝，DB＝b，E＝，E＝d，则S△DE，S△B 和，b，，d 之间会有怎样的数量关系呢？ 问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若 DE∥B，则∠DE＝∠B，且∠＝∠，所以△DE∽△B，可得比例式： 而根据相似三角形面积之比等 于相似比的平方．可得 ．根据上述这两个式子，可以推出： ． （2）如图3，若∠DE＝∠，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由． 探究二：回到最初的问题，若图1 中没有相似的条件，是否仍存在结论： ？方法回顾： 两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以 解决．如图4，D 在△B 的边上，做⊥B 于，可得： ．借用这个结论，请你解决最 初的问题． 延伸探究：（1）如图5，D、E 分别在△B 的边B、反向延长线上，连接DE，已知线段D＝，B＝b，E＝， ＝d，则 ．（2）如图6，E 在△B 的边上，D 在B 反向延长线上，连接DE，已知线段D＝，B ＝b，E＝，＝d， ． 结论应用：如图7，在平行四边形BD 中，G 是B 边上的中点，延长G 到E，连接DE 交B 的延长线于F， 若B＝5，G＝4，E＝2，▱BD 的面积为30，则△EF 的面积是 ． 模型5 金字塔与沙漏模型 金字塔模型 沙漏模型 条件：① ；② 。 例1．（2023 秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，已知点D、E 分别是 边上的点，且 ，面积比为 ， 交 于点F．则 （ ） ． B． ． D． 例2．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图， 中， ， 与 相交于点 ．如果 ，那么 等于（ ） ． B． ． D． 例3．（2023·江苏·模拟预测）如图所示的格是正方形格，，B，，D 是格线交点，与BD 相交于点，则 的面积与 的面积的比为（ ） ．1：2 B． ．1：4 D． 例4．（2023 春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图， 是等边三角形，被一矩形所截， 被截成 三等分， ，若图中阴影部分的面积是6，则四边形 的面积为（ ） ．8 B．9 ．10 D．11 例5．（2023·辽宁·九年级校考期中）如图， 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 处与地面 的距离为 米，车头 可近似看成一个矩形，且满 ，盲区 的长度是6 米，车宽 的长度为 米． 例6．（2023·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图， 中，点 分别在 上，且 ， 于点M， 于点， 于点D，交 于点E，且 ，连接 ，若 的面积等于75，则 的最小值为 ． 例7．（2022 秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形EFG 内接于 （矩形各顶点在三角形边上）， E，F 在 上，，G 分别在 ， 上，且 于点D，交 于点． (1)求证： (2)若 ， ，设 ，则当x 取何值时，矩形 的面积最大？ 最大面积是多少？ 课后专项训练 1．（2023 山西八年级期末）如图在 中， 、 分别是边 、 的中点． ， ，则图中阴影部分的面积为（ ） ． B． ． D． 2．（2023·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，一个矩形分成4 个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形 面积的15%，黄色三角形面积是21 平方厘米，则矩形面积为 平方厘米． 3．（2023 安徽芜湖八年级期中）如图，在 中， 分别是 的中点，且 ，则 ． 4．（浙江省杭州2023-2024 学年九年级上学期10 月月考数学试题）如图， 是 的一条中线， 为 边上一点且 相交于 ，四边形 的面积为，则 的面积是 ． 5．（广东省宝安区文汇学校2023-2023 学年九年级上学期月考数学试题）如图， 的面积为 ， ，则四边形 的面积等于 ． 6 如图，在 中，已知 、 分别在边 、 上， 与 相交于 ,若 、 和 的面积分别是3、2、1，则 的面积是 ． N M O C B A 7 如图， ， ，求梯形的面积． S 4 S 3 S 2 S 1 8. 四边形 的对角线 与 交于点 (如图所示)。如果三角形 的面积等于三角形 的面积 的 ，且 ， ，那么 的长度是 的长度的_________倍。 A B C D O 9 如图，△B 三边的中线D，BE，F 的公共点为G，且G：GD＝2：1，若S△B＝12，则图中阴影部分的面积 是 ． 10．如图，三角形 的面积是， 是 的中点，点 在 上，且 ， 与 交于点 ．则四边形 的面积等于 ． 11、如图所示，在△B 中，BD＝2D，E＝2EB，F＝2F，那么△B 的面积是△G 面积的几倍？ 12、如图，S△B＝48 平方厘米，S△D＝32 平方厘米，S△BD＝45 平方厘米，则S△B为多少平方厘米？ 13、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQS 的面积是多少？ 14 如图，某公的外轮廓是四边形BD，被对角线、BD 分成四个部分，△B 面积为1 平方千米，△B 面积为2 平方千米，△D 的面积为3 平方千米，公由陆地面积是6．92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多 少平方千米？ O D C B A 15．（2023 春·北京西城·七年级校考期中）阅读与理解： 三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1， 是 中 边上的中线，则 ． 理由： ， ， 即：等底同高的三角形面积相等． 操作与探索：在如图2 至图4 中， 的面积为 ． (1)如图2，延长 的边 到点 ，使 ，连接 ．若 的面积为 ，则 __________ _（用含 的代数式表示）； (2)如图3，延长 的边 到点 ，延长边 到点 ，使 ， ，连接 ．若 的面积为 ，则 ___________（用含 的代数式表示），并写出理由； (3)在图3 的基础上延长 到点 ，使 ，连接 ， ，得到 （如图 ．若阴影部分的面 积为 ，则 ___________；（用含 的代数式表示） 拓展与应用：(4)如图5，已知四边形 的面积是 ， 、 、 、 分别是 、 、 、 的 中点，连接 交于点，求图中阴影部分的面积？ 16．（2022 秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）探索：在图至图中，已知 的面积为 ， (1)如图，延长 的边 到点 ，使 ，连接 若 的面积为 ，则 ______ 用含 的代数式表示 (2)如图 ，延长 的边 到点 ，延长边 到点 ，使 ， ，连接 若 的 面积为 ，则 ______ 用含 的代数式表示 (3)在图 的基础上延长 到点 ，使 ，连接 ， ，得到 （如图）若阴影部分的面积 为 ，则 ______ 用含 的代数式表示 (4)发现：像上面那样，将 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到 如图 ，此时，我们 称 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的 的面积是原来 面积的______倍． (5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图设计：首先在 的空地上种红 花，然后将 向外扩展三次图 已给出了前两次扩展的图 在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展 区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域即 的面积是 平方米，请你运用上 述结论求出：①种紫花的区域的面积；②种蓝花的区域的面积． 17．（2022·河南郑州·校考二模）小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关 系． 如图1， 中， 为 边的中线，可得 ，过点 作 于 ，则 在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务： (1)如图2，矩形 中，点 ， 分别为 ， 上的动点，且 ， 与 交于点 ．连 接 ．①判断 与 的面积关系；②若 ， ，当点 为 的中点时，求四边形 的面积；(2) 中， ， ，点 为 的中点，连接 ，将 沿 折叠，点 的对应点为点 ，若 与 重合部分的面积为 面积的 ，直接写出 的面积． 18．（2022 秋·浙江·九年级专题练习）如图1，点 将线段 分成两部分，如果 ，那么称点 为线段 的黄金分割点． 某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义： 直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 ， ，如果 ，那么称直线为 该图形的黄金分割线． （1）研究小组猜想：在 中，若点 为 边上的黄金分割点（如图2），则直线D 是 的黄金 分割线．你认为对吗？为什么？ （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ （3）研究小组在进一步探究中发现：过点 任作一条直线交 于点E，再过点 作直线 ，交于 点F，连接EF（如图3），则直线EF 也是 的黄金分割线．请你说明理由． （4）如图4，点E 是 的边 的黄金分割点，过点E 作 ，交 于点 ，显然直线 是 的黄金分割线．请你画一条 的黄金分割线，使它不经过 各边黄金分割点． 19．（2023 春·江苏南京·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重 要线段，同时，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． (1)①如图1， 中， ，则 的三条高所在直线交于点 ； ②如图2， 中， ，已知两条高 、 ，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意 两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹） 【综合应用】(2)如图3，在 中， ， 平分 ，过点 作 于点 ． ①若 ， ，则 ；②请写出 与 ， 之间的数量关系 ， 并说明理由． 【拓展延伸】(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积 比等于对应底边的比．如图4， 中， 是 上一点，则有 ．如图5， 中， 是 上一点，且 ， 是 的中点，若 的面积是 ，请直接写出四边形 的面积 ．（用含 的代数式表示） 20．（2023 春·江苏盐城·七年级统考期末）【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1， 是 的中线， 与 的面积有怎样 的数量关系？ 小旭同学在图1 中作 边上的高 ，根据中线的定义可知 ．又因为高 相同，所以 ，于是 ．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】（1）如图2，点 在 的边 上，点 在 上． ①若 是 的中线，求证： ；②若 ，则 ______． 【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形 的各边，使得点 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点，依次连结 、 、 、 得四边形 ． ①求证： ；②若 ，则 ______． 21．（2023 秋·广西柳州·八年级校考开学考试）阅读下面资料： 小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为的△B 逐次进行以下操作：分别延长B、B、至1、B1、1，使得 1B2B，B12B，12，顺次连接1、B1、1，得到△1B11，记其面积为S1，求S1的值 小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接1、B1、1B，因为1B2B，B12B