专题18.3 菱形的性质与判定【八大题型】（原卷版）

专题183 菱形的性质与判定【八大题型】 【人版】 【题型1 由菱形的性质求线段的长度】................................................................................................................. 1 【题型2 由菱形的性质求角的度数】.....................................................................................................................2 【题型3 由菱形的性质求面积】.............................................................................................................................3 【题型4 由菱形的性质求点的坐标】.....................................................................................................................4 【题型5 菱形判定的条件】.....................................................................................................................................5 【题型6 证明四边形是菱形】.................................................................................................................................6 【题型7 菱形中多结论问题】.................................................................................................................................8 【题型8 菱形的判定与性质综合】.........................................................................................................................9 【知识点1 菱形的定义】 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 【知识点2 菱形的性质】 ①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂 直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2 条对称轴，分别是两 条对角线所在直线． 【题型1 由菱形的性质求线段的长度】 【例1】（2022•青县二模）如图，在菱形BD 中，B＝BD＝10，点F 为D 的中点，FE⊥BD 于E，则EF 的长为（ ） ．2❑ √3 B．5 2 ．5 ❑ √3 2 D．5 ❑ √3 【变式1-1】（2022 春•北碚区校级期中）如图，菱形BD 的对角线交于点，过点作E⊥D 于点E，连接E．若B＝3，E¿ ❑ √2，则DE 的长度为（ ） 1 ．5 3 B．3 2 ．4 3 D． ❑ √14 2 【变式1-2】（2022 春•江汉区期中）如图，菱形BD 的对角线．BD 相交于点，过点D 作 D⊥B 于点，连接，若B＝2，＝2❑ √3，则的长是（ ） ．❑ √5 B．3 ．❑ √7 D．4 【变式1-3】（2022 春•沙坪坝区校级期中）如图，在菱形BD 中，对角线、BD 相交于点， 点E、F 分别是B、的中点，连接EF、BF．若F＝1，E¿ ❑ √3，则FB 的长为（ ） ．3❑ √2 B．2❑ √2 ．❑ √7 D．3 【题型2 由菱形的性质求角的度数】 【例2】（2022 春•延津县期中）如图，在菱形BD 中，直线M 分别交B、D、于点M、和， 且M＝，连接B．若∠B＝65°，则∠D 为（ ） ．65° B．30° ．25° D．20° 【变式2-1】（2022•道里区二模）如图，四边形BD 是菱形，对角线，BD 相交于点，D⊥B 于点，连接，∠D＝20°，则∠D 的度数是（ ） 1 ．20° B．25° ．30° D．40° 【变式2-2】（2021 秋•泰和县期末）如图，在菱形BD 中，点E 是D 上一点，连接E 交对 角线BD 于点F，连接F，若∠ED＝50°，则∠BF＝ 度． 【变式2-3】（2022•玄武区二模）如图，菱形BD 和正五边形EFG，F，G 分别在B，D 上， 则∠1 2 ﹣∠＝ °． 【题型3 由菱形的性质求面积】 【例3】（2022•焦作模拟）如图，在菱形BD 中，点E，F 分别是边B，D 的中点，连接 E，F，EE 若菱形BD 的面积为16，则△EF 的面积为（ ） ．4 B．6 ．8 D．10 【变式3-1】（2022 春•禹州市期中）如图，已知菱形BD 的对角线、BD 相交于点，点E， P，F 分别是线段B，D，D 的中点，连接EP，PF，若＝8，PE＝2❑ √10，则菱形BD 的 面积为（ ） 1 ．64 B．48 ．24 D．16 【变式3-2】（2022•阿荣旗二模）两张菱形贺卡如图所示叠放，其中菱形BD 的边长为 6m，∠BD＝60°，菱形'B''D'可以看作是由菱形BD 沿方向平移2❑ √3m 得到，D 交'D'于点 E，则重叠部分的面积为（ ）m2． ．8❑ √3 B．9❑ √3 ．10❑ √3 D．11❑ √3 【变式3-3】（2022•蓝田县二模）如图，在菱形BD 中，∠＝120°，点P 为边B 上一点（点 P 不与端点重合），连接P，点E、F 分别为P、P 的中点，连接EF，若EF＝2，则菱形 BD 的面积为（ ） ．8 B．8❑ √3 ．9 D．9❑ √3 【题型4 由菱形的性质求点的坐标】 【例4】（2022•东丽区一模）如图，四边形BD 为菱形，，B 两点的坐标分别是（ −2❑ √3 ❑， ❑2），（﹣1，−❑ √3），对角线相交于点，则点的坐标为（ ） ．（−2❑ √3 ❑， ❑−2） B．（2❑ √3 ❑， ❑−2） ．（1，−❑ √3） D．（﹣1，❑ √3） 【变式4-1】（2022•太湖县校级一模）如图，在平面直角坐标系中、四边形B 为菱形，为 原点，点坐标为（8，0），∠＝60°，则对角线交点E 的坐标为（ ） ．（4，2❑ √3） B．（2❑ √3，4） ．（2❑ √3，6） D．（6，2❑ √3） 1 【变式4-2】（2022•西平县模拟）如图，在平面直角坐标系xy 中，菱形B 的顶点B 在x 轴 上，且B＝8m，∠B＝60°．点D 从点出发，沿→→B→→以2m/s 的速度做环绕运动，则 第85 秒时，点D 的坐标为（ ） ．(3 ❑ √3，5) B．(3，3 ❑ √3) ．(5，3 ❑ √3) D．(3 ❑ √3，3) 【变式4-3】（2022•巧家县二模）如图，菱形BD 的四个顶点位于坐标轴上，对角线，BD 交于原点，线段D 的中点E 的坐标为(−❑ √3，1)，P 是菱形BD 边上的点，若△PDE 是 等腰三角形，则点P 的坐标可能是 ． 【知识点3 菱形的判定】 ①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 【题型5 菱形判定的条件】 【例5】（2022 春•房山区期中）在四边形BD 中，对角线，BD 交于点．现存在以下四个 条件： ①B∥D； ②＝；③B＝D；④平分∠DB． 从中选取三个条件，可以判定四边形BD 为菱形．则可以选择的条件序号是 （写出所有可能的情况）． 【变式5-1】（2022•海淀区二模）如图，在平行四边形BD 中，过中点的直线分别交边B， D 于点E，F，连接E，F．只需添加一个条件即可证明四边形EF 是菱形，这个条件可 以是 （写出一个即可）． 1 【变式5-2】（2022 春•无锡期中）如图，已知点E、F 分别是四边形BD 的边D、B 的中点， G、分别是对角线BD、的中点，要使四边形EGF 是菱形，则四边形BD 需满足的条件 是（ ） ．B＝D B．＝BD ．⊥BD D．D＝B 【变式5-3】（2022•上海模拟）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，平行四边形BDE 的顶点E 在边B 上，联结E、D．添加一个条件，可以使四边形DE 成为菱形的是（ ） ．E⊥B B．D⊥D ．D＝E D．＝DE 【题型6 证明四边形是菱形】 【例6】（2022 春•泗洪县期中）如图，点D、E、F 分别是△B 各边的中点，连接DE， EF，E． （1）求证：四边形DEF 为平行四边形； （2）从下列条件①∠B＝90°，②E 平分∠B，③B＝中选择一个添加到题干中，使得 四边形DEF 为菱形．我选的是 （写序号），并证明． 【变式6-1】（2022•南京一模）如图，在▱BD 中，E、F 分别是B、D 的中点，F 与DE 相 交于点G，E 与BF 相交于点． （1）证明：四边形EFG 是平行四边形； （2）当▱BD 具备怎样的条件时，四边形EFG 是菱形？请直接写出条件，无需说明理由． 1 【变式6-2】（2022•盐城二模）如图，在平行四边形BD 中，点是B 的中点，连接D 并延 长，交B 延长线于点E，连接BD，E． （1）求证：四边形BED 是平行四边形； （2）若∠＝50°，则当∠DE＝ °时，四边形BED 是菱形． 【变式6-3】（2022•静安区二模）已知：如图，在四边形BD 中，点E、F 分别是边B、D 的中点，E、F 分别交BD 于点M、，且BM＝M＝D，联结M、． （1）求证：四边形M 是平行四边形； （2）如果E＝F，求证：四边形BD 是菱形． 【题型7 菱形中多结论问题】 【例7】（2022 春•番禺区校级期中）如图，菱形BD 中，∠BD＝60°，与BD 交于点，E 为 D 延长线上的一点，且D＝DE，连接BE 分别交，D 于点F、G，连接G，则下列结论： （ ） ①OG=1 2 AB； ②与△EGD 全等的三角形共有2 个； ③S 四边形DEG＝S 四边形BG； ④由点、B、D、E 构成的四边形是菱形； 1 ．①③④ B．①④ ．①②③ D．②③④ 【变式7-1】（2022 春•下城区校级月考）如图，平行四边形BD 中，对角线，BD 交于点， BD＝2D，E，F，G 分别是，D，B 的中点．下列结论正确的是（ ） ①EG＝EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB 平分∠EFG； ④E 平分∠GEF； ⑤四边形BEFG 是菱形． ．③⑤ B．①②④ ．①②③④ D．①②③④⑤ 【变式7-2】（2022•泰安一模）如图，在菱形BD 中，B＝BD，E，F 分别是B，D 上的点 （不与端点重合），且E＝DF，连接BF，DE 相交于点G，连接G 与BD 相交于点．下 列结论：①DE＝BF；②∠BGE＝60°；③G⊥BD；④若F＝2DF，则BG＝6GF．其 中正确结论的序号是（ ） ．①② B．①②④ ．②③④ D．①③④ 【变式7-3】（2022•天桥区一模）如图，△B 是边长为1 的等边三角形，D，E 为线段上两 动点，且∠DBE＝30°，过点D，E 分别作B，B 的平行线相交于点F，分别交B，B 于点， G．现有以下结论：①S△B¿ ❑ √3 4 ；②当点D 与点重合时，F¿ 1 2；③E+D¿ ❑ √3DE；④ 当E＝D 时，四边形BFG 为菱形．则其中正确的结论的序号是 ． 1 【题型8 菱形的判定与性质综合】 【例8】（2022•巴彦县二模）如图，B＝BD，＝D，D 平分∠B，D 交B 于点． （1）如图1，求证：四边形BD 是菱形； （2）如图2，点E 为BD 边的中点，连接E 交B 于点F，若2∠F＝∠D，在不添加任何辅 助线和字母的条件下，请直接写出图2 中所有面积是△BF 面积的整数倍的三角形． 【变式8-1】（2022•南岗区模拟）已知：BD 是△B 的角平分线，点E 在B 边上，BE＝B， 过点E 作EF∥，交BD 于点F，连接F，DE． （1）如图1，求证：四边形DEF 是菱形； （2）如图2，当∠DEF＝90°，＝B 时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2 中度数为∠BD 的度数2 倍的角． 【变式8-2】（2022 春•东莞市期中）如图，在平行四边形BD 中，E 平分∠BD，交B 边于 点E，EF∥B，交D 于点F，点G 是B 边的中点，连接GF，且∠1＝∠2，E 与GF 交于点 M，过点M 作M⊥D 于点． （1）求证：四边形BFE 是菱形； （2）若＝1，求B 的长； （3）求证：EM＝FG+M． 1 【变式8-3】（2022 春•洪泽区期中）如图，在平行四边形BD 中，∠BD 的平分线交B 于点 E，交D 的延长线于F，以E、F 为邻边作平行四边形EFG，如图1 所示． （1）证明平行四边形EFG 是菱形； （2）若∠B＝120°，连接BG、G、DG，如图2 所示， ①求证：△DG≌△BGE； ②求∠BDG 的度数． （3）若∠B＝90°，B＝8，D＝14，M 是EF 的中点，如图3 所示，求DM 的长． 1