专题18.4 矩形的性质与判定【九大题型】（解析版）

专题184 矩形的性质与判定【九大题型】 【人版】 【题型1 由矩形的性质求线段的长度】................................................................................................................. 1 【题型2 由矩形的性质求角的度数】.....................................................................................................................5 【题型3 由矩形的性质求面积】.............................................................................................................................8 【题型4 矩形的性质与坐标轴的综合运用】.......................................................................................................11 【题型5 矩形判定的条件】...................................................................................................................................17 【题型6 证明四边形是矩形】...............................................................................................................................20 【题型7 矩形中多结论问题】...............................................................................................................................25 【题型8 矩形的判定与性质综合】.......................................................................................................................32 【题型9 直角三角形斜边的中线】........................................................................................................................37 【知识点1 矩形的定义】 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【知识点2 矩形的性质】 ①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对 角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴， 分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 【题型1 由矩形的性质求线段的长度】 【例1】（2022 春•新泰市期末）如图，在矩形BD 中，AD=4 ❑ √2，对角线与BD 相交于 点，DE⊥，垂足为点E，E＝E，则DE 的长为（ ） ．4 B．3 ❑ √2 ．2❑ √2 D．2 【分析】根据矩形的性质得出∠D＝90°，＝BD，＝，B＝D，求出D＝，求出D＝D＝ D，根据等边三角形的判定得出△D 是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠D＝ 60°，求出∠D＝90°﹣∠D＝30°，再根据含30 度角的直角三角形的性质得出DE¿ 1 2D 即 1 可． 【解答】解：∵四边形BD 是矩形， ∴∠D＝90°，＝BD，＝，B＝D， ∴D＝， ∵DE⊥，E＝E， ∴D＝D， 即D＝＝D， ∴△D 是等边三角形， ∴∠D＝60°， ∴∠D＝90°﹣∠D＝30°， ∵DE⊥， ∴∠DE＝90°， ∴DE¿ 1 2D， ∵D＝4❑ √2， ∴DE＝2❑ √2， 故选： 【变式1-1】（2022 春•开州区期末）如图，在矩形BD 中，对角线、BD 相交于点，DF 垂 直平分，交于点E，交B 于点F，连接F，若BD＝2❑ √3，DF＝2，则F 的长为（ ） ．❑ √6 B．2❑ √2 ．❑ √7 D．3 【分析】根据矩形对角线相等且互相平分，D¿ 1 2BD¿ ❑ √3，再根据DF 垂直平分，得D＝ D¿ ❑ √3，分别在Rt△DF，Rt△DB 中，利用勾股定理求出F、B 的长，从而求出BF，在 Rt△BF 中利用勾股定理求出F 的长． 【解答】解：∵四边形BD 是矩形． ∴B＝D，D¿ 1 2BD¿ ❑ √3． ∵DF 垂直平分． ∴D＝D¿ ❑ √3． ∴B＝D¿ ❑ √3． 在Rt△BD 中， 1 B¿ ❑ √BD 2−CD 2= ❑ √(2❑ √3) 2−(❑ √3) 2=¿3． 在Rt△DF 中， F¿ ❑ √DF 2−DC 2= ❑ √2 2−(❑ √3) 2=¿1． ∴BF＝B﹣F＝3 1 ﹣＝2． 在Rt△BF 中， F¿ ❑ √AB 2+BF 2= ❑ √(❑ √3) 2+2 2=❑ √7． 故选：． 【变式1-2】（2022•碑林区校级模拟）如图，在矩形BD 中，是BD 的中点，E 为D 边上一 点，且有E＝B＝2．连接E，若∠E＝75°，则DE 的长为（ ） ．3 2 B．❑ √3 ．2 D．2❑ √3−¿2 【分析】连接，E，根据矩形的性质可得＝4，由∠E＝75°，可得∠E＝30°，进而利用含 30 度角的直角三角形即可解决问题． 【解答】解：如图，连接，E， 在矩形BD 中， ∵是BD 的中点， ∴＝B， ∵E＝B＝2． ∴E＝＝2． ∴＝4， ∵∠E＝75°， ∴∠E＝30°， 1 ∴D¿ 1 2＝2， ∴D¿ ❑ √3D＝2❑ √3， ∴DE＝D﹣E＝2❑ √3−¿2． 故选：D． 【变式1-3】（2022•南岗区期末）如图，矩形BD 中，点E，F 分别在D，D 上，且F＝ 2DF＝2，连接BE，EF，BF，且BF 平分∠EB，∠EFB＝45°，连接E 交BF 于点G，则线 段EG 的长为 5 ❑ √13 11 ． 【分析】在B 上截取B，使B＝BE，过点G 作G⊥EF 于点，证明△F≌△FED（S），推出 ED＝F＝2，＝DF＝1，设B＝BE＝x，作GQ⊥BE 于Q，GP⊥B 于P．利用勾股定理构 建方程求出x，再证明EG GC = BE BC =5 6 ，即可解决问题． 【解答】解：在B 上截取B，使B＝BE，过点G 作G⊥EF 于点， ∵BF 平分∠EB， ∴∠EBF＝∠BF， 又∵BE＝B，BF＝BF， ∴△BEF≌△BF（SS）， ∴EF＝F，∠EFB＝∠FB＝45°， ∴∠EF＝90°， ∴∠EFD+∠F＝90°， 又∵∠EFD+∠FED＝90°， ∴∠F＝∠FED， 又∵∠D＝∠F＝90°， ∴△F≌△FED（S）， ∴ED＝F＝2， 在Rt△FED 中，DF＝1， ∴EF¿ ❑ √E D 2+D F 2= ❑ √1 2+2 2=❑ √5， 在Rt△ED 中，E¿ ❑ √D E 2+DC 2= ❑ √2 2+3 2=❑ √13， 1 设B＝BE＝x，作GQ⊥BE 于Q，GP⊥B 于P． 在Rt△BE 中，∵B2+E2＝BE2， 3 ∴ 2+（x 1 ﹣）2＝x2， 解得x＝5， ∵BG 平分∠EB，GQ⊥BE，GP⊥B， ∴GQ＝GP， ∴S△BEG S△BGC = 1 2 ⋅BE⋅GQ 1 2 ⋅BC ⋅GP = EG GC ， ∴EG GC = BE BC =5 6， ∴EG¿ 5 11E¿ 5 ❑ √13 11 ， 故答为5 ❑ √13 11 ． 【题型2 由矩形的性质求角的度数】 【例2】（2022 春•溧水区期中）如图，在矩形BD 中，、BD 交于点，DE⊥于点E，∠D＝ 110°，则∠DE 大小是（ ） ．55° B．40° ．35° D．20° 【分析】由矩形的性质得出＝D，得出∠D＝∠D＝55°，由直角三角形的性质求出∠DE＝ 20°，即可得出答． 【解答】解：∵四边形BD 是矩形， ∴ ∠ D＝90°，＝BD，＝，B＝D， ∴＝D， ∴∠D＝∠D， 1 ∵∠D＝110°， ∴∠DE＝70°，∠D＝∠D¿ 1 2（180° 70° ﹣ ）＝55°， ∵DE⊥， ∴∠DE＝90°﹣∠DE＝20°， ∴∠DE＝∠D﹣∠DE＝55° 20° ﹣ ＝35°； 故选：． 【变式2-1】（2022•武昌区期末）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得∠EDF＝ 22°，则∠FDB 的大小是（ ） ．22° B．34° ．24° D．68° 【分析】由∠FDB＝90°﹣∠BD．根据已知条件易求∠BD 的度数． 【解答】解：∵∠EDF＝22°，∠D＝90°， ∴∠ED＝112°． ∴∠BD＝56°． ∴∠FDB＝90°﹣∠BD＝34°． 故选：B． 【变式2-2】（2022 春•江夏区期中）如图，矩形BD 中，B＝2，D＝1，点M 在边D 上， 若M 平分∠DMB，则∠MD 的大小是（ ） ．45° B．60° ．75° D．30° 【分析】由矩形的性质和角平分线定义证出∠BM＝∠MB，得出BM＝B＝2，因此B¿ 1 2 BM，由直角三角形的性质得出∠BM＝30°，即可得出答． 【解答】解：∵四边形BD 是矩形 ∴∠D＝∠＝90°，D＝B＝1，B∥D， ∴∠BM＝∠MD， 1 ∵M 平分∠DMB， ∴∠MD＝∠MB， ∴∠BM＝∠MB， ∴BM＝B＝2， ∴B¿ 1 2BM， ∴∠BM＝30°， ∴∠MD＝∠MB¿ 1 2（180° 30° ﹣ ）＝75°； 故选：． 【变式2-3】（2022 春•莫旗期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形 BD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形BD 的最大内角的大小是 150° ． 【分析】过D 作DE⊥B 于点E，根据面积的关系可以得到D＝2DE，则∠DE＝30°，再 根据平行四边形的性质即可求解． 【解答】解：如图，过D 作DE⊥B 于点E， ∵矩形的面积＝B•BF＝2S 平行四边形BD＝2B•DE， ∴BF＝2DE， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴B∥D，D＝B， ∴∠DE+∠B＝180°， ∵BF＝B， ∴D＝BF＝2DE， ∴∠DE＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠DE＝150°， 即平行四边形BD 的最大内角的大小是150°， 故答为：150°． 1 【题型3 由矩形的性质求面积】 【例3】（2022 春•浦东新区期末）我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2 的矩 形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10m，则矩形的面积为 25 ❑ √3 m2． 【分析】根据“和谐矩形”的性质求出∠DB＝30°，由含30°角的直角三角形的性质求出 B、D 的长，即可得出答． 【解答】解：∵四边形BD 是“和谐矩形”， ∴＝，B＝D，＝BD＝10，∠BD＝90°，∠D：∠B＝1：2， ∴＝D，∠D＝30°，∠B＝60°， ∴∠DB＝∠D＝30°， ∴B¿ 1 2BD＝5，D¿ ❑ √3B＝5❑ √3， ∴矩形BD 的面积＝B×D＝5×5❑ √3=¿25❑ √3（m2）； 故答为：25❑ √3． 【变式3-1】（2022•成都）如图，过矩形BD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行 线M 与PQ，那么图中矩形MKP 的面积S1 与矩形QK 的面积S2 的大小关系是S1 ＝ S2；（填“＞”或“＜”或“＝”） 【分析】根据矩形的性质，可知△BD 的面积等于△DB 的面积，△MBK 的面积等于△QKB 的面积，△PKD 的面积等于△DK 的面积，再根据等量关系即可求解． 【解答】解：∵四边形BD 是矩形，四边形MBQK 是矩形，四边形PKD 是矩形， ∴△BD 的面积＝△DB 的面积，△MBK 的面积＝△QKB 的面积，△PKD 的面积＝△DK 的面 积， ∴△BD 的面积﹣△MBK 的面积﹣△PKD 的面积＝△DB 的面积﹣△QKB 的面积＝△DK 的面 积， ∴S1＝S2． 故答为S1＝S2． 【变式3-2】（2022 春•成都期末）如图，点E 是矩形BD 边D 上一动点，连接BE，以BE 1 边作矩形BEFG，使得FG 始终经过点．若矩形BD 的面积为s1，矩形BEFG 的面积为 s2，则s1与s2的大小关系是（ ） ．s1＜s2 B．s1＝s2 ．s1＞s2 D．不确定 【分析】连接E，根据矩形BD 和矩形BEFG 都与三角形BE 同底等高，进而可以解决问 题． 【解答】解：如图，连接E， ∵矩形BD 的面积为s1，矩形BEFG 的面积为s2， ∴s1＝2S△BE，s2＝2S△BE， 则s1＝s2． 故选：B． 【变式3-3】（2022 春•九龙坡区校级期中）已知：矩形BD 中，延长B 至E，使BE＝BD， F 为DE 的中点，连接F、F． （1）求证：F⊥F； （2）若B＝10m，B＝16m，求△DF 的面积． 【分析】（1）连接BF，根据矩形的性质可得D＝B，∠D＝∠BD＝90°，根据直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半可得F＝DF，根据等边对等角可得∠DF＝∠DF，然后求 出∠DF＝∠BF，利用“边角边”证明△DF 和△BF 全等，根据全等三角形对应角相等可得 ∠FD＝∠BF，再根据等腰三角形三线合一可得BF⊥DE，然后求出∠F＝90°，即可得证； （2）根据全等三角形对应边上的高相等可得点F 到D、B 的距离相等，都是B 的一半， 然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】（1）证明：如图，连接BF，在矩形BD 中，D＝B，∠D＝∠BD＝90°， 1 ∵F 为DE 的中点， ∴F＝DF， ∴∠DF＝∠DF， ∴∠D+∠DF＝∠BD+∠DF， 即∠DF＝∠BF， 在△DF 和△BF 中， { AD=BC ∠ADF=∠BCF CF=DF ， ∴△DF≌△BF（SS）， ∴∠FD＝∠BF， ∵BE＝BD，F 为DE 的中点， ∴BF⊥DE， ∴∠F＝∠FB+∠BF＝∠FB+∠FD＝90°， ∴F⊥F； （2）解：∵△DF≌△BF， ∴点F 到D、B 的距离相等， ∵B＝10m， ∴点F 到D 的距离为1 2 ×10＝5m， ∴△DF 的面积¿ 1 2 ×16×5＝40m2． 【题型4 矩形的性质与坐标轴的综合运用】 【例4】（2022 春•潮南区期中）如图，在矩形ED 中，点D 的坐标是（1，3），则E 的长 是（ ） 1 ．3 B．❑ √3 ．❑ √5 D．❑ √10 【分析】连接D，过D 作DF⊥x 轴于F，由矩形的性质得E＝D，再由点D 的坐标得F ＝1，DF＝3，然后由勾股定理求出D 的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接D，过D 作DF⊥x 轴于F， ∵四边形ED 是矩形， ∴E＝D， ∵点D 的坐标是（1，3）， ∴F＝1，DF＝3， ∴D¿ ❑ √O F 2+D F 2= ❑ √1 2+3 2=❑ √10， ∴E¿ ❑ √10， 故选：D． 【变式4-1】（2022 春•任城区期末）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的 一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xy 中，矩形B 的边 ＝3，＝4，点M（2，0），在边B 存在点P，使得△MP 为“智慧三角形”，则点P 的坐 标为（ ） 1 ．（3，1）或（3，3） B．（3，1 2）或（3，3） ．（3，1 2）或（3，1） D．（3，1 2）或（3，1）或（3，3） 【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠PM＝90°或∠MP＝90°，设P （3，），则P＝，BP＝4﹣；分两种情况：①若∠PM＝90°，②若∠MP＝90°，根据勾股 定理分别求出P2、MP2、M2，并根据图形列出关于的方程，解得的值，则可得答． 【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠PM＝90°或∠MP＝90°， ∴设P（3，），则P＝，BP＝4﹣； ①若∠PM＝90°，在Rt△BP 中，由勾股定理得： P2＝BP2+B2＝（4﹣）2+9， 在Rt△MP 中，由勾股定理得： MP2＝M2+P2＝1+2， 在Rt△MP 中，由勾股定理得： M2＝MP2+P2＝1+2+（4﹣）2+9＝22 8+26 ﹣ ， 又∵M2＝M2+2＝4+16＝20， 2 ∴ 2 8+26 ﹣ ＝20， 解得：＝3 或＝1， ∴P（3，3）或（3，1）； ②若∠MP＝90°，在Rt△BP 中，由勾股定理得： P2＝BP2+B2＝（4﹣）2+9， 在Rt△MP 中，由勾股定理得： MP2＝M2+P2＝1+2， 1 ∵M2＝M2+2＝20， 在Rt△MP 中，由勾股定理得： M2+MP2＝P2， 20+1+ ∴ 2＝（4﹣）2+9， 解得：¿ 1 2． ∴P（3，1 2）． 综上，P（3，1 2）或（3，1）或（3，3）． 故选：D． 【变式4-2】（2022•西平县模拟）已知在矩形BD 中，B＝4，B¿ 25 2 ，为B 上一点，B¿ 7 2， 如图所示，以B 所在直线为x 轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，M 为线段上的一点． （1）若点M 的坐标为（1，0），如图1，以M 为一边作等腰△MP，使点P 在矩形BD 的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P 的坐标； （2）若将（1）中的点M 的坐标改为（4，0），其他条件不变，如图2，那么符合条件 的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P 的坐标． 【分析】（1）M 的长是1，小于矩形的宽，也小于B 的长，所以点P 只能是M 的垂直 平分线与D 的交点； （2）M 的长是4，等于矩形的宽，所以点P 可以是过、M 的垂线与D 的交点，也可以 是M 的垂直平分线与D 的交点，又M 的长大于B 的长，所以点P 也可以在B 上； 【解答】解：（1）符合条件的等腰△MP 只有1 个； 点P 的坐标为（1 2，4）； （2）符合条件的等腰△MP 有4 个． 如图②，在△P1M 中，P1＝M＝4， 在Rt△BP1中，B¿ 7 2， 1 BP1¿ ❑ √(O P1) 2−O B 2=❑ √4 2−( 7 2 )