专题18.3 菱形的性质与判定【八大题型】（解析版）

专题183 菱形的性质与判定【八大题型】 【人版】 【题型1 由菱形的性质求线段的长度】................................................................................................................. 1 【题型2 由菱形的性质求角的度数】.....................................................................................................................4 【题型3 由菱形的性质求面积】.............................................................................................................................8 【题型4 由菱形的性质求点的坐标】.................................................................................................................... 11 【题型5 菱形判定的条件】...................................................................................................................................15 【题型6 证明四边形是菱形】...............................................................................................................................18 【题型7 菱形中多结论问题】...............................................................................................................................23 【题型8 菱形的判定与性质综合】.......................................................................................................................32 【知识点1 菱形的定义】 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 【知识点2 菱形的性质】 ①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂 直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2 条对称轴，分别是两 条对角线所在直线． 【题型1 由菱形的性质求线段的长度】 【例1】（2022•青县二模）如图，在菱形BD 中，B＝BD＝10，点F 为D 的中点，FE⊥BD 于E，则EF 的长为（ ） ．2❑ √3 B．5 2 ．5 ❑ √3 2 D．5 ❑ √3 【分析】证△BD 是等边三角形，得∠BD＝60°，F¿ 1 2D＝5，∠BF＝∠DBF＝30°，再由勾 股定理得BF＝5❑ √3，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵四边形BD 是菱形， ∴B＝D， 1 ∵B＝BD＝10， ∴B＝D＝BD＝10， ∴△BD 是等边三角形， ∴∠BD＝60°， ∵点F 为D 的中点， ∴F¿ 1 2D＝5，∠BF＝∠DBF¿ 1 2∠BD＝30°， ∴BF¿ ❑ √A B 2−A F 2= ❑ √10 2−5 2=¿5❑ √3， ∵FE⊥BD， ∴∠BEF＝90°， ∴EF¿ 1 2BF¿ 5 ❑ √3 2 ， 故选：． 【变式1-1】（2022 春•北碚区校级期中）如图，菱形BD 的对角线交于点，过点作E⊥D 于点E，连接E．若B＝3，E¿ ❑ √2，则DE 的长度为（ ） ．5 3 B．3 2 ．4 3 D． ❑ √14 2 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得＝2E＝2❑ √2，则¿ 1 2¿ ❑ √2，再由勾股定理得 B¿ ❑ √7，则BD＝2B＝2❑ √7，然后由菱形面积求出E 的长，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形BD 是菱形， ∴D＝D＝B＝3，＝，B＝D，BD⊥， ∵E⊥D， ∴∠ED＝∠E＝90°， ∴＝2E＝2❑ √2， ∴¿ 1 2¿ ❑ √2， 1 在Rt△B 中，由勾股定理得：B¿ ❑ √A B 2−O A 2= ❑ √3 2−(❑ √2) 2=❑ √7， ∴BD＝2B＝2❑ √7， ∵S 菱形BD＝D•E¿ 1 2•BD¿ 1 2 ×2❑ √2×2❑ √7=¿2❑ √14， ∴E¿ 2❑ √14 3 ， ∴DE¿ ❑ √A D 2−A E 2=❑ √3 2−( 2❑ √14 3 ) 2=5 3 ， 故选：． 【变式1-2】（2022 春•江汉区期中）如图，菱形BD 的对角线．BD 相交于点，过点D 作 D⊥B 于点，连接，若B＝2，＝2❑ √3，则的长是（ ） ．❑ √5 B．3 ．❑ √7 D．4 【分析】由菱形的性质得∠D＝2∠BD，D＝D＝B＝2，＝¿ ❑ √3，B＝D，⊥BD，再由勾 股定理得B＝1，则BD＝2B＝2，得B＝D＝BD，然后由等边三角形的性质得∠D＝30°， ＝1，进而由勾股定理得D¿ ❑ √3，求出∠D＝90°，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形BD 是菱形，B＝2，＝2❑ √3， ∴∠D＝2∠BD，D＝D＝B＝2，＝¿ ❑ √3，B＝D，⊥BD， ∴∠B＝90°， ∴B¿ ❑ √A B 2−O A 2= ❑ √2 2−(❑ √3) 2=¿1， ∴BD＝2B＝2， ∴B＝D＝BD， ∴△BD 是等边三角形， ∴∠BD＝∠BD＝60°， ∴∠D＝2∠BD＝120°， ∵D⊥B， ∴∠D¿ 1 2∠BD＝30°，＝B¿ 1 2B＝1， 在Rt△D 中，由勾股定理得：D¿ ❑ √A D 2−A H 2= ❑ √2 2−1 2=❑ √3， ∵∠D＝∠D﹣∠D＝120° 30° ﹣ ＝90°， 1 ∴¿ ❑ √C D 2+D H 2= ❑ √2 2+(❑ √3) 2=❑ √7， 故选：． 【变式1-3】（2022 春•沙坪坝区校级期中）如图，在菱形BD 中，对角线、BD 相交于点， 点E、F 分别是B、的中点，连接EF、BF．若F＝1，E¿ ❑ √3，则FB 的长为（ ） ．3❑ √2 B．2❑ √2 ．❑ √7 D．3 【分析】根据菱形的性质和三角形中位线定理得出EF∥B，进而利用勾股定理得出EF 和 BF 即可． 【解答】解：∵四边形BD 是菱形， ∴⊥BD， ∵点E、F 分别是B、的中点， ∴EF∥B，EF¿ 1 2B， ∴EF⊥， 在Rt△EF 中，EF¿ ❑ √A E 2−A F 2=❑ √3−1=❑ √2， ∴B＝2❑ √2， 在Rt△FB 中，F＝F＝1， ∴BF¿ ❑ √O B 2+O F 2=❑ √8+1=3， 故选：D． 【题型2 由菱形的性质求角的度数】 【例2】（2022 春•延津县期中）如图，在菱形BD 中，直线M 分别交B、D、于点M、和， 且M＝，连接B．若∠B＝65°，则∠D 为（ ） ．65° B．30° ．25° D．20° 【分析】由全等三角形的性质可证△M≌△，可得＝，由等腰三角形的性质可得B⊥，即 可求解． 1 【解答】解：∵四边形BD 是菱形， ∴B∥D，B＝B，B∥D， ∴∠M＝∠，∠B＝∠D， 在△M 和△中， { ∠MAO=∠NCO ∠AOM=∠CON AM=CN ， ∴△M≌△（S）， ∴＝， ∵B＝B， ∴B⊥， ∴∠B＝90°﹣∠B＝25°＝∠D， 故选：． 【变式2-1】（2022•道里区二模）如图，四边形BD 是菱形，对角线，BD 相交于点，D⊥B 于点，连接，∠D＝20°，则∠D 的度数是（ ） ．20° B．25° ．30° D．40° 【分析】先根据菱形的性质得D＝B，B∥D，BD⊥，则利用D⊥B 得到D⊥D，∠DB＝ 90°，所以为Rt△DB 的斜边DB 上的中线，得到＝D＝B，利用等腰三角形的性质得∠1＝ ∠D，然后利用等角的余角相等即可求出∠D 的度数 【解答】解：∵四边形BD 是菱形， ∴D＝B，B∥D，BD⊥， ∵D⊥B， ∴D⊥D，∠DB＝90°， ∴为Rt△DB 的斜边DB 上的中线， ∴＝D＝B， 1 ∴∠＝∠D， ∵D⊥D， 1+ 2 ∴∠ ∠＝90°， ∵BD⊥， 2+ ∴∠ ∠D＝90°， 1 1 ∴∠＝∠D， ∴∠D＝∠D， ∵四边形BD 是菱形， ∴D＝D， ∴∠D＝∠D＝20°， ∴∠D＝20°， 故选：． 【变式2-2】（2021 秋•泰和县期末）如图，在菱形BD 中，点E 是D 上一点，连接E 交对 角线BD 于点F，连接F，若∠ED＝50°，则∠BF＝ 度． 【分析】由“SS”可证△DF≌△DF，可得∠DF＝∠DF，由三角形内角和定理和平行线的性 质可求解． 【解答】解：方法1： ∵四边形BD 是菱形， ∴D＝D，D∥B，∠DF＝∠DF， 在△DF 和△DF 中，{ AD=CD ∠ADF=∠CDF DF=DF ， ∴△DF≌△DF（SS）， ∴∠DF＝∠DF， ∵∠ED＝50°， ∴∠DE+∠DE＝180° 50° ﹣ ＝130°， ∴∠DE+∠DF＝130°， ∵D∥B， ∴∠DE+∠BD＝180°， ∴∠DE+∠BF+∠DF＝180°， ∴∠BF＝180° 130° ﹣ ＝50°， 故答为：50． 方法2：∵四边形BD 是菱形， ∴B＝B，∠BF＝∠BF，B∥D， ∴∠BE＝∠ED＝50°， 1 在△BF 和△BF 中， { CB=AB ∠CBF=∠ABF BF=BF ， ∴△BF≌△BF（SS）， ∴∠BF＝∠BF＝50°， 故答为：50°． 【变式2-3】（2022•玄武区二模）如图，菱形BD 和正五边形EFG，F，G 分别在B，D 上， 则∠1 2 ﹣∠＝ °． 【分析】过M 作EM∥B，由正五边形的性质得∠EF＝∠E＝108°，再由菱形的性质得 D∥B，则D∥EM，然后由平行线的性质得∠2＝72°﹣∠EM，∠1＝108°﹣∠EM，即可解决 问题． 【解答】解：如图，过M 作EM∥B， ∵五边形EFG 是正五边形， ∴∠EF＝∠E¿ 1 5 ×（5 2 ﹣）×180°＝108°， ∵四边形BD 是菱形， ∴D∥B， ∴D∥EM， ∴∠EM+∠DE＝180°， 即∠EM+ 2+ ∠ ∠E＝180°， 2 ∴∠＝180°﹣∠EM﹣∠E＝180°﹣∠EM 108° ﹣ ＝72°﹣∠EM， ∵EM∥B， 1+ ∴∠ ∠EM＝108°， 1 ∴∠＝108°﹣∠EM， 12 ∴∠∠＝108°﹣∠EM﹣（72°﹣∠EM）＝108°﹣∠E 72°+ ﹣ ∠EM＝36°， 故答为：36． 1 【题型3 由菱形的性质求面积】 【例3】（2022•焦作模拟）如图，在菱形BD 中，点E，F 分别是边B，D 的中点，连接 E，F，EE 若菱形BD 的面积为16，则△EF 的面积为（ ） ．4 B．6 ．8 D．10 【分析】连接、BD，交于点，交EF 于点G，根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根 据三角形中位线定理得EF 与BD 关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答． 【解答】解：连接、BD，交于点，交EF 于点G， ∵四边形BD 是菱形， ∴＝，菱形BD 的面积¿ 1 2×BD， ∵点E、F 分别是边B、D 的中点， ∴EF∥BD，EF¿ 1 2BD， ∴⊥EF，G＝3G， 设＝，BD＝b， ∴1 2b＝16，即b＝32， ∴△EF 的面积¿ 1 2G×EF¿ 1 2 × 3 4× 1 2b¿ 3 16b＝6． 故选：B． 【变式3-1】（2022 春•禹州市期中）如图，已知菱形BD 的对角线、BD 相交于点，点E， P，F 分别是线段B，D，D 的中点，连接EP，PF，若＝8，PE＝2❑ √10，则菱形BD 的 面积为（ ） 1 ．64 B．48 ．24 D．16 【分析】根据菱形的性质得出⊥BD，进而利用三角形中位线定理和菱形的性质解答即 可． 【解答】解：∵四边形BD 是菱形， ∴⊥BD，＝，B＝D， ∵点E，P，F 分别是线段B，D，D 的中点， ∴PF∥，PF¿ 1 2¿ 1 4 ＝2， ∴PF⊥BD， ∴EF¿ ❑ √P E 2−P F 2= ❑ √(2❑ √10) 2−2 2=6， ∴BD＝2EF＝12， ∴菱形BD 是面积¿ 1 2 AC ⋅BD=1 2 ×8×12=48， 故选：B． 【变式3-2】（2022•阿荣旗二模）两张菱形贺卡如图所示叠放，其中菱形BD 的边长为 6m，∠BD＝60°，菱形'B''D'可以看作是由菱形BD 沿方向平移2❑ √3m 得到，D 交'D'于点 E，则重叠部分的面积为（ ）m2． ．8❑ √3 B．9❑ √3 ．10❑ √3 D．11❑ √3 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出′和EF 的长，然后即可计算出重叠部分 的面积． 【解答】解：连接，BD，和BD 交于点，连接EF 交于点，交B 于点F，如图所示， ∵菱形BD 的边长为6m，∠BD＝60°， ∴D＝B＝6m，⊥BD，∠D＝30°， ∴△DB 是等边三角形，D＝3m， ∴¿ ❑ √A D 2−DO 2= ❑ √6 2−3 2=¿3❑ √3（m）， 1 ∴＝6❑ √3m， ′ ∵＝2❑ √3m， ′ ∴＝4❑ √3m， ∴＝2❑ √3m， ∴E＝2m， ∴EF＝4m， ∴重叠部分的面积为：AC ' ⋅EF 2 = 4 ❑ √3×4 2 =¿8❑ √3（m2）， 故选：． 【变式3-3】（2022•蓝田县二模）如图，在菱形BD 中，∠＝120°，点P 为边B 上一点（点 P 不与端点重合），连接P，点E、F 分别为P、P 的中点，连接EF，若EF＝2，则菱形 BD 的面积为（ ） ．8 B．8❑ √3 ．9 D．9❑ √3 【分析】连接，BD 交于点，根据三角形中位线定理可得＝4，然后根据菱形的性质可得 △D 是等边三角形，利用含30 度角的直角三角形可得D，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，连接，BD 交于点， ∵点E、F 分别为P、P 的中点，EF＝2， ∴＝2E＝4， 在菱形BD 中，B∥D，D＝D，⊥BD， ∵∠BD＝120°， ∴∠D＝60°， ∴△D 是等边三角形， ∴D＝＝4， 1 ∵四边形BD 是菱形， ∴＝＝2，⊥BD，∠D＝30°， ∴D¿ ❑ √3＝2❑ √3， ∴BD＝2D＝4❑ √3， 则菱形BD 的面积¿ 1 2 וBD¿ 1 2 ×4×4❑ √3=¿8❑ √3． 故选：B． 【题型4 由菱形的性质求点的坐标】 【例4】（2022•东丽区一模）如图，四边形BD 为菱形，，B 两点的坐标分别是（ −2❑ √3 ❑， ❑2），（﹣1，−❑ √3），对角线相交于点，则点的坐标为（ ） ．（−2❑ √3 ❑， ❑−2） B．（2❑ √3 ❑， ❑−2） ．（1，−❑ √3） D．（﹣1，❑ √3） 【分析】由菱形的性质可得＝，B＝D，即可求解． 【解答】解：∵四边形BD 是菱形， ∴＝，B＝D， ∵，B 两点的坐标分别是（−2❑ √3 ❑， ❑2），（﹣1，−❑ √3）， ∴点（2❑ √3，﹣2），点D（1，❑ √3）， 故选B． 【变式4-1】（2022•太湖县校级一模）如图，在平面直角坐标系中、四边形B 为菱形，为 原点，点坐标为（8，0），∠＝60°，则对角线交点E 的坐标为（ ） ．（4，2❑ √3） B．（2❑ √3，4） ．（2❑ √3，6） D．（6，2❑ √3） 【分析】过点E 作EF⊥x 轴于点F，由直角三角形的性质求出EF 长和F 长即可． 【解答】解：过点E 作EF⊥x 轴于点F， 1 ∵四边形B 为菱形，∠＝60°， ∴∠E¿ 1 2∠＝30°，∠FE＝60°， ∵（8，0）， ∴＝8， ∴E¿ 1 2＝4， ∴F¿ 1 2E＝2，EF¿ ❑ √A E 2−A F 2= ❑ √4 2−2 2=2❑ √3， ∴F＝﹣F＝8 2 ﹣＝6， ∴E（6，2❑ √3）， 故选：D． 【变式4-2】（2022•西平县模拟）如图，在平面直角坐标系xy 中，菱形B 的顶点B 在x 轴 上，且B＝8m，∠B＝60°．点D 从点出发，沿→→B→→以2m/s 的速度做环绕运动，则 第85 秒时，点D 的坐标为（ ） ．(3 ❑ √3，5) B．(3，3 ❑ √3) ．(5，3 ❑ √3) D．(3 ❑ √3，3) 【分析】由题意可得点D 在B 上，且D＝2m，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形B 是菱形， ∴＝B＝B＝， ∵∠B＝60°， ∴△B 是等边三角形， ∴＝B＝B＝＝8m， ∵沿→→B→→以2m/s 的速度做环绕运动， ∴环绕一圈需要16 秒， 85÷16 ∵ ＝5•••5， 1 ∴点D 在B 上，且D＝2m， ∴BD＝6m， 如图，过点D 作D⊥B 于， ∵∠B＝60°，D⊥B， ∴∠BD＝30°， ∴B＝3m，D¿ ❑ √3B＝3❑ √3m， ∴＝5m， ∴点D（5，3❑ √3）， 故选：． 【变式4-3】（2022•巧家县二模）如图，菱形BD 的四个顶点位于坐标轴上，对角线，BD 交于原点，线段D 的中点E 的坐标为(−❑ √3，1)，P 是菱形BD 边上的点，若△PDE 是 等腰三角形，则点P 的坐标可能是 ． 【分析】根据菱形的性质和等腰三角形的判定和性质分三种情况解答即可． 【解答】解：若△PDE 是等腰三角形，以DE 为半径，D 为圆心，得出点P1， ∵四边形BD 是菱形， ∴D＝D＝B＝B，⊥BD， ∵线段D 的中点E 的坐标为（−❑ √3，1）， ∴点P1的坐标为（❑ √3，1）， ∴D＝4，D＝2，＝2❑ √3， 1 若△PDE 是等腰三角形，以DE 为半径，E 为圆心，得出点P2， ∴点P2的坐标为（−❑ √3，﹣1）， 若△PDE 是等腰三角形，以DE 为底，DE 的线段垂直平分线交B 于点P3， ∴点P3的坐标为（ ❑ √3 2 ，﹣3 2）， 综上所述，点P 的坐标可能是（❑ √3，1）或（−❑